理法融合，以法促律
——談有關(guān)計(jì)算教學(xué)的幾類計(jì)算課

浙江省義烏市新絲路學(xué)校龍回校區(qū) 方健偉

計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，計(jì)算教學(xué)貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程。運(yùn)算通常來自對生活原型的抽象，抽象產(chǎn)生意義，意義產(chǎn)生算理，算理概括成為算法，不斷運(yùn)用算法就有了算律。反過來，算律是對算法的熟能生巧，算法是對算理的經(jīng)驗(yàn)概括，算理是對意義的理解，意義來自生活原型的支撐。算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理所蘊(yùn)含的行為的整理與提煉，算律則是在算法的支持下理解運(yùn)算的合規(guī)性，是算法的靈活運(yùn)用。在理解算理的前提下構(gòu)建算法，在熟練算法的基礎(chǔ)上明晰算律，三者既相輔相成，又各有千秋。

一、以“意”明“理”，讓“算理型”計(jì)算課更厚實(shí)

小學(xué)數(shù)學(xué)中低段的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容一般比較簡單，通常會以簡單計(jì)算或口算作為引路課。從掌握技能的角度看，學(xué)生都掌握得比較好。正因?yàn)閮?nèi)容簡單，有的老師在實(shí)踐教學(xué)中往往不愿花時間展開“說理”過程。計(jì)算的理論依據(jù)是算理，它的內(nèi)涵包括了運(yùn)算的意義、運(yùn)算的性質(zhì)和運(yùn)算律，為計(jì)算提供正確、可靠的思維依據(jù)。這一類課正是“講理”的課，也就是感知算理，為后續(xù)學(xué)習(xí)筆算做好鋪墊。

【課例1】整十、整百數(shù)乘一位數(shù)

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題。

讀懂信息，提出問題：楊樹每捆20 棵，3 捆共有幾棵？

2.學(xué)生先獨(dú)立思考，嘗試列式并計(jì)算，然后同桌交流。

把20×3 的結(jié)果算出來并不困難，學(xué)生借助已有的知識經(jīng)驗(yàn)會用多種方法得出答案。但對于算理的理解，學(xué)生往往是模糊的，這時直觀模型就能很好地幫助學(xué)生明確計(jì)算的意義，理解其中的算理。

3.師生交流，借助直觀模型來明確計(jì)算的意義，理解乘法的算理。

師：完成的同學(xué)，請四人小組討論一下，將你的想法跟大家分享。

生1：算式“20×3”表示3 個20 相加，所以我用20+20+20=60。

生2：我是先畫一條線，再跳3 次，每次是20，最后跳到了60。

師：你為什么要跳3 次？

生2：因?yàn)?0×3 表示3 個20，所以我跳了3 次。

生3：因?yàn)?×3=6，那20×3 就等于60。我先把20 的0 去掉，乘法口訣二三得六，再把0 加回去，就是60 了。

生4：我同意這種看法。20 就是2 捆十根的小棒，乘3 表示這樣的有3 份。2 乘3 表示一共有6 份，每一份是10 根，6 份就是60 根。

師：也就是10 表示一個十，6 乘10 表示6 個十，是60。

試著讓學(xué)生將自己的方法在投影上匯報(bào)交流。學(xué)生借助算式意義，運(yùn)用口算方法，或是用直觀數(shù)線方法理解乘法意義，明白計(jì)算方法。整十整百數(shù)乘一位數(shù)的口算乘法，如“20×3”“500×5”并不難，即使不上，學(xué)生也能很好很快地掌握口算乘法，教學(xué)中教師不能只求“快節(jié)奏”，而應(yīng)采用“慢拍子”，選擇多樣化的教學(xué)的方式，用好直觀模型（數(shù)線、點(diǎn)子圖、列表）、實(shí)物原型（小棒、計(jì)數(shù)器）等促進(jìn)學(xué)生理解算理。讓學(xué)生充分調(diào)取經(jīng)驗(yàn)，建立起足夠多的原型，感知運(yùn)算的道理。

二、循“理”入“法”，讓“算法型”計(jì)算課更豐厚

計(jì)算方法是依據(jù)有關(guān)的運(yùn)算意義和性質(zhì)將計(jì)算過程中的推理系統(tǒng)化和程序化，是一種比較先進(jìn)的邏輯推理。課堂教學(xué)中學(xué)生不清楚算理，知識遷移范圍就會受限，如果不及時總結(jié)方法，歸納算法，也不利于運(yùn)算能力的真正提高。因此，計(jì)算教學(xué)中，要力求循“理”入“法”，真正做到“理”“法”融合。

【課例2】乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法（筆算乘法）

計(jì)算“12×14”，出示學(xué)習(xí)要求：在點(diǎn)子圖上圈一圈、算一算，在表格里填一填，嘗試寫出你的計(jì)算過程。學(xué)生借助點(diǎn)子圖嘗試計(jì)算。

生1：先圈10 個12，再圈4 個12,120+48=168。

生2：還可以先圈10 個14，再圈2 個14，140+28=168。

生3：12×14 可以理解成10 個14 加上2 個14，其實(shí)與上面的方法一樣。

生4：我是分成四份，把12 分成了10+2，把14 分成了10+4。最大的那塊是10×10=100，還有10×4=40；下面的兩塊分別是10×2=20和2×4=8。最后把這四塊相加：100+20+40+8=168。（圖1）

生5：我是運(yùn)用表格的方法來計(jì)算的。結(jié)合點(diǎn)子圖來說明，這和前面分成四部分的意思其實(shí)是一樣的?？袋c(diǎn)子圖，100 就是10×10=100，40 就 是10×4，20 表 示 的 是10×2， 最 后 是2×4=8。下面算式表示的是把這四部分相加。（圖2）

圖1

圖2

在點(diǎn)子圖上圈和在表格上填空需要給學(xué)生足夠時間，那為什么還要引入這些直觀模型？價值就在于把靜態(tài)的知識激活了，讓學(xué)生研究計(jì)算方法有抓手。運(yùn)用直觀模型理解算理和乘法的意義，在探究算法時引導(dǎo)學(xué)生動手操作，在圈畫、拆分點(diǎn)子圖時清晰地呈現(xiàn)學(xué)生不同的算法。

師：請結(jié)合點(diǎn)子圖，指著表格中的算式，同桌之間互相說一說。

師：有一位同學(xué)是用列豎式的方法解答的，說一說每一步的意思，再想想乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法列豎式計(jì)算的方法是怎樣的？

從上述教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生不自覺地把豎式與前面的點(diǎn)子圖、表格聯(lián)系起來，利用點(diǎn)子圖和表格理解乘法豎式。這樣，學(xué)生在理解豎式中每一步的含義時，能將直觀的算理和抽象的算法有效結(jié)合，也就能水到渠成地歸納筆算方法了。

三、依“法”見“律”，讓“算律型”計(jì)算課更厚重

計(jì)算本身發(fā)展的必然需要體現(xiàn)在運(yùn)算律上，它是在計(jì)算過程中根據(jù)需要所產(chǎn)生的簡約規(guī)則。無論是整數(shù)的運(yùn)算，還是后續(xù)小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，這幾個運(yùn)算律都是適用的。運(yùn)算律的教學(xué)要在理解運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上基于算法去建立認(rèn)知，從運(yùn)算律的本質(zhì)出發(fā)，建立算法之間的相互聯(lián)系，拓寬運(yùn)算律的形成渠道，這樣教學(xué)，學(xué)生對于運(yùn)算律的理解是深刻，教學(xué)才能取得事半功倍的效果。

【課例3】乘法分配律

1.引入情境，列出算式。

（1）出示具體生活情境：貼瓷磚，學(xué)生嘗試用不同的方法解決問題。

（2）反饋學(xué)生解決問題的情況。

① 3×10+5×10； ②（3+5）×10；

③ 4×8+6×8； ④（4+6）×8。

師：說一說每個算式的含義，比一比4 個算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：答案都是80。

生2：3×10+5×10=（3+5）×10，4×8+6×8=（4+6）×8。

師：為什么①和②、③和④可以寫成等式？

生3：等號兩邊都是求同一個問題，只不過計(jì)算時的運(yùn)算順序不同，計(jì)算的結(jié)果都相同，所以可以用等號連接寫成等式。

在學(xué)習(xí)乘法分配律之前，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了運(yùn)算的順序和運(yùn)算的方法。上述過程是借助“貼瓷磚”情境，讓學(xué)生體會到乘法分配律兩種算式形態(tài)的正確性，充分運(yùn)用乘法意義建立的兩類算式雖然形態(tài)不一樣，但結(jié)果指向是相同的。借助問題情境指導(dǎo)下的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生感知乘法分配律的本質(zhì)。

2.發(fā)現(xiàn)規(guī)律，驗(yàn)證規(guī)律。

（1）舉例驗(yàn)證。

師：類似這樣的式子你能寫出一組嗎？它們?yōu)槭裁聪嗟龋?/p>

生：36×5+34×5 =（36+34）×5，左邊是36 個5 加上34 個5，得出70 個5，右邊也是70 個5，所以左右兩邊相等。

師：還能舉嗎？再寫一組。

（2）小結(jié)：類似“36×5+34×5 =（36+34）×5”這樣的等式不是個別現(xiàn)象，是一種普遍存在現(xiàn)象，是一種規(guī)律。

3.建立模型，梳理規(guī)律屬性。

師：請大家想一想、寫一寫，用自己的話表達(dá)這種規(guī)律。（反饋學(xué)生的表述情況）板書：○×△+○×☆=○×（△+☆），a×b+a×y=a×（b+y）。

師（小結(jié)）：一般情況下，我們可以用字母式“（a+b）×c=a×c+b×c”來表示這樣的規(guī)律，這就是乘法分配律。

引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對乘法分配律外在形式的認(rèn)識，利用靜態(tài)的表達(dá)式歸納總結(jié)出乘法分配律，初步建立乘法分配律的模型。

4.追根溯源，凸顯規(guī)律本質(zhì)。

師：乘法分配律其實(shí)我們并不陌生，從二年級開始，你們就已經(jīng)接觸了，只是那時我們不知道它就是乘法分配律。你們看，能用自己的方法解釋“7×8”和“長方形周長”嗎？

教學(xué)中，重視運(yùn)算律意義的理解，把前后知識有序勾連。溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，習(xí)得的知識也將實(shí)現(xiàn)更高層次的鞏固。提倡讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生過程，明白“為什么學(xué)”“怎么學(xué)”。上述課例的教學(xué)有運(yùn)算意義作支撐，溝通算法之間的聯(lián)系，能更好地觸發(fā)對運(yùn)算律意義的感知。通過這樣的學(xué)習(xí)，不僅能讓學(xué)生對所學(xué)的知識有深刻的理解，更能激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，體會到所學(xué)知識的意義和價值。