新型二維三組元壓電聲子晶體板的缺陷態及振動能量回收*

孫偉彬 王婷 孫小偉 康太鳳 譚自豪 劉子江2)?

1) (蘭州交通大學數理學院,蘭州 730070)

2) (蘭州城市學院物理系,蘭州 730070)

設計了一種由包裹有機玻璃涂層的四棱柱形壓電材料按正方形晶格周期性連接在四個環氧樹脂短板上構成的1×5新型二維壓電聲子晶體板,并利用超元胞法結合有限元方法分別計算了完美聲子晶體板和缺陷聲子晶體板的能帶結構和傳輸損失.通過改變施加在壓電散射體上下表面的電邊界條件,形成點缺陷波導,以限制彈性波能量流,該聲子晶體板克服了材料參數和結構參數已確定的情況下振動波導方向不可變的局限性.壓電效應有利于完全帶隙的擴大,當缺陷態的頻率出現在帶隙內時,缺陷態響應頻率范圍隨之擴大,因此可以收集更寬頻率范圍的機械能.用振動能量回收電路連接缺陷處壓電片上下表面的電極,能夠將振動所產生的機械能轉化為電能.

1 引 言

聲子晶體是聲波或彈性波在其中以一定的特性傳播的周期性復合材料,其最主要的特性是存在能夠阻止聲波或彈性波在一定頻率范圍內傳播的聲子帶隙[1,2].當聲子晶體的固有周期性被打破時,就會產生缺陷態,此時聲波或彈性波的分布將局限于點缺陷處或沿線缺陷傳播[3-6].由于帶隙和缺陷態的存在,聲子晶體具有許多潛在的應用前景,可以廣泛地應用到聲波導、便攜式設備和無線傳感器等器件中[7-9],同時這些裝置的能源供給需求也在不斷增長,因此研究如何從裝置本身周圍振動環境中回收能量,是方便且具有潛力的自供電方式[10-13].基于機械或聲學振動原理的材料應用中,經常使用壓電、壓阻、磁致伸縮等各類功能性材料,其中壓電材料的能量回收技術主要是將機械或聲學振動引起散射體形變所產生的應變能轉換為電能,通過外接電路回收的電能,既可以儲存在電容中,又可以直接為負載供電[14-27].

壓電材料可將機械應變能轉化為電能,電能可被傳感器和無線發射機等電子設備儲存和利用.在利用壓電材料獲取能量的研究中,Poulin等[21]將壓電式能量回收和電磁式能量回收方法為便攜式電子元器件供電的能力進行了對比,得出壓電系統可以獲得更高的能量密度,更適合在微機電系統中應用；Roundy和Leland[22]比較分析了壓電、電磁和靜電能量回收效率,發現壓電式能量回收裝置的相對功率密度更高；Lu等[23]根據機電耦合效應,設計出了壓電發電機在微機電系統中的應用模型,發現增加壓電材料的振動頻率可以提高輸出功率；Horowitz等[24]和Liu等[25]使用機電諧振器作為聲能收集裝置,該裝置的原理是在諧振器的諧振腔內產生振動壓力來引起壓電材料的振動,從而實現了聲能到電能的轉換；Wu等[26]用聲子晶體材料研制了一種聲能采集器,該采集器的原理是在完美聲子晶體板中移除一個桿從而產生點缺陷以充當共振腔,在共振腔上端覆蓋一層聚偏氟乙烯壓電聲子晶體薄膜進行能量收集,研究發現當入射聲波的頻率達到4.2 kHz時,壓電聲子晶體薄膜輸出電壓達到最大；Qi等[27]在具有硅橡膠涂層的鋁板上植入壓電聲子晶體板,使振動的能量集中在壓電片上,然后在壓電片的電極處外接電路將振動的機械能轉化為電能；Gao等[28]實現了低頻聲能量的采集,設計了由八個多腔環氧樹脂聲子晶體單胞組成的正方形超胞,由于超胞結構與各單胞結構存在單方向三重共振并相互耦合而產生的復合單極三重共振,從而形成能量集中；Park等[29]將具有單一缺陷的二維八角形壓電聲子晶體作為高密度彈性能量收集的超材料,通過尺寸優化和系統設計,使帶隙達到最大,與無壓電聲子晶體材料的情況相比,具有壓電聲子晶體板的超材料的輸出功率在微瓦級放大了20倍以上.本研究組[30]曾提出一種二維三組元壓電聲子晶體模型,該模型實現了對多條完全帶隙的主動調控,據此設計了可切換路徑的壓電聲子晶體板波導,同時通過施加不同的電邊界條件,使得振動能量局域到點缺陷處,但振動能量的回收并沒有進一步研究.

由于振動存在不同的頻率,僅通過改變壓電材料的形狀和尺寸來回收壓電聲子晶體的固有頻率所對應的能量是非常困難的,在這種情況下,能量回收系統結構的設計應具有可調固有頻率的功能.基于以上考慮,本文新設計了一種1×5型二維三組元壓電聲子晶體板,通過改變施加在壓電散射體上下表面的電邊界條件,形成可調路徑的點缺陷波導；同時分析了壓電效應對缺陷態的影響；最后,利用振動能量回收電路連接壓電片上下表面的電極,將機械能轉化為電能.以上研究可為便攜式電子元器件提供新的可參考供電模式.

2 模型及方法

圖1為1×5超元胞二維壓電聲子晶體板及其初基原胞示意圖,其中圖1(a)為超胞平面圖,圖1(b)為原胞立體圖,圖1(c)為原胞平面圖,圖1(d)為第一布里淵區及不可約布里淵區.該單胞結構由包裹有機玻璃涂層的四棱柱形壓電材料按正方形晶格周期性連接在四個環氧樹脂短板上構成,x-y 平面位于板的中間平面上,z 軸沿著厚度方向.研究采用沿[001]方向極化且具有高機電耦合系數的壓電材料0.27 PIN-0.4 PMN-0.33 PT作為中心散射體,該結構參數定義如下：晶格常數為a ,環氧樹脂連接板的長度和高度分別為l1和d ；四棱柱壓電散射體的深度和高度分別為l2和h1；有機玻璃涂層的長度和高度為l3和h2.圖1計算所需的壓電材料和彈性材料的參數分別由表1和表2給出.

圖1 1×5超元胞二維壓電聲子晶體板及其初基原胞示意圖 (a) 1×5超胞；(b)原胞立體圖；(c)原胞平面圖；(d)第一布里淵區(陰影部分為不可約布里淵區)Fig.1.1×5 supercell two-dimensional piezoelectric phonon crystal plate and its primary cells：(a) The supercell plan；(b) the protocell stereogram；(c) the protocell floor plan；(d) the first Brillouin zone (the shadow part is the irreducible brillouin zone).

表1 壓電材料0.27PIN-0.4PMN-0.33PT的參數Table 1.Piezoelectric material parameters of 0.27PIN-0.4PMN-0.33PT.

表2 彈性材料參數Table 2.Material parameters of elastic materials.

利用有限元軟件COMSOL Multiphysics 5.3[31]研究聲子晶體的能帶結構和傳輸特性.有限元方法是隨著電子計算機的發展而迅速發展起來的一種現代計算方法,該方法不僅計算精度高,而且能適應各種復雜形狀,因而成為行之有效的工程分析手段.基于有限元法的壓電控制方程為[17]：

其中ρ為壓電材料的密度,uj是位移,t 是時間,xi(i = 1,2,3) 分別對應坐標變量x ,y 和z ,Tij和Di為應力和電位移并分別遵守位移uj和電位φ作為變量的壓電本構關系[17]：

(3)式和(4)式中,Cijkl,elij和εil分別是彈性常數、壓電常數和介電常數.在壓電散射體的表面區域上,存在兩種不同類型的電邊界條件[12],如果表面是自由表面,則稱為開路狀態,表面上電位移的法向分量Dz= 0；如果表面覆蓋一層薄金屬膜并接地,稱為短路狀態,上下表面的電勢差 φ=0.聲波速度取決于材料的結構特性,比如壓電材料,因此可通過控制波速來達到調控壓電聲子晶體能帶結構的目的.由于結構具有二維周期性,根據Bloch定理,將周期性邊界條件施加在單位原胞的四個邊界處,位移場為[18]

式中u 和r 分別為位移和位置矢量,k 為Bloch波矢.通過改變第一布里淵區中的k 的值并求解由有限元算法產生的特征值問題,即可獲得色散關系以及本征模式.壓電聲子晶體具有正壓電效應,當受到諧波激勵時,正負電荷會分別向壓電層上下表面流動形成電勢差；電流、電荷和電壓均為時間函數,這些周期函數將取決于聲子晶體結構的機械振動模態；壓電散射體與外部阻抗相連,流向外部阻抗的電流會與電極表面電荷產生差值,將電荷表示為時間諧波函數,即電流振幅I等于頻率f 乘以電荷Q[19]：

純負載電阻RL電路的電流I與電壓V關系為

由于外部阻抗是純電阻,所以輸出電壓和電流具有相同的相位.輸出功率可定義為

輸出功率的外負載電阻取決于壓電材料的振動頻率.

為驗證能帶的數值仿真結果,同時計算了所設計聲子晶體模型的傳輸損失譜,對應計算的結構如圖2所示.x 方向上為5個單元組成的有限周期性結構；y 方向上,在模型兩側施加Bloch周期性邊界條件并將波矢k 沿著 Γ→X方向掃描；將完美匹配層(PML)應用于有限結構的x 方向右端,以防止能量反射.由加速度激勵源提供的單頻率入射平面波從有限結構的左邊界入射,沿x 方向傳播,傳輸損失T定義為

圖2 用于計算傳輸損失的有限結構Fig.2.The finite structure for the calculation of the transmission loss.

式中din為在有限結構左側施加的位移加速度激勵,dout為在右側拾取的位移加速度激勵.

3 結果與討論

3.1 缺陷態能帶結構

本文設計的由包裹有機玻璃涂層的四棱柱形壓電材料按正方形晶格周期性連接在四個環氧樹脂短板上構成的二維壓電聲子晶體板,結構參數取值為：a = 20 mm,h1= 10 mm,h2= 4 mm,l1=5 mm,l2= 16 mm,l3= 18 mm,d = 2 mm.采用超晶胞法結合有限元方法來模擬無限長壓電聲子晶體板波導并計算能帶結構,超晶胞包含5個單位單元.在超晶胞的x 和y 方向施加Bloch周期性邊界條件,將中間壓電散射體的z 方向設置成開路電邊界條件,兩側壓電散射體的z 方向設置成短路電邊界條件,從而形成電邊界缺陷.圖3給出了1×5超晶胞完美聲子晶體板和缺陷態聲子晶體板周期性結構的色散關系,通過對比,可以看到缺陷態聲子晶體板能帶結構在900—1300 m/s之間存在三個頻散曲線,即缺陷頻帶.圖4為完美聲子晶體板和缺陷聲子晶體板的傳輸損失對比示意圖,可以看出該傳輸損失譜中存在的頻率衰減范圍與圖3中的完全帶隙的頻率范圍相符合,很好地驗證了能帶結構的數值結果,并且在0—1550 m/s頻率范圍內,壓電聲子晶體板傳輸損失譜存在三個明顯的能量衰減區域,其能量衰減頻率范圍分別是180—750,1031—1289和1408—1507 m/s,當引入點缺陷時,第一和第三完全帶隙的頻率范圍幾乎保持不變,而在第二個能量衰減區域中的1248 m/s附近出現峰值,表明峰值是由電邊界缺陷造成的.

圖3 完美和缺陷周期性結構壓電聲子晶體板的能帶結構示意圖Fig.3.Schematic diagram of energy band structure of piezoelectric phononic crystal plate with perfect and periodic defect structures.

圖4 完美和缺陷周期性結構壓電聲子晶體板傳輸特性對比示意圖Fig.4.Schematic diagram of transmission characteristics of piezoelectric phonon crystal plates with perfect and periodic defect structures.

本文設計的1×5新型二維壓電聲子晶體板超元胞總共有的三種點缺陷振動模式,即點缺陷分別位于超元胞中間位置(模式A)、左二或右二位置(模式B)和任意端位置(模式C).為了進一步說明峰值是由點缺陷造成的這一事實,計算了電邊界缺陷位置為模式B和模式C時的能帶結構和傳輸損失,計算結果如圖5所示.圖6給出了超元胞三種不同點缺陷位置的傳輸特性對比結果.通過對比發現,位于超元胞中間位置的點缺陷即模式A的峰值頻率為1248 m/s,模式B點缺陷的峰值頻率為1139 m/s,模式C點缺陷的峰值頻率為1050 m/s,可見點缺陷的位置越靠近中心,其峰值頻率越大,表明峰值變化是由引入點缺陷所造成的.

圖5 1×5超元胞的兩種不同點缺陷位置傳輸損失和能帶結構 (a)點缺陷為模式B；(b)點缺陷為模式CFig.5.The position transmission loss and band structures of two different defects in the 1×5 supercells：(a) The point defect is at pattern B；(b) the point defect is at pattern C.

圖7給出了上述三種處于不同電邊界缺陷位置峰值頻率的位移矢量場,三種模式都是良好的振動模態,其彈性能量主要限制在開路電邊界缺陷處,中心壓電散射體的有效彈性剛度通過消除切向電場而減小,因此可以將彈性波限制在點缺陷周圍.壓電散射體在z 軸方向上有一個振幅很大的振動,且帶動了包覆層和連接板的z 方向振動,從而產生大幅變形,以得到最大的應變,因此振動能量將局域在上下表面開路條件的壓電散射體中,更強烈地限制在缺陷處,利用壓電散射體在z 方向上(面外波)振動導致聲子晶體板形變從而將機械動能轉化為電能進行能量回收.

圖6 超元胞的三種不同點缺陷位置的傳輸特性對比Fig.6.Comparison diagram of transmission characteristics of three different defect locations of the supercell.

圖7 壓電聲子晶體板缺陷態處于三種不同位置的位移矢量場Fig.7.Displacement vector fields of piezoelectric phonon crystal plates with defect states at three different positions.

3.2 壓電常數對帶隙特性的影響

壓電材料具有正壓電效應,當受到外界壓力作用時會在上下兩端面間形成電勢差,而壓電常數e''是反映力學量(應力或應變)與電學量(電位移或電場)間相互耦合的線性響應系數,對帶隙的位置和寬度有著很大的影響,從而導致缺陷態頻率發生改變.假定壓電常數e''= e /e',對于真實的壓電材料屬性,設定e''= 1,對于沒有壓電效應的情況,e''= 0.本文計算了點缺陷處于超元胞中間位置的壓電聲子晶體的壓電常數 e''從0 (無壓電)逐漸改變為1 (實際值)的傳輸損失譜,結果如圖8所示.第一和第三完全帶隙的頻率范圍幾乎保持不變,而隨著第二個能量衰減區域中壓電常數的增大,對應的峰值頻率也越來越大.

圖8 壓電常數對聲子晶體板傳輸特性的影響Fig.8.Influence of piezoelectric constant on the transmission characteristics of phonon crystal plates.

為了進一步分析,圖9給出了第五條帶隙和第六條帶隙邊緣隨壓電常數的變化情況.結果表明：隨著壓電常數增大,第五帶隙下邊緣大致保持不變,而帶隙上邊緣隨著耦合強度的增加而上移；第六完全帶隙的下邊緣隨著壓電常數的增大而向上移動,致使缺陷態頻率提高,這是因為較低的頻帶邊緣上的模式主要為壓電散射體的平移振動或不受壓電效應影響的彈性材料的振動,上邊緣模式是壓電柱的扭曲振動.因此,可以得出結論：壓電效應對完整帶隙有顯著影響,并有利于缺陷態的形成和擴大.

圖9 壓電常數e ''對第五和第六完全帶隙上邊緣和下邊緣(即缺陷態)的影響Fig.9.Effect of piezoelectric constant e '' on upper and lower edge (i.e.defect state) of fifth and sixth complete bandgap.

3.3 振動能量回收能力分析

前面已經證明了通過改變電邊界條件可以將壓電聲子晶體振動的機械能集中到點缺陷處,并且當點缺陷處于超元胞不同位置時對應的峰值振動頻率也發生了改變,本節旨在對比三種局域到不同點缺陷處的機械能轉化為電能并進行回收的能力.圖10給出了振動能量集中在壓電聲子晶體板三種不同位置時回收裝置整流電路原理圖,前端信號發生器連接激振器,利用機械振動使后端的壓電聲子晶體板獲得一定形式和大小的振動量,根據壓電效應,壓電散射體的形變將產生的正負電荷積聚在晶體的上下表面形成電勢差,表面電極上的電壓與應力的關系為[8]

圖10 振動能量回收整流電路原理圖Fig.10.Vibration energy recovery circuit diagram.

其中e 是0.27PIN-0.4PMN-0.33PT壓電陶瓷的壓電常數,h 為壓電層的厚度,為整個壓電層自由面上的橫向應力取平均值.壓電散射體在共振頻率處發生共振所產生的是交流電壓,因此用整流電路連接壓電片上下表面的電極將交流電變成直流電,輸出的電能就可以為直流負載供電.圖11給出了交流電壓的波形圖,圖12給出了結構發生共振時,負載電阻RL兩端的功率隨激勵交流電壓源的變化,可以看出負載電阻RL兩端的功率隨共振頻率處的電壓增大而增大,對比三種模式缺陷態回收電能的能力發現,當缺陷態處于超元胞中間位置,即模式A時,其振動能量回收能力為三種方式中最大的,是缺陷態為模式C的能量的兩倍多.

圖11 壓電散射體上下表面電壓波形圖Fig.11.Voltage waveform of upper and lower surface of piezoelectric scatterer.

圖12 三種不同點缺陷位置的電阻R輸出功率隨激勵電壓的變化示意圖Fig.12.Schematic diagram of resistance R output power varying with excitation voltage at three different defect positions.

4 結 論

在完美壓電聲子晶體板中通過改變電邊界條件來引入缺陷態,可以將振動所產生的機械能局域到點缺陷處,利用正壓電效應將壓電散射體中正負電荷積聚在晶體的上下表面,從而形成電勢差,實現機械能到電能的轉換,這種機電轉換方式更加綠色環保.本文設計了一種由包裹有機玻璃涂層的四棱柱形壓電材料按正方形晶格周期性連接在四個環氧樹脂短板上構成的1×5新型二維壓電聲子晶體板,并利用超元胞法結合有限元法分別計算了完美聲子晶體板和缺陷態位于超元胞三種不同位置的聲子晶體板的能帶結構和傳輸損失.通過改變施加在壓電散射體上下表面的電邊界條件,形成點缺陷波導,限制彈性波能量流.當電邊界缺陷在超元胞三種不同位置時,對應的峰值頻率也發生改變,壓電效應有利于收集更寬頻率范圍的機械能,為了對比三種局域到不同點缺陷處的機械能轉化為電能進行回收的能力,用回收電路分別連接到三種不同電邊界缺陷處的壓電片上下表面的電極,將振動的機械能轉化為電能,為負載供電,發現當缺陷態處于超元胞中間位置時,其振動能量回收能力為三種方式中最大的,是缺陷態處于超元胞任意端位置的能量的兩倍多.