已知函數值相等求自變量差或積的范圍問題

蘇藝偉

(福建省龍海第一中學新校區 363100)

在高三復習中,各級各類模擬試題經常出現一類以函數為載體,告知兩個函數值相等,求自變量差或積的取值范圍問題.此類問題較為靈活,沒有固定的解法,一般可以采用代數方法或者圖象方法進行求解,或者兩者結合先畫出圖象觀察再進行嚴謹的代數推理.在實際解題中,要根據題目條件的結構特征靈活選擇恰當的方法.本文舉例進行說明.

一、求自變量差的取值范圍

解析1：代數法

簡評代數法中,運用了消元的思想,將m表示成關于n的表達式,統一變量,然后構造函數g(x),運用求導加以求解.

解析2：圖象法

簡評借助圖象分析問題,直觀形象,化抽象為具體,其關鍵在于具有動態思維,并且懂得對相切時的情況進行分析.

例2若實數a,b,c滿足(a-2b-1)2+(a-c-lnc)2=0,則|b-c|的最小值為____.

解析1：代數法

當0

當x>1時,g′(x)>0,g(x)單調遞增.

故g(x)的最小值為g(1)=1.因此|b-c|的最小值為1.

簡評運用消元思想,將b表示成關于c的表達式,統一變量,然后構造函數g(x),運用求導加以求解.

解析2圖像法

如圖3所示,畫出f(x)=2x+1與g(x)=x+lnx的圖象,因此|b-c|的最小值等價于直線y=a與f(x)=2x+1和g(x)=x+lnx交點橫坐標之間距離的最小值.設直線y=2x+t與曲線f(x)=x+lnx相切于點B(x0,y0),則易知B(1,1),A(0,1).此時|b-c|的最小值為1.

簡評借助圖象分析問題,對相切時的情況進行分析即可求解.

由m≤0,得2(ln(n+1)-1)≤0,故0

則n-m=n+2-2ln(n+1).

令g(n)=n+2-2ln(n+1),0

當0

當10,g(n)單調遞增.

故g(n)的最小值為g(1)=3-2ln2.

又g(0)=2,g(e-1)=e-1,所以g(n)∈[3-2ln2,2).

因此n-m的取值范圍是[3-2ln2,2).

故n-m=2ek-1/2-lnk-2.

令g(x)=2ex-1/2-lnx-2,x>0.

因此n-m的最小值為ln2.

簡評例3和例4都采用代數法求解.例4中較難將m與n互相表示,故引入一個變量k,起到搭橋化簡的作用,將m與n都用k表示出來,然后構造函數g(x)解決問題.

二、求自變量積的取值范圍

例5設函數f(x)=|x2-2x-1|,若m>n>1,且f(m)=f(n),則mn的取值范圍是____.

解析畫出函數f(x)=|x2-2x-1|的圖象,如圖4所示.

由于f(m)=f(n),所以有m2-2m-1=-n2+2n+1.

化簡得m2-2m+n2-2n=2,即(m-1)2+(n-1)2=4.

解法2 設m=1+2cosθ,n=1+2sinθ,θ∈[0,2π).

則mn=(1+2cosθ)(1+2sinθ)=1+2(sinθ+cosθ+2sinθcosθ).

例6已知關于x的方程e-x+2=|lnx|的兩個實數解為x1,x2,x1

解析如圖6所示,設A(x1,y1),B(x2,y2),則0

顯然y1=-lnx1,y2=lnx2.

由2

解析如圖7,設A(x1,y1),B(x2,y2),則0

由y1

簡評例5,例6,例7三道試題都是已知函數值相等求自變量積取值范圍.先畫出相應函數的圖象,結合圖象分析問題,再采用恰當的方法進行求解.

三、求混合型的取值范圍

例8設函數f(x)=|x2+2x-1|,若a

解析畫出函數f(x)=|x2+2x-1|的圖象,如圖8所示.

由于f(a)=f(b),所以有a2+2a-1=-b2-2b+1.

化簡得a2+2a+b2+2b=2,即(a+1)2+(b+1)2=4.

設a=-1+2cosθ,b=-1+2sinθ,θ∈[0,2π).

不難發現,對于此類已知兩個函數值相等,求自變量差或者積取值范圍試題,要充分挖掘題目隱含的結構特征,善于轉化與回歸.嚴格的代數推理有著較高的邏輯思維要求,因此往往可以先借助圖象得到一個直觀的認識再利用代數法進行嚴謹的推理論證,從而實現解題的高效.