不用韋達(dá)定理用拋物線(xiàn)的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)簡(jiǎn)解一類(lèi)拋物線(xiàn)題

甘志國(guó)

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

題1 (2019年高考北京卷理科第18題)已知拋物線(xiàn)C:x2=-2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1).

(1)求拋物線(xiàn)C的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于兩點(diǎn)M,N，直線(xiàn)y=-1分別交直線(xiàn)OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

解(1)由拋物線(xiàn)C:x2=-2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1)，可得22=-2p·(-1)，解得p=2，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程是x2=-4y，其準(zhǔn)線(xiàn)方程是y=1.

x2+4kx-4=0 ①.

還可得2s,2t是關(guān)于x的一元二次方程①的兩個(gè)根，所以2s+2t=-4k,2s·2t=-4，即

s+t=-2k,st=-1 ②.

還可得

所以以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程是

即(x-2k)2+(y+1)2=4k2+4.

令x=0，可得y=-3或1，所以以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，且這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-3)與(0,1).

若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的定點(diǎn)D(0,n)，則DA⊥DB，即

解得n=-3或1.

所以以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(0,-3)與(0,1).

注(1)第(2)問(wèn)兩種解法中均沒(méi)用到條件“斜率不為0”，所以把該條件去掉后所得結(jié)論仍然成立.事實(shí)上，當(dāng)“直線(xiàn)l的斜率為0”時(shí)，可得點(diǎn)M與點(diǎn)A(或點(diǎn)B)重合，其坐標(biāo)是(-2,-1)；點(diǎn)N與點(diǎn)B(或點(diǎn)A)重合，其坐標(biāo)是(2,-1)，進(jìn)而可求得以AB為直徑的圓的方程是x2+(y+1)2=4，它也經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(0,-3)與(0,1).

(2)第(2)問(wèn)第一種解法是常規(guī)解法(直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立后用韋達(dá)定理求解)，第二種解法是不用韋達(dá)定理而用拋物線(xiàn)的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)來(lái)求解，運(yùn)算量要小很多.

題2 (2018年高考北京卷理科第19題)已知拋物線(xiàn)C:y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2).過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B，且直線(xiàn)PA交y軸于M，直線(xiàn)PB交y軸于N.

(1)求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍；

解法1 (1)由拋物線(xiàn)y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2),可得4=2p,所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y2=4x.

由題意可知直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，因而可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1(k≠0)．

由Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或0

又因?yàn)橹本€(xiàn)PA,PB均與y軸相交，所以直線(xiàn)l不過(guò)點(diǎn)(1，-2)，從而k≠-3.

所以直線(xiàn)l斜率的取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1)

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

解法2 (1)同解法1，可求得拋物線(xiàn)C的方程為y2=4x，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1(k≠0).

由Δ=(-4)2-4×k×4>0,解得k<0或0

又因?yàn)橹本€(xiàn)PA,PB均與y軸相交，所以直線(xiàn)l不過(guò)點(diǎn)(1,-2),從而k≠-3.

所以直線(xiàn)l斜率的取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

解法3(1)略.

(2)由(1)的答案知可設(shè)A(s2,2s),B(t2,2t),再由三點(diǎn)M，N，Q(0，1)共線(xiàn)，可得2st=s+t.

評(píng)注(1)解答本題第(1)問(wèn)時(shí)，務(wù)必仔細(xì)認(rèn)真，要注意“因?yàn)橹本€(xiàn)PA，PB均與y軸相交，所以直線(xiàn)l不過(guò)點(diǎn)(1,-2)，從而k≠-3”.求取值范圍的問(wèn)題，所求得的范圍不能多也不能少，這就要把題目中的條件(包括隱含條件)用干凈用徹底，有時(shí)還需要檢驗(yàn).

(3)解法1與解法2都用到了韋達(dá)定理，而解法3不用韋達(dá)定理而用拋物線(xiàn)的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)來(lái)求解，運(yùn)算量要小很多.

題3 (2019年北京市豐臺(tái)一模)已知拋物線(xiàn)C:y2=2px過(guò)點(diǎn)M(2,2)，A,B是拋物線(xiàn)C上不同兩點(diǎn)，且AB∥OM(其中O是坐標(biāo)原點(diǎn))，直線(xiàn)AO與BM交于點(diǎn)P，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為Q.

(1)求拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程；

(2)求證：直線(xiàn)PQ與x軸平行.

題4 (2019年北京市昌平二模)已知拋物線(xiàn)G:y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)M(1,-2)，A,B是拋物線(xiàn)G上異于點(diǎn)M的不同兩點(diǎn)，且以線(xiàn)段AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.

(1)當(dāng)點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，求直線(xiàn)MB的方程；

(2)求證：直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

解(1)略.

(2)由拋物線(xiàn)G:y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)M(1,-2)，可求得拋物線(xiàn)G:y2=4x，因而可設(shè)A(s2,2s),B(t2,2t).

因而直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)，且這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是(5,2).

題5 (2019年北京市東城二模)已知點(diǎn)P(1,2)到拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2.

(1)求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)與C交于兩點(diǎn)A,B，直線(xiàn)PA,PB分別交x軸于M,N兩點(diǎn).求|MF|·|NF|的值.

解(1)(過(guò)程略)拋物線(xiàn)C的方程為y2=4x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0).

(2)可設(shè)A(s2,2s),B(t2,2t)(0

所以|MF|·|NF|=(s+1)(t+1)=2.

(1)求拋物線(xiàn)C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；

(2)求證：A為線(xiàn)段BM的中點(diǎn).

圖1

圖2

定理如圖2所示，若過(guò)點(diǎn)D作拋物線(xiàn)C:y2=2px的兩條切線(xiàn)DP,DQ(P,Q均是切點(diǎn))及割線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于不同的兩點(diǎn)M,N，再過(guò)點(diǎn)M作切線(xiàn)DQ的平行線(xiàn)分別交直線(xiàn)QP,QN于點(diǎn)A,B，則A為線(xiàn)段BM的中點(diǎn).

證明可設(shè)P(2ps2,2ps),Q(2pt2,2pt)(s≠t)，可求得切線(xiàn)DP:x-2sy+2ps2=0,DQ:x-2ty+2pt2=0，進(jìn)而可求得兩條切線(xiàn)DP,DQ的交點(diǎn)D(2pst,p(s+t)).