不確定參數(shù)攝動的高超聲速飛行器滑模控制

李興格，李 剛，熊思宇

（1. 空軍工程大學(xué)研究生院，西安，710051；2. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安，710051）

0 引 言

高超聲速飛行器（Hypersonic Vehicle，HV）主要是指以吸氣式推進(jìn)系統(tǒng)為動力、飛行高度在20～100 km的臨近空間、飛行馬赫數(shù)大于5 的一類飛行器。由于這類飛行器大量采用柔性材料，發(fā)動機(jī)/機(jī)體采用一體化設(shè)計(jì)以及細(xì)長的氣動外形布局，導(dǎo)致飛行器存在強(qiáng)烈的耦合現(xiàn)象[1～3]。

臨近空間內(nèi)大氣環(huán)境不穩(wěn)定，飛行條件復(fù)雜多變，飛行器參數(shù)靈敏度要求高，需建立精確的氣動系數(shù)模型和動力學(xué)模型[4]。由于HV 飛行中的各種力學(xué)過程無法完全精確地體現(xiàn)在高超聲速飛行器的控制模型中，無法預(yù)測的擾動難以避免，飛行中的氣動系數(shù)也會受到飛行器攻角、速度、大氣密度和舵偏角影響，使得高超聲速飛行器的穩(wěn)定控制較困難[5～7]。而在存在干擾條件和不確定性的條件下，系統(tǒng)的穩(wěn)定跟蹤控制顯得十分重要。同時(shí)，為減少燃料消耗以及HV 對姿態(tài)的強(qiáng)敏感性，飛行過程中應(yīng)盡量避免橫向機(jī)動，因而，對其縱向運(yùn)動進(jìn)行研究有其合理性和實(shí)際意義[8]。

HV 的發(fā)展起步比較早，經(jīng)過五十多年的完善與發(fā)展，對于飛行器的控制方法日趨成熟。滑模控制方法通過一些相應(yīng)的控制策略對系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行控制以及對不確定參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，已經(jīng)被應(yīng)用于諸多領(lǐng)域[9]。 文獻(xiàn)[10]中的高超聲速飛行器的控制律應(yīng)用了滑模控制的方法，并且在魯棒控制器和觀測器的設(shè)計(jì)中應(yīng)用了滑模變結(jié)構(gòu)控制的方法。在實(shí)際應(yīng)用中，滑模控制的一個(gè)主要缺點(diǎn)就是抖振問題。文獻(xiàn)[11]通過在滑模面附近設(shè)計(jì)邊界層，并且將飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，這種方法在一定程度上消除了抖振，但是比較保守。文獻(xiàn)[12]通過設(shè)計(jì)普通滑模面和積分滑模面的多模切換，利用積分的方法解決抖振問題，但是切換比較復(fù)雜。吳忠強(qiáng)[13]利用了高階滑模時(shí)間積分解決抖振問題，取得了一定的效果。胡強(qiáng)暉[14]等在滑模抖振抑制問題上，設(shè)計(jì)了變增益滑模控制器，將狀態(tài)的差值作為滑模增益，當(dāng)狀態(tài)跟蹤誤差為零時(shí)，滑模增益為零也即消除了抖振。

上述文獻(xiàn)的研究主要集中在滑模控制方法與解決抖振問題，很少考慮HV 在高超聲速飛行中速度變化引起的不確定性參數(shù)攝動的變化問題，這些參數(shù)的不確定性極有可能導(dǎo)致控制器突然失穩(wěn)，控制方法失效。目前高超聲速飛行器研究中，對于氣動系數(shù)模型一般采用簡化形式[9,11]，即只考慮攻角的影響，通過系數(shù)辨識的方法得到氣動系數(shù)模型。然而由于該模型沒有考慮到飛行過程中的速度變化帶來的氣動系數(shù)的影響，并不能真正反映高超聲速飛行器的氣動特性。

本文考慮利用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法建立控制器。通過對氣動系數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，利用非線性最小二乘算法對改進(jìn)的氣動系數(shù)模型對高超聲速下的氣動系數(shù)進(jìn)行參數(shù)辨識，得到高超聲速飛行中準(zhǔn)確的氣動系數(shù)，應(yīng)用于控制器中。引入模糊函數(shù)建立函數(shù)逼近器對控制律中影響系統(tǒng)穩(wěn)定控制的大氣密度、飛行器參考面積等不確定參數(shù)集進(jìn)行逼近，提高了控制器的控制精度，利用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，也提高了控制器的魯棒性能。通過仿真驗(yàn)證了控制方法的有效性。

1 運(yùn)動學(xué)模型

常規(guī)飛行狀態(tài)下，高超聲速飛行器運(yùn)動狀態(tài)可分解為互不耦合的縱向運(yùn)動和側(cè)向運(yùn)動。考慮高超聲速飛行器的縱向運(yùn)動，建立非線性動態(tài)微分方程模型為

式中 V，h，α，γ，Q 分別為剛體狀態(tài)下HV 的速度、高度、攻角、航跡角和俯仰角速度；μ，Re分別為地球的萬有引力常數(shù)和地球的平均半徑；m 為高超聲速飛行器質(zhì)量；Iyy為高超聲速飛行器轉(zhuǎn)動慣量；myy為俯仰力矩；L 為升力；D 為阻力；T 為推力。

采用發(fā)動機(jī)模型為超聲速燃燒沖壓發(fā)動機(jī)，利用二階系統(tǒng)進(jìn)行發(fā)動機(jī)建模，簡化的發(fā)動機(jī)模型可以描述為

式中 β，βc分別為發(fā)動機(jī)節(jié)流閥的實(shí)際值和指令值；ξ，ωn分別為二階系統(tǒng)模態(tài)的阻尼和自然振動頻率。

T，D，L，myy等變量均是系統(tǒng)狀態(tài)和輸入的復(fù)雜的代數(shù)函數(shù)，其擬合形式可以表示為

式中 δe為升降舵偏角；ρ 為大氣密度；S 為飛行器的參考面積；c 為平均氣動弦長；CD，CL，CT分別為阻力系數(shù)、升力系數(shù)和推力系數(shù)； CM(α )為攻角決定的力矩系數(shù)； CM( Q )為俯仰角速率決定的力矩系數(shù)； CM(δe)為舵偏角決定的力矩系數(shù)。各參數(shù)具體取值見文獻(xiàn)[11]。

系統(tǒng)的輸入為節(jié)流閥指令值βc和升降舵偏角δe。

為了對控制器的抗干擾性與魯棒性進(jìn)行驗(yàn)證，在模型參數(shù)中加入不確定性：

式（4）中為驗(yàn)證控制器對不確定性參數(shù)?m，? I，?S，? c，?ρ， ?ce的魯棒性能，仿真過程中引起的攝動按最大值處理，即不確定性參數(shù)的攝動量峰值為。參數(shù)不確定性攝動均為有界量，且滿足均為有界正實(shí) 數(shù)， 且

2 輸入輸出線性化

引理1[15,16]：系統(tǒng)在輸入/輸出點(diǎn)完全線性化的充分必要條件是總相對階數(shù)和系統(tǒng)階數(shù)相等。如果總相對階數(shù)小于系統(tǒng)階數(shù)，則非線性系統(tǒng)只能部分線性化。

根據(jù)引理1，多輸入多輸出（Multitle Input and Multitle Output，MIMO）系統(tǒng)的反饋線性化是對輸出通道的每一輸出求微分，直至出現(xiàn)控制輸入。對HV輸出通道的速度V 和高度h 分別進(jìn)行微分。在V 進(jìn)行3次微分和h 進(jìn)行4 次微分后，微分式中出現(xiàn)控制輸入量βc和δe。由于系統(tǒng)的相對階數(shù)為7，HV 縱向模型的系統(tǒng)階數(shù)為7，系統(tǒng)不存在內(nèi)動態(tài)，HV 可以實(shí)現(xiàn)精確輸入/輸出點(diǎn)完全線性化，即：

其中，

式（5）～（7）中，x=[Vhαγ Q]T, f1(x)，f2(x) ，f3(x) 分別表示模型式（1）中的表達(dá)式。

線性化后的系統(tǒng)表達(dá)式為

式中

3 控制器設(shè)計(jì)

HV 的控制目標(biāo)是通過對于輸入βc和δe的不斷調(diào)整，實(shí)現(xiàn)飛行器速度V 和高度h 對參考指令的穩(wěn)定跟蹤。根據(jù)精確線性化后的模型可知，速度通道與高度通道相互獨(dú)立。通常在形式上先將HV 模型分解成速度子系統(tǒng)和高度子系統(tǒng)，對控制律分別進(jìn)行設(shè)計(jì)。

3.1 速度控制律設(shè)計(jì)

定義跟蹤誤差 V~ =V ?Vref，其中，Vref為速度參考值。速度通道的滑模面設(shè)計(jì)如下：

式中 λV為正常數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)處于滑模面，即Vσ =0 時(shí)，跟蹤誤差V~將會以2/λV的速率指數(shù)趨近于零[17]。

將式（11）進(jìn)行微分：

設(shè)計(jì)基于指數(shù)趨近律的滑模控制律為

式中 kV，λV為正常數(shù)。

將式（13）帶入式（12）得到：

式中

下面對基于指數(shù)趨近律的滑模控制律，即式（14）進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

定理1：當(dāng)t →∞時(shí)，系統(tǒng)能夠在滑模控制律式（14）的作用下到達(dá)滑模面式（11），保證滑模面漸進(jìn)穩(wěn)定，即使滑模態(tài)存在條件 σVσ ˙V＜0 成立。

證明：取Lyapunov 函數(shù)LV=，將LV對時(shí)間求導(dǎo)，得：

當(dāng)t →∞時(shí)， σV→ 0 ，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，又因?yàn)閗V＞0, λV＞0，則 L˙V＜0，即 σVσ˙V＜0，滑模面也是漸進(jìn)穩(wěn)定的，證畢。

3.2 高度控制律設(shè)計(jì)

定義跟蹤誤差h~=h-href，設(shè)計(jì)高度通道的滑模面為

同理，λh為正常數(shù)，當(dāng)hσ =0 時(shí)，跟蹤誤差h~將會以3/λh的速率指數(shù)趨近于零[17]。

與速度通道同理，將式（16）微分后，設(shè)計(jì)高度通道的滑模控制律：

將速度通道和高度通道寫成矩陣形式：

式中

HV 控制系統(tǒng)的控制律為

3.3 模糊函數(shù)逼近器設(shè)計(jì)

為保證高超聲速飛行器系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，必須找到參數(shù)不確定性組合。由于參數(shù)均反映在增益矩陣B中，因此，將增益矩陣B 寫成一個(gè)定基矩陣Y 與一個(gè)不確定參數(shù)矩陣A 的乘積，即：

定義1：在歐式空間 R2×2中，設(shè)：

則， B = Y ×A。其中，矩陣Y 內(nèi)的各元素中，各參數(shù)都是固定不變的，如式（20）所示。矩陣A 內(nèi)的元素中，含有不確定性參數(shù)，如式（21）所示。

下一步，將問題轉(zhuǎn)化為對矩陣A 內(nèi)非確定參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，即對w 和s 進(jìn)行逼近。根據(jù)模糊函數(shù)能以任意精度逼近任一連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，采用模糊函數(shù)作為函數(shù)逼近器。

為保證速率，降低逼近誤差，選擇模糊逼近器輸入輸出結(jié)構(gòu)為 3-1，對不確定參數(shù) w 進(jìn)行逼近。為模糊函數(shù)輸入向量。為模糊基函數(shù)的權(quán)值，模糊函數(shù)的輸出值為為模糊基函數(shù)。μFil為隸屬度函數(shù)，常見的隸屬度函數(shù)有高斯型、三角形等多種類型，假定 μFil在自適應(yīng)調(diào)整過程中保持不變。模糊函數(shù)輸入輸出形式如下：

定義模糊函數(shù)逼近誤差w~= w??w，若采用梯度下降法，則設(shè)計(jì)函數(shù)逼近器的目標(biāo)是要保證通過調(diào)整模糊基函數(shù)的權(quán)值θ1，保證式（24）達(dá)到最小。

即：

然而，當(dāng)誤差w~非常小的時(shí)候，采用式（25）的梯度下降法θ1調(diào)整速度太慢，因此采用文獻(xiàn)[18]的快速終端滑模算法設(shè)計(jì)誤差迭代指標(biāo)：

式中 η1,η2＞0，p,q(p＞q)為奇整數(shù)，則p+q 為偶數(shù)。因此式（26）為正定函數(shù)，相應(yīng)的梯度學(xué)習(xí)算法用式（27）表示：

定理2：若模糊函數(shù)逼近器（22）的參數(shù)矢量θ1按照式（28）的方法來逼近未知連續(xù)函數(shù)，所得的函數(shù)逼近器是李雅普諾夫穩(wěn)定的，且參數(shù)矢量θ1將在系統(tǒng)要求的有限時(shí)間內(nèi)逼近最優(yōu)參數(shù)矢量θ1*。

式中

和文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)的控制器相比，本文采用的模糊函數(shù)逼近器使用終端滑模算法，通過與式（28）比較，權(quán)值學(xué)習(xí)更新速率比文獻(xiàn)[20]中采用的方法有很大提高，并證明了算法的穩(wěn)定性。

對于不確定參數(shù)s，依然采用3-1 結(jié)構(gòu)的模糊函數(shù)逼近器，為輸入向量，為模糊基函數(shù)的權(quán)值，模糊函數(shù)的輸出值為s?；ξ ( x2)為模糊基函數(shù)。μFjv為隸屬度函數(shù)，假定 μFjv在自適應(yīng)調(diào)整過程中保持不變。輸入輸出形式如下：

許多文獻(xiàn)[19,20]未考慮不確定性參數(shù)攝動對剛體狀態(tài)的影響，本文設(shè)計(jì)的參數(shù)辨識器，充分考慮到飛行過程中的不確定性攝動的影響，因此控制難度更大。

3.4 氣動模型參數(shù)辨識器設(shè)計(jì)

HV 在高超聲速飛行中，外界擾動顯著，傳統(tǒng)方法只考慮飛行器角度變化對氣動系數(shù)帶來的影響，不能真實(shí)反映HV 的真實(shí)氣動特性，在控制中會帶來很大的誤差，甚至導(dǎo)致控制器失穩(wěn)。根據(jù)文獻(xiàn)[21]給出的CAV-L 的氣動系數(shù)數(shù)據(jù)和飛行器基本參數(shù)，建立HV的氣動系數(shù)模型。

根據(jù)阻力系數(shù)CD與攻角α 和速度V 之間的關(guān)系，選擇阻力系數(shù)模型如下：

根據(jù)升力系數(shù)CL與攻角α 和速度V 之間的關(guān)系，選擇升力系數(shù)模型如下：

對于建立的非線性氣動系數(shù)模型，采用非線性最小二乘法對式（36）和式（37）中的參數(shù)進(jìn)行辨識。假設(shè)，且是在[a,b]上獨(dú)立且無關(guān)的函數(shù)，其中pi是未知參數(shù)，f(x)可以近似為

阻力系數(shù)模型的一階導(dǎo)數(shù)為

升力系數(shù)模型的一階導(dǎo)數(shù)為

整個(gè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)包括基于指數(shù)趨近律的滑模控制律、改進(jìn)氣動參數(shù)模型和基于模糊函數(shù)的不確定參數(shù)逼近器，具體結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu) Fig.1 Structure Diagram of Control System

4 仿真驗(yàn)證

對控制器性能進(jìn)行驗(yàn)證，以HV 縱向模型為仿真對象。HV 的初始速度V=2380 m/s，初始高度h=27 000 m，攻角為0°，俯仰率為0（°）/s。速度與高度參考輸入均由發(fā)動機(jī)阻尼比為0.7 rad/s 和自然頻率為5 rad/s 的二階參考模型給出。仿真中，速度階躍 V? =2380 m/s，高度階躍 h? =100 m。為驗(yàn)證控制器的魯棒性，在模型中加入攝動，仿真步長為0.01 s。滑模變結(jié)構(gòu)控制器參數(shù)選擇為kV=30，kh=30。在未知變量w 和s 中，輸入變量定義5 個(gè)模糊集合，記為BC、BE、PF、NB 和CM，選取的隸屬度函數(shù)為高斯基函數(shù)，模糊函數(shù)逼近器參數(shù)選擇列于表1、表2。

表1 變量w 和s 的模糊函數(shù)逼近器參數(shù)設(shè)置 Tab.1 Parameter Setting of Fuzzy Function Approximator for Variable w and s

表2 輸入變量的隸屬度函數(shù) Tab.2 Membership Function of Input Variables

4.1 情形一：據(jù)文獻(xiàn)[21]中數(shù)據(jù)對改進(jìn)的氣動系數(shù)模型進(jìn)行非線性最小二乘辨識結(jié)果

據(jù)文獻(xiàn)[21]中數(shù)據(jù)，對改進(jìn)的氣動系數(shù)模型進(jìn)行非線性最小二乘辨識，其中CL和CD與攻角α 和速度V 的關(guān)系如圖2～ 5 所示。辨識結(jié)果如表3、表4 所示。

表3 升力系數(shù)模型辨識結(jié)果 Tab.3 Lift Coefficient Model Identification Results

表4 阻力系數(shù)模型辨識結(jié)果 Tab.4 Resistance Coefficient Model Identification Results

圖2 升力系數(shù)與攻角的關(guān)系（情形一） Fig.2 Relationship Between Lift Coefficient and Angle of Attack of Case 1

圖3 升力系數(shù)與速度的關(guān)系（情形一） Fig.3 Relationship Between Lift Coefficient and Speed of Case 1

圖4 阻力系數(shù)與攻角的關(guān)系（情形一） Fig.4 Relationship Between Drag Coefficient and Attack Angle of Case 1

圖5 阻力系數(shù)與速度的關(guān)系（情形一） Fig.5 Relationship Between Drag Coefficient and Speed of Case 1

4.2 情形二：據(jù)文獻(xiàn)[23]提出的滑模控制律控制方法，采用常用的氣動系數(shù)模型的仿真結(jié)果

據(jù)文獻(xiàn)[23]提出的滑模控制律控制方法，采用常用的氣動系數(shù)模型，對不確定參數(shù)進(jìn)行估計(jì)和逼近。假設(shè)仿真結(jié)果如圖6、圖7 所示。

圖6 速度指令跟蹤效果（情形二） Fig.6 Speed Instruction Tracking Effect of Case 2

圖7 高度指令跟蹤效果（情形二） Fig.7 Altitude Command Tracking Effect of Case 2

4.3 情形三：對各個(gè)不確定性參數(shù)加入不同攝動量的仿真結(jié)果

為檢驗(yàn)控制器的魯棒性能，對各個(gè)不確定性參數(shù)加入不同攝動量，其中m 的攝動量為±5%，I 的攝動量為±25%，其他不確定性參數(shù)S ,, ρ, ce, CMα的攝動量分別為±10%，±10%，±5%，±10%，±5%，仿真結(jié)果如圖8～18 所示。

圖8 速度指令跟蹤效果（情形三） Fig.8 Speed Instruction Tracking Effect of Case 3

圖9 高度指令跟蹤效果（情形三） Fig.9 Speed Instruction Tracking Effect of Case 3

圖10 節(jié)流閥動態(tài)曲線（情形三） Fig.10 Dynamic Curve of Throttle Valve of Case 3

圖11 升降舵偏角動態(tài)曲線（情形三） Fig.11 Dynamic Curve of Elevator of Deflection Case 3

圖12 攻角動態(tài)曲線（情形三） Fig.12 Dynamic Curve of Attack Angle of Case 3

圖13 俯仰角速率動態(tài)曲線（情形三） Fig.13 Dynamic Curve of Pitch Rate of Case 3

圖14 航跡角動態(tài)曲線（情形三） Fig.14 Dynamic Curve of Track Angle of Case 3

圖15 滑模面變化曲線（情形三） Fig.15 Curve of Sliding Surface of Case 3

圖16 Vf 的實(shí)際值與估計(jì)值（情形三） Fig.16 Actual Value and Estimated value of Vf of Case 3

圖17 hf 的實(shí)際值與估計(jì)值（情形三） Fig.17 Actual value and estimated value of hf of Case 3

圖18 w 和s 的估計(jì)值（情形三） Fig.18 Estimated Values of w and s of Case 3

從以上仿真結(jié)果可知，單純采用文獻(xiàn)[23]中的方法，當(dāng) fV和 fh產(chǎn)生少量攝動，速度V 和高度h 均不能對指令正確穩(wěn)定跟蹤（見圖6、圖7），跟蹤誤差V~和h~趨近發(fā)散。

而采用本文提出的方法時(shí)，速度V 和高度h 實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤，跟蹤誤差V~和h~趨于收斂（見圖8、圖9）。設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)氣動系數(shù)模型，通過非線性最小二乘辨識，實(shí)現(xiàn)對氣動系數(shù)的精確估計(jì)，進(jìn)而能實(shí)現(xiàn)對 fV和fh的實(shí)時(shí)估計(jì)（見圖16、圖17）。對不確定性參數(shù)加入攝動量后，模糊函數(shù)逼近器依然能夠進(jìn)行有效的參數(shù)辨識，并快速收斂（見圖18）。節(jié)流閥cβ 、升降舵偏角eδ 以及攻角α也能夠在約束范圍內(nèi)快速穩(wěn)定（見圖10～12）。俯仰角速率q、航跡角γ 以及滑模面S 的變化能快速收斂與穩(wěn)定。通過與情形二對比，以改進(jìn)的氣動系數(shù)模型和模糊函數(shù)逼近器為基礎(chǔ)的滑模控制器對于不確定參數(shù)的控制具有優(yōu)越的性能。它不僅對參數(shù)不確定性具有自適應(yīng)性，而且保持滑模控制的魯棒性和快速性。

5 結(jié) 語

針對系統(tǒng)內(nèi)不確定性參數(shù)攝動的高超聲速飛行器縱向模型，考慮到傳統(tǒng)氣動系數(shù)簡化模型無法真實(shí)反映飛行器的氣動特性和高超聲速下某些不確定性參數(shù)攝動的問題，提出了一種改進(jìn)的氣動系數(shù)模型, 利用改進(jìn)模型得到準(zhǔn)確的氣動系數(shù)參數(shù)，設(shè)計(jì)了一種基于某些不確定參數(shù)的模糊函數(shù)逼近的高超聲速飛行器滑模控制器。應(yīng)用模糊函數(shù)的強(qiáng)大函數(shù)逼近能力對不確定參數(shù)進(jìn)行逼近，并與滑模變結(jié)構(gòu)控制結(jié)合，提高了系統(tǒng)的魯棒性，并實(shí)現(xiàn)了對系統(tǒng)指令的穩(wěn)定跟蹤控制。仿真結(jié)果充分表明，改進(jìn)氣動系數(shù)模型和以模糊函數(shù)逼近器為基礎(chǔ)的滑模控制器具有優(yōu)越的性能。根據(jù)高超聲速飛行器非線性和強(qiáng)耦合和不確定的特點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)的控制器可以滿足其控制要求。