運(yùn)用交軌法探求軌跡方程問題

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)是兩條動(dòng)曲線的交點(diǎn)，那么選取參數(shù)并把參數(shù)看成已知數(shù)，寫出這兩條動(dòng)曲線的方程，再聯(lián)立兩動(dòng)曲線的方程，消去參數(shù)，或者動(dòng)曲線的方程與定曲線的方程聯(lián)立，消去x或y，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再消去參數(shù)，便得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.這種求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法，我們稱之為交軌法.運(yùn)用交軌法探求軌跡方程問題，主要是把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫出兩條動(dòng)曲線方程，關(guān)鍵是參數(shù)的選取，困難是參數(shù)的消去.怎么把選取的參數(shù)看成已知數(shù)，寫出兩條動(dòng)曲線方程？如何選取參數(shù)？怎樣消去參數(shù)？在這里，筆者重點(diǎn)對如何選取參數(shù)及選取參數(shù)的思維途徑有哪些作一些歸納、總結(jié)、探究，以饗讀者.

一、選取動(dòng)點(diǎn)(x0，y0)為參數(shù)

如果動(dòng)點(diǎn)(x0，y0)影響動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)點(diǎn)(x0，y0)為參數(shù).

例1 已知圓O：x2+y2=4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為圓O上異于A，B的任意一點(diǎn)，圓O在點(diǎn)M處的切線與圓O在點(diǎn)A，B處的切線分別交于點(diǎn)C，D，直線AD和BC交于點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的軌跡為曲線E，求曲線E的方程.

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積；

(2)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.

解(1)設(shè)A(x0，y0)，則矩形ABCD的面積S=4|x0||y0|.

二、選取動(dòng)直線的斜率k為參數(shù)

如果動(dòng)直線的斜率k影響動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)直線的斜率k為參數(shù).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

(2)設(shè)兩切線為l1，l2，P(x0，y0).

(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以Δ=0，得

9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0，

∴ -36k2+4[(y0-kx0)2-4]=0，

綜上知，點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=13.

評(píng)注本題第二問，抓住相切，則判別式等于零是關(guān)鍵.

三、選取動(dòng)直線在y軸上的截距b為參數(shù)

如果動(dòng)直線在y軸上的截距b影響動(dòng)點(diǎn)M(x，y)的軌跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)直線在y軸上的截距b為參數(shù).

例4 (2000年高考春季招生考試北京，安徽卷·文23理22)如圖3，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p>0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB.求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

故點(diǎn)M的軌跡方程是(x-2p)2+y2=(2p)2(x≠0)，它表示以(2p，0)為圓心，2p為半徑的圓，去掉原點(diǎn).

評(píng)注找到k與b的關(guān)系式kb=4p后，直線OM的方程和直線AB的方程都可以用k來替換b，這樣兩直線方程聯(lián)立，消去參數(shù)k，即得所求.

四、選取兩線段之比λ為參數(shù)

如果兩條線段之比λ影響動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡，起制約作用，那么就選取兩條線段之比λ為參數(shù).

解由題意，得A(-2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(-2，4a).

設(shè)P(x，y)，則有OP=(x，y)，OF=(2-4λ，4a)，GP=(x+2，y-4a+4aλ)，GE=(4，8aλ-4a)，由OP∥OF，得

4ax=y(2-4λ)， ①

GP∥GE，得

(x+2)(8aλ-4a)=4(y-4a+4aλ)， ②

由①②消去參數(shù)λ，得點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程為2a2x2+y2-2ay=0.

所以點(diǎn)P的軌跡方程為2a2x2+y2-2ay=0.

五、選取動(dòng)直線的傾斜角為參數(shù)

如果動(dòng)直線的傾斜角α影響動(dòng)點(diǎn)P(x，y)成跡，起制約作用，那么就選取動(dòng)直線的傾斜角α為參數(shù).

例6 定直線l與x軸的距離為a，交y軸于點(diǎn)N，設(shè)過原點(diǎn)O作一直線交l于點(diǎn)Q，在直線OQ上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，且使|MP|=|NQ|，求P點(diǎn)的軌跡方程.

解因?yàn)閍>0，所以為方便起見，設(shè)直線l在x軸上方，PM也在x軸上方，如圖5.

設(shè)直線OP的傾斜角為α，設(shè)P(x，y)，則

直線OP的方程為y=x·tanα. ①

由①②聯(lián)立消去參數(shù)α，得y2=ax.

直線l在x軸下方也符合題意.

故P點(diǎn)的軌跡方程為y2=ax.

運(yùn)用交軌法探求軌跡方程問題，為什么要選取參數(shù)？通過解答上述例題，我們更進(jìn)一步清楚，所求的曲線是兩條動(dòng)曲線的交點(diǎn)P(x，y)所形成的，既然是動(dòng)曲線，所以這兩條動(dòng)曲線的方程一定含有參數(shù).

如何選取參數(shù)？選取參數(shù)的思維途徑有哪些？選取參數(shù)的依據(jù)是什么？通過解答上述例題，我們可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)該選取影響動(dòng)點(diǎn)成跡，起制約作用的那些關(guān)鍵量作為參數(shù)，如斜率、點(diǎn)、截距、長度、角度、兩線段之比等，具體怎樣選取參數(shù)，要根據(jù)題目所給條件，結(jié)合圖形特點(diǎn)進(jìn)行分析判斷選取.