基本不等式的應用問題例談

葉 珊

(福建省福安市第一中學 355000)

一、求解最值問題

作為函數最值求解的一大重要工具，基本不等式在利用時要注意相應的條件“一正、二定、三相等”.特別在配湊應用時，要注意條件成立的條件，否則容易出現錯誤.

點評利用基本不等式求解代數式的最值問題中，運用時往往需對代數式進行適當地變形(常用的變形技巧是：配方、拆添項、配湊因子和平方等)，創造應用基本不等式的條件，要注意應用條件“一正、二定、三相等”．

二、求解參數值問題

在解決一些參數值的求解問題時，經常借助基本不等式來處理，破解的關鍵是先通過猜測確定參數值，結合基本不等式的應用，利用基本不等式的等號成立時的條件來求解相應的參數值問題．

點評應用基本不等式解決一些問題時，往往要考慮等號成立時所滿足的條件，此時也為求解相應的參數值提供條件．特別碰到一些已知相關的方程問題來破解對應參數值問題時，要注意結合關系式的展開，利用基本不等式的應用，再結合相關的不等式、方程等來確定相應的參數值問題．

三、處理恒等式問題

在處理相關的恒等式問題時，關鍵是進行合理分離參數，把相關原參數的取值范圍問題化歸為相應函數的最值問題，再利用基本不等式來處理與解決.特別注意：a>f(x)恒成立?a>[f(x)]max，a

例3若函數f(x)=32x-(k+1)3x+2，當x∈R時，f(x)>0恒成立，則k的取值范圍是( ).

點評將不等式恒成立問題進行合理轉化與化歸，得以轉化為參數恒成立問題，再利用關系式的變形與配湊，借助函數的基本性質與基本不等式來解決相關的函數問題，從而得以確定參數的取值范圍.注意在此過程中，經常采用參數分離法來轉化.

四、確定取值范圍問題

利用基本不等式確定相應代數式的取值范圍問題，關鍵是巧妙借助基本不等式的變式加以應用，從不同的角度確定相應代數式的最大值與最小值即可．

例4(2018屆江蘇省揚州中學高三第四次模擬·14)已知x，y均為非負實數，且x+y≤1，則4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范圍為____．

點評根據基本不等式的有效轉化，通過不等式的確定2(x+y)2≤4(x2+y2)≤4(x+y)2，結合參數的引入，分別利用代數式的變換以及二次函數的配方，并結合二次函數的圖象與性質來確定相應的最大值與最小值，利用兩邊夾定理加以綜合，從而得以簡單快捷破解．

五、證明不等式問題

作為基本不等式的一大應用，也經常用來證明一些相關的不等式問題.與綜合法相結合，借助所證明不等式的結構特征，利用基本不等式來轉化與處理．

點評利用基本不等式來證明對應的不等式時，要注意基本不等式的結構特征，與所要證明的不等式加以合理比較，進行合理的化歸與轉化.證明時的關鍵就是對相應的不等式進行必要的變形與轉化，再結合基本不等式加以應用.

六、解決實際應用問題

在解決實際問題中，基本不等式也是用來解決最優化問題的一大工具.實際應用時，要注意基本不等式的條件與實際問題之間的聯系與區別.

例6(2017·江蘇·10)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是____．

點評本題考查實際應用問題，基本不等式，考查應用意識，運算求解能力．此類問題與求解最值問題差不多，只是要根據實際生活問題，往往對參數的取值有一定的限制，如取整點值、取正數值等，要與實際問題相吻合．