反證法

高慧明

北京市中學數學特級教師，現任教于北京市第十二中學;教育部課程改革“全國先進工作者”，教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓、班主任培訓、校長培訓特邀主講專家，受邀為教育部“國培計劃”做有關數學課堂教學、班級管理、教師專業成長等專題報告多場;在《教育研究》《中國教育學刊》《數學教育學報》《數學通報》等學術期刊上發表論文500余篇，其中100余篇被中國人民大學復印報刊資料《中學數學教與學》《中小學教育》全文轉載;已出版個人專著《高中數學思想方法及應用》《高考數學命題規律與教學策略》《讓高中生學會學習》《高慧明數學教學實踐與研究》（叢書）等多部，應邀主編、參編教材和教學著作30余部。

反證法屬于間接證明法，是從反面的角度思考問題的證明方法。具體地講，反證法是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、公理、定理、法則或已證明為正確的命題等相矛盾的結論。因為矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，就使命題獲得了證明。

反證法依據的是邏輯思維規律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時為真，至少有一個為假，這就是“矛盾律”;兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，這就是“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、公理、定理、法則或已證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假;再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真。

反證法的運用模式可以簡要概括為“否定→推理→否定”，即從否定結論開始，經過正確無誤地推理導致邏輯矛盾，達到新的否定。應用反證法證明主要有三步：否定結論→推導出矛盾→結論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設，即做出與求證結論相反的假設;第二步，歸謬，即將反設作為條件，通過一系列的正確推理導出矛盾;第三步，結論，即說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

反證法常用來證明的問題類型包括結論以“否定”“至少”“至多”“唯一”“無限”等形式出現的命題，或者否定結論更明顯的具體、簡單的命題，或者難以直接證明，需要改變思維方向，從結論入手進行反面思考的命題。

反證法作為一種思想方法，在數學中有很多應用。在小學數學教學中，教師應注意以下三點。

第一，掌握它的基本原理和步驟。反證法采用的論證方式是演繹推理中的假言推理形式，依據的是排中律。它的證明步驟大致如下：假設待證的結論為假、反論題為真;從反論題出發，經過正確的邏輯推理，得出與已知條件或者定義、定理、公理、事實等相矛盾的結論;根據排中律得出原結論成立。

第二，正確理解反證法涉及的一些概念和詞語。在描述一對概念間的關系時，“是”與“不是”、“等于”與“不等于”、“大于”與“小于”、“至少有一個”與“一個也沒有”等是相互矛盾的關系，而“大于5”與“小于5”、“正數”與“負數”等不是相互矛盾的關系，是對立關系。也就是說，兩個矛盾的種概念外延之和等于屬概念的外延，兩個對立的種概念外延之和小于屬概念的外延，如“大于”與“小于”中間有“等于”，“正數”和“負數”中間有0。

第三，學生通過簡單的案例、運用反證法通俗易懂的推理過程，能夠了解反證法的基本思想，培養思維的靈活性。如：“把11個參加活動的名額分配給6個班，每班至少分配1人。請說明：不管怎樣分，至少有3個班的名額相等。”運用反證法思考，我們可以這樣分析這道題：假設名額相等的班級最多有2個，那么需要的名額總數至少應為“（1+2+3）×2=12（個）”，而這個結論與已知條件“11個”名額相矛盾，所以至少有3個班的名額相等。

從“如果一個各項都不為零的三項數列，既是等差數列又是等比數列，則這個數列一定是常數數列”這個基本事實出發，把這樣的數列設計為超過三項，得到了本問題第一問中的兩個問題。第一個小問題，只能刪除第二或第三項;第二個小問題是如果這個數列有五項，則只能刪除中間一項。解決這個問題是反證的思想，即如果刪除其他項就會在數列中出現基本事實與題目中要求的公差不為零的矛盾。這個問題解決后，如果數列的項數超過，則無論刪除哪一項，都會出現基本事實，產生矛盾，從而使問題得到解決。本問題的第二問是一個結論為否定的存在性命題，解決的基本思想是反證，是一個以數列知識為依托，檢驗推理與證明的問題。

下期內容預告：數學思想方法系列講座（11）

責任編輯? 姜楚華