探究基于分類討論的高中數學解題研究

陳益龍

(江蘇省如皋市第一中學 226500)

分類討論作為一種重要的數學思想，在高中數學解題過程中，可以幫助學生快速形成解題思路，找到解題的突破口 ，有利于學生解題能力和數學素養的提高.對此，在高中數學教學中，教師要加強對學生解題能力和解題思路的培養，讓學生了解分類討論思想的主要內容，并在解決實際問題中可以靈活應用分類討論思想，將分類討論思想滲透到高中數學解題教學中，形成以分類討論為導向的高中數學教學體系，提高高中數學教學的有效性和針對性，進而達到最佳的教學效果.在這樣的環境背景下，探究基于分類討論的高中數學解題研究具有非常重要的現實意義.

一、分類討論思想的含義與原則

每個數學結論存在各自的成立條件，也使得每種數學方法在實際使用中具備一定的適用范圍，在實際數學問題中，很多問題結論具有不唯一確定性，問題的結論無法在解題中以一種同一方式來研究，但是問題的解決方法和轉化手段均為一致.也就是說，將所有研究問題結合題目特點與要求劃分為若干類，轉化成若干小問題的方式進行解決，數學界將這種根據不同情況分類而逐一解決的數學思想叫做分類討論思想.在高中數學教學中，分類討論思想的應用原則可表現為以下幾方面：

1.同一性

在解決數學問題的過程中，要制定統一的分類討論標準，禁止出現一步一個標準進行分類的情況，保證整個標準的一致性和統一性，進而發揮出分類討論思想的價值和作用.在集合視角上看，若將研究對象當成全集I，則Ai為I的子集，根據這一標準進行分類，A1∪A2∪…∪An=I，則這一分類(A1，A2，…,An)符合同一性原則.

2.互斥性

在各個元素分類后無任何明顯的交集分類后的同級元素會相互排斥，不能出現越級的情況，各個子項相排斥，分類后的元素不能同時屬于兩個子項.也就是說，針對研究對象I而言，Ai(i=1,2,…,n)是I的子集，且是分類標準，若Ai∩Aj=?(i，j=1,2,…,n，i≠j)，這種分類方式符合互斥性原則.

3.層次性

在解決數學問題的過程中，若第一次分類后仍無法解決問題，可以開展第二次分類，甚至為多次分類，一直到符合題目要求為止，而分類必須逐級進行，進而實現對數學問題的解決.

二、基于分類討論的高中數學解題途徑

1.函數解題中的分類討論

函數是高中數學教學中的重要內容，在實際解題中，教師可以引導學生運用分類討論思想構建解題思路，培養學生對數學問題的分析能力和解決能力，有利于學生邏輯思維能力的形成.在解答函數問題中，函數參數值的變化會直接影響函數結果，學生要加以注意，在函數解題中引入分類討論思想，利用參數的分類討論，讓學生站在各個研究角度上剖析問題，進而提高解題的有效性和精準性.

例如，已知定義在R上的函數f(x)對任意實數x，y都滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，且若x>0時，f(x)>0.求

(1)f(0)的值；

(2)判斷函數f(x)的奇偶性，并證明；

(3)解不等式f(a-4)+f(2a+1)<0.

在解題過程中，針對①②中的問題，明確函數f(x)為R上的奇函數，令y=x=0，由f(x+y)=f(x)+f(y)，得到f(0)=f(0)+f(0)，則f(0)=0.

令y=-x，由f(x+y)=f(x)+f(y)，得f(0)=f(x)+f(-x)，即為0=f(x)+f(-x)，得到f(-x)=-f(x)，由于f(x)定義域是R，關于原點對稱，說明f(x)是奇函數.

在解題過程中，針對③中的問題，任取x1，x2，并有x10，f(x)>0，且x2-x1>0，得到f(x2-x1)>0，

即f(x2)-f(x1)>0，f(x2)>f(x1)，得到f(x)為R上的增函數.

f(a-4)+f(2a+1)<0，推導出f(2a+1)

2.數列解題中的分類討論

在解決數列問題時，教師引導學生運用分類討論思想進行分析題意，提高解決問題的準確性和針對性，特別是針對等比數列求和和數列周期性問題，需要學生可以通分類討論的方式，找到問題的實質，提高解題效率和解題質量.

本題就是用數列前n項和Sn求數列的通項公式an問題.

由①-②，得到

3.概率解題中的分類討論

在解決概率問題中，教師要引導學生把分類討論思想和具體問題進行融合，以實現分類解答，先確定問題概率類型，編排已知條件中的數值，通過分類討論思想對研究對象變量的可能性進行假設，確定有效的選擇方式，在分類討論問題后，得到最終的答案，提高解題效率.

例如，一個口袋中有6個大小相同的小球，其中有2個紅球，分別是A1，A2，有4個黑球，分別是B1，B2，B3，B4，從口袋中一次摸出兩個球，求摸出兩個顏色不同球的概率.在解題中，根據已知條件，列出所有的基本事件，得到兩個不同顏色的球的方式為(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)共8種可能，則事件概率為8/15.

綜上所述，在高中數學解題教學中，為了讓學生快速形成解題思路，找到適合的解題方法，可以引入分類討論思想，培養學生的思維能力和解題能力，提高解題效率，進而提高高中數學教學的有效性.