小樣本下煤油加注溫升模型參數估計方法

劉巾杰，許琪琪，扶山川，竇天恒

(西昌衛星發射中心，海南 文昌 571300)

0 引言

煤油作為目前液體火箭的主要推進劑之一，其溫度波動會引起物性參數變化，對火箭發動機的性能產生影響。煤油加注系統是大推力運載火箭動力系統的重要組成部分，其主要功能是連續、可靠、準確地向箭上貯箱加注煤油[1]。在加注過程中，受到環境溫度、加注管路、加注泵工作狀態等因素的影響，煤油溫度會發生顯著變化[2-3]。因此，需要對煤油初始溫度進行調整，控制煤油進箭溫度。

采用準確的溫升參數，建立科學的溫升模型，才能對煤油溫升過程進行精確模擬，進而根據最終溫度要求反算出最優的煤油初始溫度[2]。目前靶場采用的溫升參數，皆為確定的經驗參數。然而以往試驗任務與新型運載火箭靶場實際加注設備、停放環境等差別較大，若仍然使用經驗參數進行計算，會致使計算溫度與煤油經過加注溫升后的實際溫度之間存在不可忽略的相對誤差。因此有必要根據靶場實測溫度數據，對煤油加注溫升參數進行估計。目前，我國靶場進行液體火箭飛行試驗的次數極少，如何利用僅有的幾次實測數據樣本，設計更為有效的估計方法，對溫升參數進行估計，使煤油溫度更好地滿足發動機工作要求，對提升火箭發動機整體性能有著重要意義。

1 加注溫升模型

常溫煤油主要采用泵壓式加注[1]。加注溫升是指加注結束時火箭貯箱中的煤油溫度(不考慮溫度分層)與加注前庫區儲罐中煤油溫度之差，其計算模型為

Tj=Tk+f1(Ta-Tk)+f0+ε

(1)

式中：Tj為煤油加注結束時溫度；Tk為煤油庫房儲罐內溫度；f1為加注溫變系數；Ta為煤油加注開始時刻、結束時刻環境溫度的平均值；f0為加注泵溫升；ε為測量誤差。

在實際煤油加注前，根據目標溫度，依照給定的加注模型，對初始加注溫度進行反算。而正式加注時，是給定初始加注溫度的情況下，煤油從儲罐加注到火箭貯箱的過程中，由于加注泵加壓、環境熱交換等多種原因，溫度自然升高，獲得加注最終溫度。事實上，加注溫升模型，就是對煤油在加注過程中溫度升高過程的一種模擬。對同一個溫升模型，從同一個初始溫度出發，其溫升參數越精確，解算出來的加注結束溫度就與實際的加注結束溫度最接近。圖1為A,B兩次任務加注溫度數據。其中，A任務數據最大相對誤差達到1.099 5 ℃，B任務數據最大相對誤差達到4.557 9 ℃，均超出了煤油溫度計算要求精度(要求為±1 ℃)。

圖1 兩次任務加注溫度數據Fig.1 Filling temperature of two tests

不妨假設式(1)所示的模型是正確而完備的，其中Tj，Tk，Ta可以通過實測獲得，可見造成計算結果相對誤差的根本在于使用的經驗參數f1，f0不夠準確。

2 溫升模型的貝葉斯回歸分析

xi=Ta-Tk

令

Y=[y1,y2,…,ym]T

β=[f1,f0]T

將式(1)進一步寫成

Y=Xβ+ε

(2)

由式(2)可見，這是一個一元回歸模型[4]。

采用最小二乘求解，有[5]

(3)

小樣本條件下，貝葉斯法進行回歸分析是一種較好的估計方法[9-13]。貝葉斯方法通過將估計參數的先驗信息加入回歸分析中，能夠有效降低測量誤差對參數估計的影響，使小樣本條件下仍然可以得到參數的合理估計[14-15]。

不妨假設測量的隨機誤差ε是一個高斯白噪聲，式(2)中有：E(ε)=0，Cov(ε)=σ2Im。并且有先驗分布：β～N(E(β),σ2I2)，其中E(β)=μ，(μ為已知超參數)。在煤油加注溫升模型中，μ為給定的經驗參數：加注溫變系數f1和加注泵溫升f0，記為μ=[f1,f0]T。

在式(2)所示的回歸模型中參數的最小風險貝葉斯線性無偏估計(簡稱MRBLUE)定義如下[8]：

其中

(4)

b=(Im-AX)μ

(5)

計算貝葉斯風險

E[A(Y-Xμ)-(β-μ)]TD[A(Y-Xμ)-(β-μ)]=

Etr{D[A(Y-Xμ)-(β-μ)][A(Y-Xμ)-(β-μ)]T}=

σ2tr{DA(Im+XXT)AT+DAX-DXTAT}

(P+BCBT)-1=P-1-P-1B(BTP-1B+C-1)-1BTP-1

即

A=(XXT+Im)-1XT

(6)

所以β的最小風險貝葉斯線性無偏估計為

(7)

對上式進行進一步梳理，有

(8)

(9)

3 加注溫升參數估計

圖2 基于A試驗任務數據的加注溫度對比Fig.2 Comparison of filling temperature based on test A

3種方法測得的參數中，由貝葉斯回歸參數得到的加注結束溫度與實測溫度最為相近。進一步計算3種方法得到的加注結束溫度與實測溫度的誤差，如表1所示。

表1 基于A樣本數據的誤差對比

經過貝葉斯回歸估計參數后得到的加注結束溫度與實測溫度最為吻合，相對經驗參數的結果改善了53.89%。最小二乘結果與經驗參數結果相似，但最小二乘方法受測量誤差影響，估算得到的加注泵溫升f0=-6.579 9<0，與實際情況不符，可見小樣本條件下最小二乘方法并不適用。

將從此次加注過程中計算得到的貝葉斯回歸參數用于該型火箭飛行試驗任務B的加注過程，使用煤油初始加注溫度計算得到加注結束溫度，聯合使用實驗測定參數算出的結果與實測溫度進行比較，結果如圖3所示。

圖3 基于B試驗任務數據的加注溫度對比Fig.3 Comparison of filling temperature based on test B

進一步計算三種方法得到的加注結束溫度與實測溫度的誤差，如表2所示。經過貝葉斯估計參數后得到的加注結束溫度與實測溫度最為吻合，相對經驗參數的結果改善了65.12%。相對于A樣本數據，B樣本數據體現出來的實驗測定結果誤差更小，是因為本文中使用的A任務給定的經驗參數，其本身就是針對B樣本中擬合不好的問題進行修正過的結果，所以采用此參數計算A任務數據效果要優于B任務數據。同時，可以看到，直接根據靶場小樣本數據進行貝葉斯回歸修正后的參數，其擬合結果在A、B數據中皆優于經驗參數的擬合結果。

表2 基于B樣本數據的誤差對比

上述結果說明利用歷史數據進行貝葉斯回歸得到的參數與實驗測定參數相比，能更好地擬合加注過程的煤油溫升。據此驗證了貝葉斯回歸進行參數估計，改進未來煤油加注溫度計算這一方法的可行性和科學性。

值得注意的是，貝葉斯回歸不僅在小樣本情況下實現科學合理的參數估計，它同樣可以在樣本量增加的情況下，提高自身的估計精度。圖4所示為使用A，B兩次樣本數據進行估計的參數，與只使用A一次樣本數據進行估計的參數，對A加注結束溫度進行擬合解算的效果對比。

圖4 樣本數量對參數估計效果的影響Fig.4 The influence of sample size to estimation result

使用兩次數據樣本估計的參數，解算出的加注結束溫度與實際測量溫度的均方誤差為4.056 6，與一次數據樣本估計的參數得到的均方誤差5.937 5(見表1)相比，有了進一步改善。

4 結語

為適應未來火箭飛行試驗更大推力、更高精度的要求[15]，精準加注是靶場必須解決的技術問題。在最快的時間內估計出最精確的參數，建立最精確的推進劑溫升模型，是其中的關鍵環節。利用僅有的幾次飛行試驗數據，本文采用貝葉斯回歸分析方法，很好地解決了靶場小樣本下煤油加注溫升參數估計問題。相比于目前使用的經驗參數和經典的最小二乘方法，貝葉斯回歸能夠綜合經驗參數先驗信息和靶場實地實測數據進行科學估計，有效抑制測量誤差的影響，顯著提高估計精度。隨著液體火箭飛行試驗任務的逐漸增多，可用的數據樣本容量相應增大，貝葉斯回歸分析的參數估計精度會得到進一步提升，為精準加注提供更為堅實的理論基礎。