靜電微驅動器的高階自激振動與數值仿真

陳筠菲， 漆明凈

(1.北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京 100191；2.加州大學伯克利分校 機械工程系，美國 加州 伯克利 94721740)

0 引 言

微驅動器是微機電系統(tǒng)(micro-electro-mechanical system，MEMS)中的執(zhí)行機構，主要作用是輸出力、力矩、位移等物理量[1,2]。傳統(tǒng)的微型靜電驅動器在交流電壓的驅動下進行受迫振動，由于“吸合效應”使輸出位移難以進一步增加。文獻[3]提出一種新型基于自激振動的微型靜電驅動器，相較于傳統(tǒng)靜電驅動器在輸出位移上有了很大提升。

目前，國內外關于高階自激振動的研究集中于橋梁拉緊索在風雨的激勵下進行的振動和航空發(fā)動機葉片顫振[4]等方面，但在微觀層面，高階自激振動很少被觀察到，對這一現象的研究很少。

在非線性振動系統(tǒng)中經常出現跳躍現象，其中微小的參數變化可能導致輸出的顯著變化。跳躍現象有兩種類型：振幅跳躍和頻率跳躍。振幅跳躍現象在MEMS驅動器中十分常見，頻率跳躍相對來說則極為罕見[5]。原因是目前大多數MEMS驅動器都是基于強迫振動的原理，其輸出頻率或者是恒定的，或者是基于輸入頻率連續(xù)變化的。頻率跳躍在MEMS器件，如高靈敏度傳感器和多模式致動器等的應用中具有巨大的潛力。

本文描述了新型靜電驅動器中出現的高階自激振動現象和頻率跳躍現象，并對其進行了數值仿真，獲得試驗條件與振型之間的內在聯系，以指導后續(xù)試驗。

1 高階自激振動現象

驅動器示意圖如圖 1所示。驅動器由懸臂梁、基座和一對電極組成。懸臂梁由長40 mm，直徑50 μm的鍵合鋁絲制成。由聚氯乙烯(poly-vinyl-chloride,PVC)板制成的基座與電路絕緣。電極是分別連接到直流電源正極和負極的兩個金屬針，兩電極之間的間距為5 mm。懸臂梁一端固支于基座上，靜止時位于正負電極連線的中垂線上，懸臂梁根部和電極之間的距離記為d。懸臂梁的振動情況由高速相機捕捉。

圖1 驅動器示意

當沒有輸入電壓(VDC)時懸臂梁保持直線。隨著VDC的增加，一旦VDC超過吸附電壓VP，懸臂梁將首先彎向正極，并與正極接觸。在與正極接觸之后，懸臂梁將被充正電，并在靜電排斥力及其彈性恢復力的共同作用下向負極運動，與負極接觸。類似地，懸臂梁與負極接觸后將向正極方向運動。因此，在運動引起的靜電力及彈性恢復力的共同作用下，懸臂梁可以維持穩(wěn)定的振動。由于驅動器中懸臂梁的振動是由一個恒定的直流電壓驅動的，因此懸臂梁所進行的是自激振動。

當改變輸入電壓VDC或懸臂梁根部與電極之間的距離d時，可以觀察到懸臂梁的振動由一階振動變?yōu)榇嬖谝粋€穩(wěn)定節(jié)點的二階振動，同時振動頻率急劇增加，出現頻率跳躍現象。

距離d保持不變時，通過改變輸入電壓VDC可以實現振型轉換和頻率跳躍。圖2(a)與圖2(b)相比，距離d保持不變，輸入電壓VDC由4 kV增加到5 kV，振型由一階變?yōu)槎A，振動頻率由27.03 Hz躍變到108.48 Hz。振型轉換和頻率跳躍也可以通過保持輸入電壓VDC不變，改變距離d來實現。圖2(a)與圖2(c)相比，輸入電壓VDC保持不變，距離d由2 cm增加到3 cm，振型由一階變?yōu)槎A，振動頻率由27.03 Hz躍變到69.12 Hz。

在試驗中觀察到了兩種不同的二階振型：振動節(jié)點位于電極外側的二階振型(如圖2(b))和振動節(jié)點位于電極和基座之間的二階振型(如圖2(c))。

圖2 二階自激振動示意圖與高速相機圖

2 數值仿真模型建立

本文采用梁模型為歐拉—伯努利梁。在一個周期內，根據是否與電極接觸，懸臂梁的振動可以劃分為非碰撞階段和碰撞階段。在非碰撞階段(圖3)，作用在懸臂梁上的力主要有靜電力FE和空氣阻力FD，FE和FD作用在梁的每個無窮小微段上。在碰撞階段，作用在懸臂梁上的力主要有FE,FD和碰撞力FC，FC為作用在x=d處的集中力。

圖3 懸臂梁在非碰撞階段的受力情況

針對非碰撞階段，根據歐拉—伯努利梁的橫向振動微分方程，梁上無窮小微段的運動方程為

(1)

式中t為時間，x為微段在懸臂梁中的位置，y為其撓度，c為空氣的粘滯系數。

針對碰撞階段利用動量平衡法[7,8]，假設碰撞在瞬間完成，通過恢復系數描述碰撞前后碰撞體的速度變化而不考慮撞擊過程的細節(jié)，求解得到碰撞后柔性連續(xù)體上各點的速度。由于碰撞發(fā)生時，碰撞點受到很大的沖力，靜電力和空氣阻力等大小有限的力可以忽略不計。

3 數值仿真結果

為了模擬輸入電壓VDC和距離d對振動形式和振動頻率的影響，依舊選取VDC=4.0 kV,d=20 mm,VDC=5.0 kV,d=20 mm 以及VDC=4.0 kV,d=30 mm進行數值仿真。通過MATLAB的數值方法求解控制方程，圖4～圖6給出了不同VDC和d下梁上各點撓度隨時間的變化情況和1/2周期內的撓度—位置曲線。據圖可知，數值仿真的結果均與試驗中觀察到的振動形式相符。

當VDC=4 kV,d=20 mm時(圖4)，懸臂梁在振動過程中保持一階振動模式。

圖4 VDC=4 kV,d=20 mm時數值仿真結果

當VDC=5 kV,d=20 mm時(圖5)，在振動開始后，懸臂梁的振型迅速由一階變?yōu)槎A。根據圖5(b)可知，與試驗中觀察到的現象類似，節(jié)點的位置相對穩(wěn)定并且處于電極外側。

圖5 VDC=5 kV,d=20 mm時數值仿真結果

當VDC=4 kV,d=30 mm時(圖6)，振型在振動開始后約9 ms由一階轉化為二階。根據圖6(b)可知，振動節(jié)點的位置相對穩(wěn)定并且處于懸臂梁根部與電極之間，與試驗中觀察到的現象相符。

圖6 VDC=4 kV,d=30 mm時數值仿真結果

將試驗測得的振動頻率與數值仿真結果進行對比,VDC=4 kV,d=20 mm時，試驗結果為27.03 Hz,數值結果為74.56 Hz;VDC=5 kV,d=20 mm時，試驗結果為108.48 Hz,數值結果為235.46 Hz;VDC=4 kV,d=30 mm時，試驗結果為69.12 Hz數值結果為256.15 Hz。3種情況下數值仿真頻率都高于其相應的試驗頻率，并且出現頻率跳躍現象。

4 結 論

建立了一個靜電微驅動器的自激振動模型，研究輸入電壓VDC和懸臂梁根部與電極之間的距離d對振型和振動頻率的影響，利用MATLAB對其進行數值仿真。與試驗結果對比可知，數值仿真所得的振型與相應試驗結果一致，計算所得的頻率高于相應試驗振動頻率，數值仿真結果中也出現頻率跳躍現象。該數值模型可以為選擇試件材料和試驗條件提供參考和借鑒，指導后續(xù)驅動器設計。