提升高中數學解題效率的幾個方法

孫壽駿 指導教師：李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學高三2班 830002)

數學的學習，不是簡簡單單地重復計算、學習公式，而是提高同學的數學素養.數學學習鍛煉我們的思維方式、數理邏輯、空間想象.我們可以從最基礎的分類討論中學習到考慮問題時，需要有耐心、全面地剖析問題.很多同學學習數學，都覺得較為困難，很難學好，不容易獲得高分，是因為很多同學思維能力、計算能力不夠，解題速度較慢造成的.我將學習過程中總結的一些解題方法分享如下.

一、回歸課本，找到支撐

數學教材是數學教學的最重要的材料，它是數學工作者集體智慧的結晶，不僅具備完整的知識體系，更具有權威性.

現在，很多同學忽視課本，甚至丟掉課本，悶頭做題.比如在學圓錐曲線時，大家以為橢圓只有一個定義：平面內，到定點F1,F2的距離之和等于常數(該常數大于|F1F2|)的動點P的軌跡叫橢圓.其實在書中的例題提到了另外的兩個定義，其一是動點到定點F的距離與它到直線l的距離之比等于一個常數e(定點F不在定直線l上，且該常數e滿足0

在學習數學這條康莊大路上，我認為課本中課后的探究與發現、閱讀與思考是值得我們去推敲琢磨的，雖然其中的內容老師可能草草帶過或不講，但其中的內容詳實有趣.比如：在選修2 -3的課本中，推導的必修3中的線性回歸方程，雖然最后有幾步難以理解是如何轉化的，但正因為自己還不會，才應更加努力地去學習，來豐富自我.

二、靈活變換思路，分步求解

一些立體幾何問題因思考的角度不同，導致認識不一定準確，只有多變換思路，才能發現其本質.

例1 已知三棱錐P-ABC的四個頂點，均在球面O上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別為PA、PB的中點，∠CEF=90°,求球O的體積.

解∵∠CEF=90°,

∴CE⊥EF.

∵EF∥PB,∴CE⊥PB.

取AC中點O,∵O為AC中點，且BC=BA,PC=PA,

∴BO⊥AC,PO⊥AC.

又∵BO∩PO=O,

∴AC⊥平面POB,∴PB⊥AC.

∵PB⊥AC,CE⊥PB,CE∩AC=C,

∴PB⊥平面PAC.

根據我們所計算出的結果，我們可以重新畫出圖，如圖2，方便解題.

不妨設球O的半徑為R,則可得：

三、數形結合，突破難點

在數學解題過程中，我們經常會不知所措，這時我們不僅可以多讀題目，提取有用信息，也可以畫個圖來幫助理解和解題.尤其是在解導數題、函數題、圓錐曲線、平面幾何、立體幾何中，畫個較為準確的草圖，會使解題思路更加清晰，解題事半功倍.

首先繪圖,分析圖形,我們很容易發現四個面是全等的三角形，如此規則的圖形，我們可以猜測它是切割出來的，并且是以相同方式切割出的,在我們所學過的知識當中,正四面體是由正方體以同一種方式所切割出來的,那么我們可以猜測該圖形是由長方體以某種方式切割出來的.

四、依托特殊值，提高解題速度

特殊值和固定的結論對于解題大有裨益，所以我們在學習時應當留心去記憶他們.如lg2=0.3，lg5=0.7，e=2.7，1rad=57.30°，比如一條拋物線y2=2px(p>0),存在A、B兩點在拋物線上，且∠AOB=90°,則直線AB必過定點(2p,0).如果我們能將它們記住,在小題的解題中會又快又準.

解因為a=21.2>20.2=b>1，c=2log52=log54∈(0,1)，所以a>b>c.

五、巧設方程，破解難題

在解析幾何中為了解題簡捷，我認為首先,應當熟記直線方程的各種形式及其使用范圍，并進行恰當選擇：

1.點斜式：y-y0=k(x-x0)(k存在)；

2.斜截式：y=kx+b(k存在)；

5.一般式：Ax+By+C=0；

6.直徑式：(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0(其中((x1,y1)、(x2、y2)是圓中直徑的端點)；

7.斜截式變式：x=ty+a(直線斜率不為0)；

以直線方程與圓錐曲線結合時為例,如果我們恰當選擇了方程，如其中斜截式和斜截式的變式解題便可以由繁入簡.例如如果直線傾斜角不為0,但卻存在α=90°時,我們可以使用x=ty+a，這會使我們運算簡便,避免未分類討論的失誤.

例4 圓x2+y2=4切線交y2=8x于A、B兩點，∠AOB=90°，求切點的橫坐標.

因為∠AOB=90°，所以直線必過點(8,0).

六、特值驗證，估算取勝

在我們學習到了冪函數、對數函數、三角函數后，我們經常會遇到一些令人難以琢磨的無理數，在做題過程中，有時我們無法判斷他們的具體數值，此時我們可以估算求解.還有的題求解十分困難，譬如2019年高考全國二卷中的12題，這時我們便可使用大膽代值的技巧.

例5 設函數f(x)的定義域為R,滿足f(x+1)=2f(x)，且當x∈(0,1]時，f(x)=x·(x-1)，若對任意x∈(-,m)都有則m的取值范圍為( ).

解由題可知f(x+1)=2f(x),即將(0,1]的圖象向左移一個單位并將其值域縮小一半，將(0,1]的圖象向右移一個單位并將值域擴大到兩倍.示意圖如圖3.

總而言之，在學習數學的過程中，要不斷地總結、歸納，將課本上的知識，老師傳授的解題方法技巧，同學們的學習經驗變為自己的東西，才能讓自己在解題能力上不斷進步，從而加快解題速度，在考試中取得更好的成績.