挖掘圖形的幾何性質解決幾何問題

葉 欣

(北京市北京工業大學附屬中學 100020)

在解決解析幾何問題時立足于幾何角度進行分析，運用“數”與“形”相互轉化的策略往往能更有效地解決問題.本文僅以2018年幾道高考試題為例進行簡要分析.

分析本題看似復雜，同時涉及兩條圓錐曲線，在教學過程中要幫助學生養成畫圖分析的習慣，畫圖后分析會發現本題實際只是直線與橢圓的關系.而題目中的正六邊形提供了很多特殊的角度和線段之間的關系，又因為涉及焦點與橢圓上點的連線可以利用上橢圓的定義.如此眾多的幾何圖形為我們提供了豐富的幾何背景，教學中引導學生充分挖掘其中的幾何性質，可以使問題迎刃而解.

例4 (2018年高考全國3卷第16題)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90°,則k=____.

分析本題是關于直線與拋物線位置關系的問題，學生習慣的解法是直接設直線方程與拋物線聯立得根與系數的關系，再依據條件∠AMB=90°利用向量的數量積或斜率乘積解決問題，如此問題雖然可解但對于填空題而言運算量頗大.教學中如果能引導學生注意到直線AB過拋物線焦點，利用拋物線定義并進一步挖掘所構造圖形中的幾何性質，則問題可以迎刃而解.

(1)求橢圓的方程；

解析幾何是“數”與“形”的完美結合，蘊含著豐富的數學思想方法，其中數形結合思想的運用就非常廣泛.在教學中，教師要幫助學生不斷經歷解析幾何的研究過程：要解決怎樣的幾何問題——結合條件及圖形分析幾何對象的幾何特征——將幾何特征代數化(用代數語言描述幾何要素及其關系)——通過運算解決代數問題——分析代數結果的幾何含義——最終解決幾何問題.如果能充分利用已知條件挖掘題目中圖形的幾何性質，借助幾何圖形的直觀性，運用平面幾何的知識，就可以有效解決解析幾何問題.