強化求導后的“運算” 彰顯數學核心素養

許國行

(江蘇省板浦高級中學 222021)

一、直接求解型

例1求函數f(x)=x3-3x2-9x的單調區間.

解與析先令f′(x)=3x2-6x-9>0，即可直接解出該不等式的解：x<-1或x>3，所以函數的單調增區間為(-,-1)和(3,+)，減區間為(-1,3).

注此題在求導后, 解不等式f′(x)>0時, 直接利用一元二次不等式知識求解即可.

二、觀察求解型

例2若對任意x∈(1,+), 不等式ex(x-1)-x-a>0都成立, 求實數a的取值范圍.

解與析分參后得: ex(x-1)-x>a恒成立, 令f(x)=ex(x-1)-x, 即轉化為求a0,即xex-1>0, 因為x>1, 所以ex>e,即xex>1×e=e,即不等式xex-1>0在x∈(1,+)內恒成立, 從而f′(x)>0在x∈(1,+)內恒成立, 所以f(x)在x∈(1,+)內單調遞增, 即f(x)>f(1)=-1, 所以a≤-1.

此題在求導后, 解不等式f′(x)>0時, 此不等式xex-1>0不是常規的一元一次不等式或一元二次不等式, 不能夠直接求解, 需要通過觀察來幫助求解，重在觀察的意識和觀察的方向，可觀察其范圍和單調性來輔助求解不等式.

三、引值求解型

例3已知函數f(x)=ex-lnx，求證：f(x)>2.

同理可得：x∈(x0,+)時,f′(x)>0，函數f(x)在(x0,+)上遞增.故f(x)min=f(x0)=ex0-lnx0.

四、二次求導型

例4不等式ex-x2-m>0對任意的x∈(0,+)恒成立，求實數a的取值范圍.

解與析分參后得: ex-x2>m恒成立, 即m<(ex-x2)min.設f(x)=ex-x2, 令f′(x)=ex-2x>0,再設h(x)=f′(x)=ex-2x, 令h′(x)=ex-2>0,得x>ln2,所以h(x)在(0,ln2)內遞減,在(ln2,+)內遞增, 即h(x)min=h(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2=2(1-ln2)>0,所以h(x)=f′(x)>0在x∈(0,+)恒成立, 從而f(x)在x∈(0,+)內為遞增函數, 即f(x)>f(0)=1,所以a≤1.

注此題在求導后, 解不等式f′(x)=ex-2x>0時,觀察法,或圖像法都不能夠順利求解，只好選擇二次求導,再研究h(x)=f′(x)=ex-2x的單調性,從而順利證出f(x)在x∈(0,+)內為遞增函數,即可求出最值.近年來,各省市的高考數學卷的中檔及以下習題的分值, 約占百分之八十,每年閱卷老師都發現學生在數學運算方面失分較為嚴重, 制約了數學水平的提升,關于數學運算的素養問題,它還涉及學生的心理,運算的策略及運算的習慣等諸多因素,希望在平時的教學中老師和學生都能及時研究數學運算素養的提升.

五、問題的變式

變式已知函數f(x)=|x-a|+ex.

(1)若a=2,求函數f(x)的最小值;

(2)對任意的x∈(0,+),不等式f(x)≥4恒成立,求實數a的取值范圍.

六、教學啟示

1.運算能力未必是教出來的

解題是基本的數學學習形式之一,一位教師要面對多位思路活躍且思維有差異的學生,有些運算思路并不是教出來的,是學生自己根據經驗和知識儲備構建出來的,有時雖不完美或順暢, 但其運算思路值得關注和借鑒,教師若只是一味地將成功的運算方法呈現給學生,讓其模仿,顯然是不夠的,不同的學生,不同的想法,都有其合理性,完善和拓展其運算的思路或方向是老師的責任和義務,這有利于學生和老師自己的運算能力的提升.

2.給學生展示運算的機會

快節奏的多輪復習,是現在高三復習的特有現象,然而也忽略了給學生展示的機會,有些老師也就是能給學生展示思維方法的機會,很少能給學生自己運算的機會,認為方法有了,就能得分,這是片面的想法,每年的高考閱卷,都發現學生的運算能力才是決定高分的關鍵因素,因而我想提倡大家多給學生展示運算的機會,老師與學生交流的陣地在課堂,課堂中要舍得給學生時間去驗算等,課下,組建學生學習研究小組,研究運算方法,總結運算的一些技巧等.

3.多激發學生思維，在比較中提升學生的運算能力

羅增儒教授在文獻中指出：一個數學問題，如果我們只有一個解法，不管是自己想出來的還是翻答案看到的，都肯定會存在認識上的局限性.只有在得出兩個或多個解法之后，才會對問題的實質有真正的了解，才能體會不同的思維所引起的不同運算方式，學生的運算能力在不同的思維中得以比較，提升學生對常規習題的運算能力.