完全非彈性碰撞損失動能最大的5種證明

謝汝成

(吉林省遼源市第五中學 136200)

碰撞問題是高考的熱門考點，其中完全非彈性碰撞更是重中之重，在物體間發生完全非彈性碰過程損失能量最大這一結論上，學生往往知其然而不知其所以然.對學生形成完整的知識脈絡造成了障礙.下面筆者將用五種方法來證明這一結論，可以滿足不同層次學生對知識的需求，拓寬視野.

一、能量守恒法

例1質量為m1和m2的A和B兩個小球用彈簧連接，兩者速度分別為v1和v2(其中v1>v2)

解析系統處于光滑水平面，機械能守恒.系統損失的動能等于彈簧彈性勢能增加量.

m1追擊m2過程中，當兩者共速時，距離最近，彈簧壓縮量最大，對應的彈性勢能最大，系統損失動能最多，結論得證.

注：(1)在m1和m2距離最近之后，當兩者再次共速時，兩者距離最遠，彈簧伸長量最大，系統損失動能再次達到最多.

(2)若題干中撤去彈簧，A與B直接接觸，AB接觸部分發生形變，可近似看成彈簧，分析過程與上面解析過程一致.

二、二次函數求極值

例2如圖2所示，光滑水平軌道上一質量為m1，速度為v1的小球A與另一質量為m2，速度為v2的小球B發生正碰,碰后兩小球的速度分別為v1′和v2′

解析系統受外力為零，動量守恒

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′

①

系統損失動能

③

三、求導法

第二種辦法在例題2中求解出能量損失ΔEK表達式后利用拋物線的數學特點求解，也可在求出ΔEK的表達式后對ΔEK求導，利用函數特點，導數得零，相應的函數取得極值點，該極值點即為本題求解的最值點.

四、質心法

兩球體系在固定參考系中的總動能表達式為

以例2為例進行分析：

碰前m1和m2相對質心的靠近速度分別為：(v1-vC)和(vC-v2)，碰后m1和m2相對質心的遠離速度分別為(vC-v1′)和(v2′-vC)

兩球在光滑水平面運動，系統受外力為零.

即當v1′=v2′=vc時，即碰后兩球相對質心動能為零，系統動能損失最多，結論得證.

五、折合質量法

以例2為例進行分析