基于Mohr-Coulomb準則的應變軟化淺埋隧道圍巖彈塑性解

湯盛顯，李亮

基于Mohr-Coulomb準則的應變軟化淺埋隧道圍巖彈塑性解

湯盛顯，李亮

(中南大學土木工程學院，湖南 長沙 410075)

針對軟化圍巖淺埋隧道開挖問題，提出一種彈塑性半解析解，確定半無限空間下塑性區范圍和應力位移分布。具體的方法分為：對Verruijt等提出的彈性解進行修正，結合彈塑性交界面上應力連續原則，得到塑性區外邊界上應力和應變；采用Zou等提出的逐步半徑增量法從外向內推導塑性區應力應變；若計算出的塑性區內邊界徑向應變等于隧道壁應變，則可以確定塑性區，應力和位移，利用數值模擬解驗證本文方法的可靠性。研究結果表明：淺埋隧道不同方向的塑性區半徑不同，拱頂方向最大，拱底方向最小。

淺埋隧道；軟化圍巖；半無限空間；彈塑性解；逐步半徑增量法

圍巖的應力與位移計算是穩定性分析的重要內容，目前已取得了不少研究成果。但這些研究大多針對深埋隧道，即忽略了地表邊界條件的影響，將圍巖視為無限介質，地應力均勻分布。而對淺埋

隧道進行分析時，不能忽視地表的影響，地應力也不是均勻分布，因此求解難度較大，成果相對匱乏。對深埋隧道的分析不但考慮了彈性模型還考慮了理想彈塑性模型，彈?脆?塑模型和應變軟化模型，而針對淺埋隧道，大多基于圍巖完全彈性假設，采用鏡像法、雙極坐標法、復變函數法等方法進行分析<[1?6]。Sagaseta[4]通過源匯法簡化了半空間隧道開挖的彈性解，得到了彈性假設條件下的位移及應力解答。Verruijt[6]利用Sagaseta提出的源?匯法，計算推導得到了地表半無限彈性空間考慮土體壓縮對土體產生的位移解。Strack等[5]采用復變函數理論系統地給出了半無限彈性平面的圓孔擴張隱式解。王巖等[7]采用雙極坐標法，推導出基于廣義Hoek? Brown強度準則的半無限空間內圓形隧道圍巖的彈塑性解析解，但是該解答并未考慮圍巖應變軟化特性。大量研究表明應變軟化模型更能準確地描述巖土體性質[8?15]。為此，本文對考慮圍巖軟化特性下淺埋隧道應力和位移的變化規律及塑性區分布進行分析。

1 線性應變軟化模型

1.1 屈服準則

在Mohr-Coulomb準則中，有：

式中：r為小主應力；p為塑性剪應變。

1.2 臨界支護力

當圍巖內在支護力i低于臨界值ic時，塑性區將會形成。對于M?C準則巖土體，

1.3 應變軟化模型

在早期的研究中，隧道圍巖的力學分析往往采用理想彈塑性模型，即材料屈服后，應力不再增加，應變卻持續增加。后續的研究表明，巖土體屈服后，強度系數會有所折減，因此彈?脆?塑模型被提出。之后的實驗及理論分析又發現，巖土體從彈性到塑性會經歷一個逐漸軟化的過程。Alonso等[12]提出軟弱參數，并用塑性偏應變表征應變軟化系數，通過應變軟化系數來表示該軟化過程。巖體應力與各種強度參數隨應變軟化系數的變化曲線如圖1所示。

圖1 應變軟化過程

根據應變軟化模型，強度參數可以通過應變軟化系數進行描述。

式中：代表圍巖的強度參數；和分別表示圍巖的峰值和殘余強度。

2 理論推導

2.1 彈性區解答

Verruijt等[16]運用鏡像法推導出淺埋隧道圍巖的應力位移，求解過程基于圍巖完全彈性假設，因此該解答可用于求解彈性區應力位移分布。為此，將塑性區和隧道視為一個半徑為p徑向應變為p的柱孔，那么該柱孔以外區域(即彈性區)的計算點(,)的應力位移可用修正后的Verruijt解求出，

圖2 淺埋隧道彈性區解

2.2 塑性區求解過程

將屈服方程與平衡方程結合，即得到第個圓環內邊界上的徑向和環向應力：

根據Hooke定律，第環內邊界彈性應變為：

根據塑性區相容方程和塑性勢函數，環向和徑向塑性應變增量為：

第環內邊界的應變軟化系數為：

2.3 塑性區半徑確定

建立以隧道為中心的極坐標，得到極坐標系下彈性區徑向和環向應力：

在彈塑性交界面上，因圍巖徑向應力連續， 那么

式中：σre為彈塑性交界面上彈性區的應力；σrp為彈塑性交界面上塑性區的應力。

假定p已知，可利用式(20)求得對應的p。將p和p帶入式(7)~(9)，得到彈性區應力位移，繼而得到彈塑性交界面的徑向應力和地應力。運用有限差分法對塑性區應力應變從外向內進行求解，得到塑性區應力位移。

本文采用塑性半徑逐步增加0.001 m的方法不斷改變假定的塑性半徑，以隧道壁應變0為邊界條件。當推導出的塑性區第環內邊界徑向應變r(n)與隧道壁應變0相等時，結束運算，輸出塑性區半徑。由于不同方向的塑性區半徑不一定相等，所以本文對每一極坐標角下的塑性區半徑逐一進行求解，從而得到塑性區范圍。本文采用MATLAB軟件進行編程，具體的求解過程如圖3所示。

3 數值驗證

為驗證本文理論方法的可靠性，將本文理論解答和數值模擬結果(使用Abaqus軟件)進行對比驗證。選取的計算參數[12]有：隧道特征參數：隧道半徑=4.25 m，隧道埋深=19 m；巖土體特征參數：彈性模量=35 MPa，泊松比=0.25，重度=19 kN/m3，內摩擦角峰值p=25°，殘余值r=20°，黏聚力p=80 kPa，殘余值p=70 kPa，剪脹角峰值p=19.47°，殘余值r=4.22°，臨界塑性偏應變p*=0.004 742，=500。

3.1 塑性區分布

圖4給出了半無限空間下隧道的有限元模型，模型尺寸為200 m×100 m。隧道半徑為4.25 m，隧道壁應變為0。Abaqus塑性區計算結果與本文所給方法計算結果對比如圖5所示。

圖4 有限元模型圖

圖5 塑性區分布對比

從兩圖對比可以看出，本文理論解與數值模擬解的結果基本吻合，塑性區的分布很相似。淺埋隧道的塑性區半徑并不是處處相等的，其中拱頂方向塑性區半徑最大，拱底方向塑性區半徑最小。

3.2 應力位移驗證

選取隧道拱腰右側巖土體(=0°)為研究對象，將本文理論解答及數值模擬解答進行對比，結果如圖6所示。

圖6 拱腰右側應力位移對比

與Abaqus計算結果的對比表明，無論是徑向應力還是環向應力本文方法計算結果與數值模擬有相同的規律，且大小基本吻合，最大差值僅為 7 kPa。

位移計算結果對比表明，本文方法計算出的位移與數值模擬解答較為接近，最大差值為0.5 mm。

總體上看，本文理論解答可以較為準確的反映出隧道圍巖塑性區分布。無論應力還是位移，本文理論解答與數值模擬解答基本匹配，誤差很小，表明本文的方法是可靠的。

4 結論

1) 利用彈塑性交界面上應力連續原則并用隧道壁應變為邊界條件，求出了塑性區半徑和對應的徑向應變，繼而采用有限差分法推導塑性區應力位移。運用Abaqus數值模擬軟件進行對比驗證，塑性區的徑向和環向應力及位移分布與數值模擬結果吻合且有較高精度，證明了本文方法的正確性和有效性。

2) 對已有的淺埋隧道完全彈性解做了修正，得到了應變軟化淺埋隧道圍巖彈性區解析解，并驗證了其正確性。

3)給出了淺埋隧道圍巖不同方向的塑性區半徑，繪制出整個塑性區分布。使用有限元軟件進行數值模擬，將結果與本文的理論解對比從而驗證了本文方法的準確性。半無限空間下圍巖塑性區分布并不是軸對稱的，其中拱頂方向塑性區半徑最大，拱底方向最小。

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Elasto-plastic solution of shallow tunnel considering strain-softening characteristics based on Mohr-Coulomb criterion

TANG Shengxian, LI Liang

(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

In this paper, an elasto-plastic semi-analytical solution was proposed. The plastic zone and distribution of stress and displacement in semi-infinite space was determined. The specific method was divided into three steps: The elastic solution proposed by Verruijt in the semi-infinite space was modified, and the stress and strain on the outer boundary of the plastic zone were obtained by combining the principle of stress continuity on the elasto-plastic interface. The stress and strain of the plastic zone were derived from the outside to the inside by the stepwise radius increment method presented by Zou. If the calculated radial strain in the plastic zone is equal to the tunnel wall strain, the plastic zone, stress and displacement can be determined. The reliability of the method was verified by numerical simulation. The results show that the plastic radiuses of the shallow tunnel in different directions are different.

shallow buried tunnel; strain softening; semi-infinite space; elasto-plastic solution; stepwise radius increment method

U451.2

A

1672 ? 7029(2019)11? 2775 ? 07

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.11.017

2019?02?01

國家重點研發計劃資助項目(2017YFB1201204)

李亮(1962?)，男，江蘇泰興人，教授，從事巖土與路基工程教學和科研工作；E?mail：liliang_csu@126.com

(編輯 蔣學東)