基于KRLS的pH中和過程建模*

朱瑞鶴， 李 軍

(蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

pH中和過程普遍存在于化工、污水處理等復(fù)雜工業(yè)過程中。建立反映pH中和過程系統(tǒng)本質(zhì)特征的良好模型是進(jìn)行有效控制的必要條件。早期，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊邏輯系統(tǒng)等方法已廣泛應(yīng)用于pH中和過程建模中[1，2]，并取得了一定的應(yīng)用效果；文獻(xiàn)[3，4]采用Hammerstein及Wiener模型對(duì)pH中和過程進(jìn)行辨識(shí)，文獻(xiàn)[4]消除了辨識(shí)過程中誤差累積問題，但該類模型結(jié)構(gòu)表征復(fù)雜系統(tǒng)全局性能比較困難；文獻(xiàn)[5]利用模糊頻率響應(yīng)估計(jì)法對(duì)單輸出pH中和過程進(jìn)行研究；文獻(xiàn)[6，7]進(jìn)一步對(duì)雙輸出pH中和過程進(jìn)行研究。

極限學(xué)習(xí)機(jī)(extreme learning machine,ELM)是由Huang G B等人[8]提出的用于單隱層前饋網(wǎng)絡(luò)(single-hidden layer feedforward neural network,SLFNs)的快速學(xué)習(xí)方法，文獻(xiàn)[8]將其成功應(yīng)用于非線性系統(tǒng)建模與控制中。支持向量機(jī)(support vector machine,SVM)等基于核學(xué)習(xí)的計(jì)算智能方法，已成功應(yīng)用于化工過程建模中[9～11]。文獻(xiàn)[9]則將核學(xué)習(xí)方法與偏最小二乘相結(jié)合，建立了丁苯橡膠聚合轉(zhuǎn)化率模型，取得了較好的效果；文獻(xiàn)[10]利用非線性偏最小二乘回歸建立了pH中和過程軟測(cè)量模型；文獻(xiàn)[11]則將最小二乘支持向量機(jī)(least squares SVM,LSSVM)方法應(yīng)用于雙輸出的pH中和過程的辨識(shí)與控制中，取得了很好的效果。同時(shí)，考慮到在線學(xué)習(xí)與時(shí)變非線性過程的特性，文獻(xiàn)[12]給出了一種用于時(shí)變?cè)诰€自適應(yīng)過程的核學(xué)習(xí)方法——核遞推最小二乘(kernel recursive least squares,KRLS)方法，其基于近似線性依賴(approximate linear dependency,ALD)技術(shù)限制核矩陣的大小，并成功應(yīng)用于混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)中。鑒于LSSVM等方法在過程建模中的成功應(yīng)用，針對(duì)復(fù)雜的非線性pH中和過程，本文提出基于KRLS的核學(xué)習(xí)建模方法，將其應(yīng)用于典型pH酸堿中和過程實(shí)例中，以進(jìn)一步提高復(fù)雜非線性化工過程的建模精度及計(jì)算效率。在同等條件下，本文方法還將與核偏最小二乘(kernel partial least square,KPLS)、核主成分分析—支持向量機(jī)(kernel principal component analysis-support vector machine，KPCA—SVM)，核函數(shù)極限學(xué)習(xí)機(jī)(extreme learning machine with kernel,KELM)，極限學(xué)習(xí)機(jī)(extreme learning machine,ELM)，SVM，LSSVM等現(xiàn)有方法進(jìn)行比較，以驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 KRLS方法

1.1 基于ALD條件的稀疏化

為考慮是否將數(shù)據(jù)xt加入字典中，需求得滿足ALD條件的系數(shù)向量a=[a1,…,amt-1]T，即有

(1)

式中 閾值參數(shù)μ的取值大小影響稀疏化程度。

考慮k(xi,xj)=φ(xi)Tφ(xj)，由式(1)得到

(2)

對(duì)式(2)求解，可得到最優(yōu)系數(shù)向量a及ALD條件

(3)

借助ALD條件，直至t的所有數(shù)據(jù)均能由字典集合Dt中數(shù)據(jù)向量的近似線性組合來表示。由式(1)可得

(4)

延伸至特征空間，定義矩陣

1.2 ALD-KRLS方法

針對(duì)pH中和過程輸入輸出數(shù)據(jù)，完成基于ALD的KRLS方法的訓(xùn)練，建立輸入與輸出之間的非線性映射關(guān)系f(x)。

t時(shí)刻，由RLS算法可知，最小化誤差平方和滿足

(5)

基于ALD的KRLS方法的算法具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(6)

由于xt是字典中的數(shù)據(jù)向量，相應(yīng)有

(7)

(8)

(9)

5)迭代計(jì)算步驟(2)～步驟(4)，直至所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)依次完成。

若訓(xùn)練數(shù)據(jù)的數(shù)目為l，則KRLS算法的計(jì)算復(fù)雜度為O(lm2)。

2 pH中和過程實(shí)驗(yàn)應(yīng)用

pH中和過程即通過酸液流入物和堿液反應(yīng)物之間的中和，檢測(cè)反應(yīng)過程流出物的pH值。pH值定義為溶液酸堿度，pH=-log[H+]，其中H+為氫離子。實(shí)驗(yàn)中，需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，并采用均方誤差(mean square error,MSE)來評(píng)價(jià)模型的辨識(shí)性能。核學(xué)習(xí)方法均采用高斯徑向基核函數(shù)，即有

(10)

式中 σ(σ>0)為高斯核函數(shù)的核寬度參數(shù)。

具有緩沖流的雙輸出酸堿中和反應(yīng)過程實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

圖1 雙輸出pH中和過程反應(yīng)裝置

設(shè)定過程的輸入為酸液(HNO3)流量Fa，緩沖液(NaHCO3)流量Fbf,堿液(NaOH+NaHCO3)流量Fb，輸出分別為流出物的pH值和CSTR的液位h，系統(tǒng)參數(shù)的取值同文獻(xiàn)[1]。定義物理量符號(hào)如下

wa為電平衡常數(shù)，wb為離子平衡常數(shù)。則CSTR中的雙輸出pH中和過程動(dòng)態(tài)模型可表示為

dx/dt=f(x)+g(x)u+p(x)d,c(x,y)=0

(11)

式中x=[x1x2x3]T,x1=h,x2=wa,x3=wb,u=[FaFb]T,d=Fbf,y=[hpH]T,c=[c1c2]，且

(12)

式中A為反應(yīng)釜的面積，Cv為閥門參數(shù)，Wa1～Wa3，Wb1～Wb3為反應(yīng)常數(shù)。CSTR過程中，給定流入溶液流量變化為

Fa(t)=16+4sin(2πt/15)

Fb(t)=16+4cos(2πt/25)

Fbf(t)=0.55+0.055sin(2πt/10)

(13)

根據(jù)式(11)描述的機(jī)理模型，以及式(13)，產(chǎn)生600組數(shù)據(jù)集，前300組為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，其余作為測(cè)試數(shù)據(jù)集?？紤]辨識(shí)模型如下

ypH(t-1),yh(t-1)]

(14)

式中 模型ψ[·]采用KRLS方法建立。

通過交叉驗(yàn)證方法選取KRLS，KPLS，KPCA-SVM，KELM方法的核參數(shù)σ=0.1，KRLS最大字典容量mmax=200，閾值μ=0.01。對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，KPLS的潛在變量數(shù)目L=50，KPCA-SVM方法中，選取非線性主元數(shù)目為20，SVM為線性核函數(shù)。單一SVM方法中，SVM采用臺(tái)灣大學(xué)林智仁教授等開發(fā)設(shè)計(jì)的LIBSVM軟件完成，懲罰因子c=200,ε=0.01，ELM方法中，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)目為120，節(jié)點(diǎn)激活函數(shù)為Sigmiod函數(shù)。

表1給出了在同等條件已有文獻(xiàn)及SVM等其他方法結(jié)果的精度對(duì)比，可以看出，在測(cè)試數(shù)據(jù)集上KRLS方法的精度均明顯占優(yōu)，其中KRLS的精度提高了約1個(gè)數(shù)量級(jí)。

表1 KRLS模型建模性能比較

圖2給出了KRLS方法在訓(xùn)練集上的學(xué)習(xí)收斂曲線，看出，KRLS辨識(shí)模型表現(xiàn)出了良好的在線自適應(yīng)學(xué)習(xí)特性。圖3、圖4分別給出了在測(cè)試數(shù)據(jù)集上h通道和pH通道的測(cè)試輸出與真實(shí)值的結(jié)果比較曲線，圖5給出了在測(cè)試數(shù)據(jù)集上h通道和pH通道的各點(diǎn)測(cè)試誤差比較曲線，從圖2～圖5的結(jié)果可以看出，在多輸出的情形下，KRLS方法呈現(xiàn)出較好的建模性能，驗(yàn)證了該方法的有效性。

圖2 KRLS模型訓(xùn)練誤差學(xué)習(xí)曲線

圖3 KRLS模型h通道上的測(cè)試輸出

圖4 KRLS模型pH通道上的測(cè)試輸出

圖5 KRLS模型測(cè)試誤差

3 結(jié)束語

本文針對(duì)未知的復(fù)雜非線性pH中和過程，從系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)出發(fā)，提出了基于核學(xué)習(xí)的KRLS建模方法。與ELM及其他核學(xué)習(xí)方法相比，本文方法在計(jì)算效率、建模精度等方面均呈現(xiàn)出良好的性能。KRLS方法適用于較大規(guī)模數(shù)據(jù)集時(shí)變非線性過程的建模，為難以得到精確數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜工業(yè)過程建模提供了新思路。