《流浪地球》中的彈弓效應原理

陶漢斌

(浙江省金華第一中學 321015)

從天體的引力場來看，被加速物體的勢能和動能在相互轉化，并滿足機械能守恒，所以小物體進入天體引力場和離開天體引力場時，相對于天體的動能是相同的.但是天體本身就在運動，小物體離開引力場的位置發生了變化，這就導致小物體離開引力場后，相對于其他參考系的速度有變化，只要精確控制飛行器切入引力場的角度，就可以實現加速.

一、構建引力彈弓的直觀物理模型

為了理解引力彈弓，我們首先需要大家設想一個簡單的物理模型：質量很大的球和質量很小的球發生彈性碰撞.比如一個鉛球和一個乒乓球碰撞，兩個球都有很好的彈性，碰撞過程不會損失能量.假如最初鉛球是不動的，乒乓球以速度v0撞向鉛球，會發生什么呢？顯然，由于鉛球質量非常大，碰撞后鉛球幾乎還是靜止的.而乒乓球會發生反彈，并且反彈的時候速度大小還是v0，保持不變，如圖1所示.

現在，我們讓鉛球也動起來：如圖2所示，假如最初鉛球是朝向乒乓球以速度v1運動的，乒乓球還是以速度v0飛來，又會發生什么呢？

我們不妨這樣設想：假如有個小人坐在鉛球上，他會感覺鉛球是靜止的，而乒乓球向自己飛來的速度是v1+v0，根據剛才的討論，當乒乓球反彈后，他會觀察到乒乓球離開自己的速度大小不變，還是v1+v0.也就是說：在鉛球上的人看來，乒乓球向右反彈的速度是v1+v0，如圖3所示.但是，如果我們回到地面參考系，情況就不是這樣了.由于鉛球本身有一個向右的速度v1，所以乒乓球反彈的速度應該是v1和v1+v0的矢量疊加，也就是說，地面上的人看來，乒乓球反彈的速度會變成2v1+v0.大家看，乒乓球來的時候速度是v0，反彈之后速度變成了2v1+v0，速度變大了2v1，如圖4所示.這是因為在碰撞過程中，鉛球的一部分能量轉移到了乒乓球上.由于鉛球的質量遠遠大于乒乓球，這一點能量的損失對鉛球的速度幾乎沒有影響，但是卻可以讓乒乓球獲得很大的速度增加.

二、闡析引力彈弓的精準物理原理

地球在靠近木星時，利用彈弓效應地球會“盜”取行木的部分能量，這對于質量巨大的木星不會造成什么影響，卻能顯著提高地球的速度，如此借助引力，是對推進系統的有益補充，下面我們就來闡析引力彈弓的精準物理原理.

例題質量為m的地球以相對于太陽的速度v0飛向質量為M的木星，此時木星相對于太陽的速度為u0，繞過木星后地球相對于太陽的速度為v，此時行星相對于太陽的速度為u，由于m?M，v0，v，u0，u的方向均可視為相互平行.

(1)試寫出地球與木星構成的系統在上述過程中“動量守恒”及“始末狀態總動能相等”的方程，并在m?M的條件下，用v0和u0來表示v；

(2)我們可查得木星的質量為M=1.90×1027kg，其相對于太陽的軌道速率u0=13.06km/s，而地球的質量m=5.97×1024kg，相對于太陽迎向木星的速率v0=10.4km/s，則由于“彈弓效應”，地球繞過土星后沿與原來速度相反的方向離去，求地球離開木星后相對太陽的速率增加了多少？

(3)若地球飛向木星時其速度v0與土星的速度u0同方向，則是否仍能產生使地球速率增大的“彈弓效應”，簡要說明理由．

解析(1)通過分析，“彈弓效應”就其實質而言，可等效于力學中的碰撞模型，滿足動量守恒和能量守恒.以u0方向為正方方向，由動量守恒和能量守恒可得

-mv0+Mu0=mv+Mu

由題意可知m?M∴v=v0+2u0

地球離開木星后相對太陽的速率增加

Δv=v0+2u0-v0=2u0=2×13.06km/s=26.12km/s

(3)不能.理由如下：若v0方向與題中圖示方向相反，則第(1)中的動量守恒方程應改為：mv0+Mu0=mv+Mu

把m?M代入上式，則可得：v=-v0+2u0

由于|v0|>|u0|，由此便可得：|v|=|v0-2u0|<|v0|，即不能使探測器速度增大.