由畢達(dá)哥拉斯定理證明想到的

李淵科 指導(dǎo)教師：班春虹

(天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué) 300000)

畢達(dá)哥拉斯定理一般指勾股定理，是一個(gè)基本的幾何定理.雖然我們?cè)诔踔芯蛯?duì)它有一定的了解，但很多同學(xué)對(duì)它的認(rèn)知只限于a2+b2=c2，但畢達(dá)哥拉斯定理所涉及的遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些.在中國，周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例；在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，對(duì)于這個(gè)發(fā)展悠久的定理，作為中學(xué)生的我們有許多的知識(shí)要從中汲取.

一、畢達(dá)哥拉斯定理的內(nèi)容

在平面內(nèi)的一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方.如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)：

a2+b2=c2.

二、畢達(dá)哥拉斯定理的證明

畢達(dá)哥拉斯定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一.下面介紹其中2種方法：

1.趙爽弦圖

《九章算術(shù)》中，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，并之為玄實(shí).開方除之，即玄.案玄圖有可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四…其倍玄為廣袤合.令勾股見者自乘為其實(shí).四實(shí)以減之，開其余，所得為差.以差減合半其余為廣.減廣于玄即所求也.”

2.歐幾里得證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明.

設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角.從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊.延長此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等.

在這個(gè)定理的證明中，我們需要如下四個(gè)輔助定理：

如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等.(SAS)

三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半.

任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長的乘積.

任意一個(gè)矩形的面積等于其二鄰邊長的乘積.

證明的思路為：從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊.延長此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，把上方的兩個(gè)正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長方形.

三、數(shù)形結(jié)合思想

在以上畢達(dá)哥拉斯定理的證明中，都用到同一個(gè)思想：數(shù)形結(jié)合思想.作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”.對(duì)于剛上高一的我來說，數(shù)形結(jié)合思想在新知識(shí)中有許多應(yīng)用.

1.集合問題

(1)與數(shù)軸結(jié)合

例1己知A={x|a≤x≤a+3},B={x|x2-4x-5>0}.

(1)若A∩B=?,求a的取值范圍;

(2)若A∪B=B,求a的取值范圍.

分析在數(shù)軸上標(biāo)出集合A、B所含元素的范圍,利用A、B的位置關(guān)系確定參數(shù)a的取值范圍.

(2)由A∪B=B知A?B,利用數(shù)軸得到滿足A∪B=B的不等式a+3<-1,或a>5,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a<-4，或a>5}.

(2)與Venn圖結(jié)合例：

這個(gè)Venn圖表示全集U，陰影部分表示A與B的交集關(guān)于U的補(bǔ)集.

2.方程與不等式

例2x2-4x+3=0為一個(gè)一元二次方程，相應(yīng)函數(shù)y=x2-4x+3的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為方程x2-4x+3=0的根.

x2-4x+3>0為一個(gè)一元二次不等式，從函數(shù)圖象上可看出，不等式的解集為{x|x<1或x>3}.

x2-4x+3<0為一個(gè)一元二次不等式，從函數(shù)圖象上可看出，不等式的解集為{x|1

畢達(dá)哥拉斯定理的證明是論證幾何的發(fā)端；是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理．這條定理在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”.本文對(duì)畢達(dá)哥拉斯定理以及其中用到的數(shù)形結(jié)合思想在高一數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了淺要的研究，由于專業(yè)性較強(qiáng)，一些工作并未做到完美，研究比較粗糙，這是作者今后努力的方向.