空化多泡中大氣泡對小氣泡空化效應的影響*

清河美 那仁滿都拉

(內蒙古民族大學物理與電子信息學院,通遼 028043)

依據超聲場下形成的空化多泡的形狀結構,建立了兩種簡化的多泡模型,即三泡模型和五泡模型,并利用考慮氣泡之間相互作用和液體可壓縮性的非線性Keller-Miksis方程,數值研究了三泡和五泡模型中周圍大氣泡對中間小氣泡空化效應的影響.結果表明,在適當條件下隨著周圍大氣泡半徑的逐漸增大,中間小氣泡會被完全抑制或會發生延遲膨脹現象.延遲膨脹的小氣泡崩潰時的泡內溫度,當周圍大氣泡數適當多時,可以高于相同初始半徑的單泡泡內溫度.大小氣泡之間的次Bjerknes力在小氣泡延遲膨脹時表現為先排斥后吸引,而正常膨脹大小氣泡之間的次Bjerknes力兩次都是吸引力.

1 引 言

在實際聲場中空化泡以空化云的形式存在于液體中,并且會形成不同的形狀結構[1-4].這些特殊結構的形成離不開氣泡之間的相互作用力,它主要來自于氣泡之間的次Bjerknes力[5,6].因此,在研究多氣泡體系的動力學方程中應該包含反映氣泡之間相互作用的耦合作用項.由于雙泡系統是最簡單的多泡體系,所以人們對多泡體系的研究就從雙泡系統開始.文獻[7]由速度勢疊加原理得到雙泡的超聲空化動力學方程,并分析了水中空化泡的線度、雙泡間距、聲壓幅值、聲波頻率等因素對空化過程的影響.文獻[8]中研究了雙泡相互作用對氣泡動力學行為及聲輻射頻譜的影響.文獻[9]利用多氣泡模型,數值研究了液態汞中注入的氦氣泡對液態汞中小氣泡空化初生的影響.文獻[10]在Lighthill方程基礎上建立了空化雙泡潰滅時流體中的聲輻射模型,并對雙泡潰滅及其規律進行了研究.文獻[11]利用考慮氣泡之間相互作用力的耦合雙泡動力學模型,研究了半徑不同的兩個空化氣泡的空化特性.文獻[12]對非球形氣泡和球形氣泡的相互作用進行了研究,發現非球形氣泡和球形氣泡之間的相互作用距離比兩個球形氣泡的相互作用距離要長的規律.

為理解氣泡群的特征,人們使用均勻模型和簡化模型,開始對液體中一些特殊結構的氣泡群進行研究.文獻[13]利用均勻球狀泡群的耦合振動模型,分析了氣泡的非線性聲響應特征,氣泡空化效應的增強及抑制因素.文獻[14]假設氣泡大小相同,建立了線狀氣泡鏈和球狀氣泡群的動力學模型,分析了氣泡鏈和氣泡群中某一氣泡的運動行為和聲致發光特征.文獻[15]聯立非線性聲波方程和改進的氣泡動力學方程,分析了混合氣泡體系中混合氣泡與聲場的相互作用、氣泡之間的相互作用以及聲信號頻率特性.文獻[16]考慮泡群內環境壓力的變化對氣泡動力學行為的影響,建立了泡群振動動力學模型并通過數值分析,發現了泡群內不同初始半徑的氣泡將同時崩潰現象.文獻[17]研究了含混合氣泡液體中聲波共振傳播問題,發現了含混合氣泡液體中聲波的共振衰減和共振聲速明顯變小的基本規律.文獻[18]數值研究了環形聲源激發聲場作用下圓盤內水的空化問題,提出了可通過溫度調節改變液體空化閾值的一種有效方法.文獻[19]對超聲場中氣泡的振動與遷移進行分析,建立了振動模式選圖與氣泡初始半徑和驅動聲壓之間的依賴關系.文獻[20]對均勻電場中氣泡的運動行為進行研究,揭示了均勻電場對氣泡碰撞、合并及上升速度的影響.

本文根據超聲場下形成的空化多泡的形狀結構,建立兩種簡化多泡模型,并利用考慮氣泡之間相互作用和液體可壓縮性的非線性Keller-Miksis方程,將用數值方法研究三泡和五泡模型中周圍大氣泡對中間小氣泡空化效應的影響.

2 多泡模型及控制方程

2.1 兩種多泡模型

在空化多泡聲致發光試驗中可觀察到,在超聲場下形成的空化多泡的大小是不均等的,且在各方面作用力的平衡下,形成線狀或團狀等一些特殊穩定結構.文獻[14]研究了線狀氣泡鏈模型和球狀氣泡群模型,但模型中各氣泡的大小都是均等的,即均勻氣泡模型.然而,事實證明氣泡大小的非均勻性對氣泡空化特性的影響是顯著而重要的,所以文獻[11,12]研究了大小不同的兩個氣泡組成的雙泡系統.雙泡系統是最簡單的多泡模型,由于過于簡單而有時候不能反映多泡系統的一些重要空化特性.因此,本文要建立由三個球形氣泡組成的簡單線狀模型和五個球形氣泡組成的簡單團狀模型(如圖1所示).在兩種模型中忽略了各氣泡的空間移動,即認為氣泡中心位置不變并始終保持球形,中間小氣泡的初始半徑為 R10,周圍大氣泡的初始半徑都為 R20,中間小氣泡與周圍大氣泡之間的距離都是 D.此模型雖也是較簡單的多泡模型,但對于液體中人工注入幾個大氣泡來抑制或增強液體空化問題[9],以及液體中有些小氣泡融合形成幾個大氣泡而影響周圍小氣泡的空化效應問題[21,22]等一些實際問題具有重要的研究意義.

圖1 三泡和五泡模型Fig.1.Three-bubble model and five-bubble model.

2.2 控制方程

描述可壓縮液體中互相之間有相互作用的多氣泡體系的動力學方程為(1)式給出的修正的Keller-Miksis方程[9]：

其中 c ,ρ,η和 σ分別代表液體中的聲速、液體密度、黏滯系數和表面張力系數；R,和分別表示氣泡的瞬時半徑、半徑變化率和速度變化率,下腳標表示第 i 個氣泡和第 j 個氣泡；P0和 Ps,i為環境壓強和泡壁上的壓強；Dij表示第 i 個氣泡和第 j 個氣泡中心之間的距離；Pex表示驅動聲壓.設氣泡內的氣體為氬氣,氣泡內壓強滿足van der Waals方程：

其中 hi為van der Waals硬核半徑,其值為hi=Ri0/8.86；Ri0為氣泡平衡半徑.考慮到氣泡壁上的熱擴散,溫度可表示為[23]

其中 γ和 κgas為氣體多方指數和氣體熱擴散系數[23],T和 T∞分別是泡內溫度和環境溫度.第 j 個氣泡對第 i 個氣泡的輻射壓強表示為[6]

式中 Dji=Dij,則第 i 個氣泡受到的總壓強可以表示為

兩個球形氣泡之間的次Bjerknes力表示為[6]

3 大氣泡對小氣泡空化效應的影響

在三泡和五泡模型中小氣泡的初始半徑都為R10=4μm ,大氣泡的初始半徑 R20從4 μm開始可逐漸變大,考慮到兩氣泡半徑之和要遠小于兩氣泡之間的間距,所以在三泡模型中 R20計算到40 μm,五泡模型中 R20計算到30 μm,兩氣泡中心之間的距離為 D=150μm ,驅動聲壓為 Pex(t)=-Pasin(2πft).計算中其他物理參數取為 Pa=1.35 atm,P0=1 atm,ρ=1000kg/m3,T0=293K ,c =1485 m/s,σ=0.0725 N·m—1,η=0.001 Pa·s,f =20 kHz.

3.1 小氣泡膨脹半徑的變化

對于大小不同的雙泡組成系統的研究已表明,大氣泡對小氣泡的抑制作用是很明顯的,且隨著大氣泡初始半徑的增大或雙泡之間距離的減小,大氣泡對小氣泡的抑制作用越來越強[7-9].三泡和五泡模型中情況是否也如此呢？ 為此本節研究了周圍大氣泡和小氣泡之間的距離不變時,隨著周圍大氣泡初始半徑的增大，中間小氣泡最大膨脹半徑的變化情況(如圖2所示).由圖2可看出,隨著大氣泡初始半徑的增大,小氣泡最大膨脹半徑是“V”字形變化.開始時隨著大氣泡初始半徑 R20的增大,小氣泡最大膨脹半徑 R1max逐漸減小,但當大氣泡初始半徑增大到某一閾值時,小氣泡幾乎不能膨脹,被完全抑制.隨著大氣泡初始半徑的繼續增大,小氣泡的最大膨脹半徑開始逐漸增大,并出現延遲膨脹現象.為了更詳地細分析上述現象,我們繪制了圖3和圖4.圖3給出的是在三泡和五泡模型中各氣泡初始半徑都相同的均勻氣泡中中間氣泡半徑隨時間的變化規律,并與單泡(半徑用 Rs表示)和雙泡(半徑用 Rd表示)的半徑變化規律進行了比較.由圖3和圖4可看出,隨著氣泡數的增加中間氣泡的最大膨脹半徑逐漸減少、崩潰時間逐漸延長,這些特性與文獻[13,16]給出的均勻氣泡系統的變化特性相一致.圖4給出的是大氣泡初始半徑 R20取五個特殊值時,大小氣泡半徑和單泡的半徑隨時間的變化規律,如圖4所示.從圖4清楚地看到,大小氣泡的初始半徑相差不大時(圖4(a)),它們的膨脹是同步的,最大膨脹半徑的差別也不大,與相同初始半徑的單泡半徑變化相比差異也不大,這是屬于氣泡的正常膨脹.隨著大氣泡初始半徑的增大,小氣泡明顯受到抑制(圖4(b)).當三泡模型中大氣泡初始半徑 R20=25μm ,五泡模型中大氣泡初始半徑 R20=16μm 時,小氣泡幾乎被完全抑制(圖4(c)).隨著大氣泡初始半徑的繼續增大,小氣泡又開始膨脹起來(圖4(d)和圖4(e)).但這時小氣泡的膨脹與正常膨脹(如圖4(a))不同,小氣泡是在大氣泡膨脹最大時開始膨脹并與大氣泡幾乎同時塌縮,因此稱之為延遲膨脹.小氣泡的膨脹時間與相同初始半徑的單泡的膨脹相比較也可看出明顯遲緩于單泡的膨脹(圖4(d)和圖4(e)).在三泡模型中延遲膨脹的最大半徑約為30.41 μm,崩潰時最小半徑約為0.58 μm；在五泡模型中延遲膨脹的最大半徑約為34.78 μm,崩潰時最小半徑約為0.52 μm.值得注意的是小氣泡的這種延遲膨脹現象在雙泡系統的研究中還沒有發現.這表明,在三泡和五泡模型中當大氣泡的初始半徑、大小氣泡之間的距離以及外加聲場聲壓和頻率合適時,小氣泡可以被完全抑制或可以延遲膨脹.這一現象在實際液體空化問題中可以得到利用,如在液體中小氣泡附近適當位置人工注入幾個適當大的氣泡來抑制小氣泡的空化膨脹或可以讓小氣泡延遲膨脹來增強空化膨脹.

圖2 小氣泡最大膨脹半徑隨大氣泡初始半徑的變化Fig.2.The maximum expansion radius of small bubbles varies with the initial radius of large bubbles.

圖3 均勻氣泡系統中中間氣泡半徑隨時間的變化曲線Fig.3.Radius-time curves of middle bubbles in uniform bubble system.

圖4 氣泡半徑隨時間的變化曲線Fig.4.Radius-time curves of bubbles.

為什么小氣泡可以完全被抑制或可以延遲膨脹,利用(6)式計算了小氣泡受到的總壓強,如圖5和圖6所示.圖5所示的是三泡模型中小氣泡受到的壓強,可明顯看到小氣泡是在負壓區域膨脹.這是因為在小氣泡附近形成了負壓進而對小氣泡給了拉應力作用,使小氣泡表面壓力平衡受到破壞,內部壓力大于外部壓力而導致小氣泡的膨脹.由(6)式可知,負壓區域的形成主要取決于周圍大氣泡產生的輻射壓和外加聲場產生的聲壓的相對大小.在圖5(c)中由于大氣泡產生的輻射壓(綠線)和外加聲場產生的聲壓(藍線)基本平衡,在小氣泡膨脹區域內受到的總壓強(紅線)基本為零,所以小氣泡沒有膨脹起來也就基本被抑制.在圖5(d)和圖5(e)中由于大氣泡產生的輻射壓足夠強,在一個周期內一直壓過外加聲場而占據主導地位,并在輻射壓的負壓區域形成了總壓強(紅線)的負壓區域,導致了小氣泡的延遲膨脹.圖6所示的是五泡模型中小氣泡受到的壓強,容易看到小氣泡受到的總壓強的變化規律與三泡模型中小氣泡受到的總壓強的變化規律基本相同,不同的是由于周圍大氣泡數量的增多,產生的輻射壓更強,導致小氣泡被壓制得更徹底或延遲膨脹得更大些.另外,也可看出隨著周圍大氣泡數量的增多,小氣泡被抑制或延遲膨脹時對大氣泡初始半徑的要求可以明顯降低,這表明合適數量的大氣泡更易于對小氣泡的抑制或小氣泡的延遲膨脹.

圖5 三泡模型中小氣泡膨脹階段受到的壓強 (a) R20=5μm；(b) R20=15μm；(c) R20=25μm；(d) R20=35μm；(e)R20=40μmFig.5.Total pressure acting on growth stage of small bubble in three-bubble model：(a) R20=5μm；(b) R20=15μm；(c) R20=25μm；(d) R20=35μm；(e) R20=40μm.

圖6 五泡模型中小氣泡膨脹階段受到的壓強 (a) R20=5μm；(b) R20=10μm；(c) R20=16μm；(d) R20=25μm；(e)R20=30μmFig.6.Total pressure acting on growth stage of small bubble in five-bubble model：(a) R20=5μm；(b) R20=10μm；(c) R20=16μm；(d) R20=25μm；(e) R20=30μm.

3.2 小氣泡內溫度的變化

在空化多泡系統中某一氣泡的泡內溫度多少也是人們關心的重要問題.本節利用文獻[23] 給出的計算泡內溫度的(4)式,計算了三泡和五泡模型中中間小氣泡的泡內溫度.圖7所示的是小氣泡內最高溫度隨周圍大氣泡初始半徑的變化.可以看出,隨著周圍大氣泡初始半徑的增大,小氣泡泡內最高溫度呈現“U”字形變化規律.在三泡模型中,隨著大氣泡初始半徑的增大,小氣泡泡內最高溫度開始下降,最低達到700 K左右后開始緩慢上升.當小氣泡延遲膨脹時泡內最高溫度達到14000 K,接近于小氣泡正常膨脹(圖4(a))時泡內最高溫度.在五泡模型中,隨著大氣泡初始半徑的增大,小氣泡泡內最高溫度也開始下降,最低達到800 K左右后開始上升.當小氣泡延遲膨脹時泡內最高溫度接近40000 K左右,遠遠高于正常膨脹(圖4(a))小氣泡的泡內最高溫度(約16000 K),也高于相同條件下初始半徑 Rs=4μm 的單泡的泡內最高溫度(約25000 K).這是因為小氣泡崩潰時刻接近于大氣泡的崩潰時刻,因而受到大氣泡崩潰時的強大輻射正壓,使小氣泡塌縮的更快更徹底,導致小氣泡的泡內溫度很高.從圖4(e)明顯可看到,延遲膨脹的小氣泡從開始膨脹到崩潰所用的時間非常短暫,氣泡的徑向速度很快,要遠快于正常膨脹氣泡崩潰時的速度.相比兩種模型可知,五泡模型中小氣泡泡內最高溫度升得更快,延遲膨脹時達到的泡內溫度更高.當然,在溫度計算時采用的計算模型沒有考慮水蒸氣、化學反應、質量擴散等很多影響泡內溫度的因素,因此計算得到結果不能完全符合實際溫度.

圖7 兩個模型中小氣泡內的最高溫度隨大氣泡初始半徑的變化Fig.7.The maximum temperature of small bubbles in two models varies with the initial radius of large bubbles.

3.3 大小氣泡之間次Bjerknes力的變化

次Bjerknes力是相鄰氣泡之間的相互作用力,它對氣泡的空化特性及其動力學行為產生重要影響.下面主要在三泡和五泡模型中，考察隨著大氣泡初始半徑的增大,大小氣泡之間的次Bjerknes力的變化.圖8顯示的是三泡模型中大小氣泡之間的次Bjerknes力的變化,可看出周圍大氣泡和小氣泡的大小差異不大時,在一周期內次Bjerknes力有兩次振蕩,都表現為吸引力,這與文獻[11]中對雙泡模型的研究結果相同.隨著大氣泡初始半徑的增大,小氣泡慢慢被抑制,此時次Bjerknes力激烈地交替變化,幅值相對較小.隨著大氣泡初始半徑的繼續增大,小氣泡開始延遲膨脹,此時次Bjerknes力開始增強并表現出先排斥后吸引的振蕩規律,最大排斥力約為7.46× 10-5N,最大吸引力約為 41.73× 10-5N.圖9顯示的是五泡模型中大小氣泡之間的次Bjerknes力的變化,可看出五泡模型中次Bjerknes力的變化規律與三泡模型中次Bjerknes力的變化規律完全類似,只是在次Bjerknes力的幅值上有所差別.在五泡模型中,當小氣泡延遲膨脹時最大排斥力約為6.437× 10-5N ,最大吸引力約為 39.04× 10-5N.顯然,這數值要小于三泡模型中最大排斥力和最大吸引力,這是因為在五泡模型中周圍大氣泡數量較多,小氣泡同時受到多個大氣泡的作用,雖然每個大氣泡和小氣泡之間的作用力不是很大,但是合力很大足以使小氣泡延遲膨脹起來,所以五泡模型中次Bjerknes力的最大排斥力和最大吸引力要小于三泡模型中最大排斥力和最大吸引力.

圖8 三泡模型中大小氣泡之間的次Bjerknes力的變化 (a) R20=5μm；(b) R20=15μm；(c) R20=25μm；(d) R20=35μm；(e)R20=40μmFig.8.Changes of secondary Bjerknes forces between large and small bubbles in three-bubble model：(a) R20=5μm；(b) R20=15μm；(c) R20=25μm；(d) R20=35μm；(e) R20=40μm.

圖9 五泡模型中大小氣泡之間的次Bjerknes力的變化 (a) R20=5μm；(b) R20=10μm；(c) R20=16μm；(d) R20=25μm；(e)R20=30μmFig.9.Changes of secondary Bjerknes forces between large and small bubbles in five-bubble model：(a) R20=5μm；(b) R20=10μm；(c) R20=16μm；(d) R20=25μm；(e) R20=30μm.

4 結 論

本文依據超聲場下形成的空化多泡的形狀結構,建立了兩種簡化多泡模型.利用考慮氣泡之間相互作用和液體可壓縮性的非線性Keller-Miksis方程,數值方法研究了三泡和五泡模型中周圍大氣泡對中間小氣泡空化效應的影響,重點考察了隨著周圍大氣泡初始半徑的增大中間小氣泡膨脹半徑的變化、泡內溫度的變化以及大小氣泡之間次Bjerknes力的變化.結果表明,大小氣泡之間的距離和外加聲場聲壓和頻率不變的條件下,當大氣泡初始半徑和數量取合適值時中間小氣泡可以被完全抑制或可以延遲膨脹.延遲膨脹的主要原因是小氣泡受到的總壓強在變化中延遲形成了負壓區域.延遲膨脹小氣泡的崩潰與大氣泡的崩潰時間基本同步,使得小氣泡受到大氣泡崩潰時的強大輻射正壓作用而小氣泡崩潰迅速、徹底,導致小氣泡泡內溫度可高于相同初始半徑的單泡泡內溫度和正常膨脹小氣泡的泡內溫度.大小氣泡之間的次Bjerknes力在小氣泡延遲膨脹時表現為先排斥后吸引,此規律不同于正常膨脹大小氣泡之間的次Bjerknes力的變化規律.本文結果對通過人工注入大氣泡的方式抑制液體空化或液體空化效應的增強等具體問題具有重要的理論指導意義.