以小見大
——例析矢量的應用

黃興仲

(廣東省梅州市豐順縣黃金中學 514357)

在高中物理中，物理量分為標量和矢量.矢量，是指該物理量既有大小，又有方向，其加減運算采用平行四邊形法則或多邊形法則.高中物理許多物理量均是矢量，深入理解和總結其矢量性，是學習高中物理的重要方法.其看似平凡無奇的知識點，筆者經過梳理，發現內容頗豐，不容小覷.

一、圖解法求最值問題

使用圖解法求最值問題，主要是利用力的矢量性，當某個物理受到三個力或多個力而平衡時，根據力的矢量性，可將各力頭尾相連構成一個封閉的三角形或多邊形.若不平衡，可將各力頭尾相連，則合力為頭指向尾的箭頭.

例1一物體質量為m，置于傾角為a的斜面上，如圖1所示，物體與斜面間的動摩擦因數為μ，若要使物體沿斜面勻速向上滑動，求拉力的最小值.

分析此題若采用沿斜面和垂直斜面方向正交分解，設拉力F與斜面所成的夾角為θ，則可得

mgsinα+μ(mgcosα-Fsinθ)=Fcosθ

要得出最小值，計算量較大，但此題若采用圖解法，則可收到異曲同工的效果.

對該物體分析可知，該物體受到拉力F、重力、動摩擦力和支持力四個力作用，由于動摩擦力與支持力所成的摩擦角φ固定，且其中支持力與動摩擦力的合力為全反力FR，因而可把四力平衡問題轉化為三力平衡問題，采用矢量三角形即可，如圖2所示.

當F垂直于FR時，此時F最小，為

Fmin=mgsin(φ+α)，

由于tanφ=μ，代入上式，可得

二、轉換參考系

在高中研究運動學問題時，有時通過選擇恰當的參考系，可為題目帶來簡便.而轉換參考系的基本原理：在位移、速度、加速度等運動學矢量，有著XAB=XAC+XCB，其中X代表物理量，A代表研究對象，角標B、C為對應的參考系，當X代表速度v時，有vAB=vAC+vCB，此即是伽利略速度變換.

例2如圖3所示，平板車靜止在光滑水平面上，當小滑塊以v0=10m/s的水平初速度從車的左端滑上平板車時，給車施加一個水平向右的恒力F=16N，經過一段時間，小滑塊不再相對車滑動.已知平板車質量為M=2kg，滑塊質量m=4kg，滑塊與平板車之間的動摩擦因數μ=0.4，取g=10m/s2.求滑塊相對平板車靜止時距車的左端多遠？

分析由“小滑塊不再相對車滑動”可知，最后小滑塊與車保持相對靜止，此題要求相對位移，可直接按照在單向運動中，同向時相對位移為兩對地位移差的絕對值.也可采用轉換參考系，實現快速解題.

解以車為參考系，以v0的方向為正方向，則滑塊的初速度為v0′=v0

加速度為a滑車=-a滑地-a車地=-(a滑地+a車地)

聯立以上各式，代入數據得L=2.5 m

點評在高中階段，轉換參考系，可使某些復雜運動轉化為簡單運動，但該法在使用時也存在一定問題，涉及多過程運動時，往往不采用該種方式，轉換過程過于復雜.

三、質點系牛頓第二定律

一個系統含有n個物體，質量分別為m1、m2、m3、……、mn，加速度分別為a1、a2、a3、……、an，系統所受合外力為∑F，則有∑F=ma1+ma2+ma3+…+man，此即為質點系牛頓第二定律.

由質點系牛頓第二定律的矢量性可知，可在某一方向上使用牛頓第二定律，從而為解決加速度不同的連接體問題提供理論基礎.

例3如圖4所示，質量為M的斜劈形物體放在水平地面上，質量為m的粗糙物塊，以某一初速度沿劈的斜面向上滑，至速度為零后又加速返回，而物體M始終保持靜止，則在物塊m上、下滑塊的整個過程中( )

A.地面對物體M的摩擦力方向沒有改變

B.地面對物體M的摩擦力方向先向左后向右

C.物塊m上、下滑時的加速度大小相同

D.地面對物體M的支持力總小于(M+m)g

分析因物塊m與物體M的加速度不同，在高中階段無法使用整體法進行求解，只可對物塊與物體分別進行受力分析，從而推出結論，但該方法過于繁雜.本題可依據質點系牛頓第二定律的矢量性完美解決該類問題.

解假設斜劈形物體與水平面成a夾角，

(1)當物塊向上滑動過程中，加速度

將該加速度沿水平方向和豎直方向進行正交分解，對以物塊與物體為整體的系統進行受力分析，在水平方向上：f地1=ma1cosα

在豎直方向上：(m+M)g-N1=ma1sinα

結合以上各式，可推出f地1=mgsinαcosα+μmgcos2α，方向水平向左；

N1=(M+m)g-mgsin2α-μmgsinαcosα

(2)當物塊向下滑動過程中，加速度

將該加速度沿水平方向和豎直方向進行正交分解，對以物塊與物體為整體的系統進行受力分析，在水平方向上：f地2=ma2cosα

在豎直方向上：(m+M)g-N2=ma2sinα

結合以上各式，可推出f地2=mgsinαcosα-μmgcos2α，方向水平向左；

N2=(M+m)g-mgsin2α+μmgsinαcosα

綜上所述，可知，AD正確.

四、運動的合成與分解

運動的合成與轉換參考系的計算并不一樣，運動的合成是指在同一參考系，而轉換參考系中的計算是基于參考系的轉換.在運動學中位移、速度、加速度均為矢量，因而可將該三個量進行分解，結合運動的合成與分解的等時性、獨立性、等效性，從而化普通運動為特殊運動，如常見的平拋運動、斜拋運動、小船渡河等問題.以下以小船渡河為例，說明矢量性在其中的運用.

例4設河寬為d，靜水中船速為v船，水流速度為v水，船速與河岸的夾角為θ，如圖5所示，討論當θ=?時，船的位移最短？

分析船在水中渡河的位移大小和方向，取決于船速與水速的合速度方向.

(1)當v船>v水時，如圖6，當v合恰好垂直河岸時，合位移最小為d.

五、公式運用

公式中的運用分別兩類，一是依據矢量性，如單方向的動量守恒等，二是矢量的基本運算，主要包括：

(1)矢量與標量的乘除.如E=F/q，由于q是標量，因此當q為正時，E與F同向；當q為負時，E與F反向；

(2)矢量的點乘.如W=F·s，利用矢量的點乘運算，可知W=Fscosa(其中a為F與s的夾角)，功為標量，此即高中階段做功的定義式W=Fscosα，通過判斷力與位移所成的角判斷該力做的是正功還是負功.

(3)矢量的叉乘.如f=qv×B，根據叉乘運算，可知洛倫茲力的方向是依據右手螺旋定則進行判斷：使右手四指從v跨越小于π的角度轉向B，則此時拇指的指向即是f的方向.但由于高中知識受限，因而采用左手定則進行判斷.