三角形高的教學之我見

摘 要：《三角形的高》歷來是教師教學的難點，也是學生學習的難點。為了更好地進行這一知識點的教學，筆者根據自己多年的教學實踐，從難點的原因分析、高定義的教學策略及作高的教學策略三個方面提出自己粗淺的看法，以期為廣大教師提供參考。

關鍵詞：小學數學;三角形的高;原因分析;教學策略

中圖分類號：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-624X（2019）30-0074-02

引 ? ?言

在小學數學中，《三角形的高》知識點歷來是教學的難點，教師抱怨難教，叫苦不迭;學生感覺難學，抱怨連連。針對這一情況，本文首先分析了其成為難點的原因，接著提出了相應的教學策略，希望對小學數學教師有所啟迪。

一、《三角形的高》成為教學難點的原因分析

《三角形的高》是人教版四年級下冊《三角形的認識》一課中的重要內容。教材給出了定義：從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線，頂點到垂足之間的線段叫作三角形的高。教材給出的定義比較長，有30個文字，同時教材也給出了高的圖像，以及一個問題：可以畫幾條高？

《三角形的高》所占篇幅很少，但它確實是廣大教師公認的教學難點，這是為什么呢？原因主要有三個。

1.關聯概念多，增加了內涵理解的難度

三角形高的定義，實際上是經由點到直線的距離演繹而來的，再追溯上去，三角形的高本質上是兩點之間的距離。我們可以這樣理解：三角形的高就是一條線段，一個端點在三角形的一個頂點上，另一個端點就是垂足。

因此，我們在教學三角形高時，就需要去梳理概念之間的脈絡，進而讓學生體會數學概念的系統性。這就給三角形高概念的內涵理解帶來了難度。有時可能連我們自己都沒有想明白，筆者認為這是難點之一。

2.類似概念負遷移，增加了學習的曲折度

其實，學生對于“高”并不陌生，對生活中的高也有一定認識，還認識了平行四邊形的高，會畫平行四邊形的高，但這些經驗對學生認識三角形的高有幫助嗎？幫助肯定是有的，但同時也有負面影響。部分學生會認為平行四邊形的高與三角形的高是一樣的，但平行四邊形的高實質是平行線之間的距離，所以它有無數條，而三角形的高是最高點到對邊的距離，所以一條底邊上的高只有一條。所以說，類似概念的負遷移，讓學習高的這條道路變得曲折而又復雜，筆者認為這也是難點之一。

3.非本質屬性認識的干擾，增加了學習的難度

在學生的認知中，他們會認為只要在豎直方向上才有高，也就是把高狹隘地理解為鉛垂的特殊情況。如果事先就有這樣的思維定式，那么不在水平線上的另外兩條底上的高，就成了學生學習的難點。所以，才會有書中小精靈的提問。其實，底邊是否在水平線上，對三角形高的認識而言，是非本質屬性，但這些非本質的屬性，卻給高的認識帶來了困難。

二、教學“高”定義的策略

1.以實例歸納定義

在實際教學中，首先，教師讓學生觀察三個形狀大小一樣，但擺放位置不同的三角形，之后讓學生嘗試畫三角形的高。其次，教師提問學生：三角形中畫的虛線都是三角形的高，請你說說，什么是三角形的高？預設學生能悟到：三角形的高都是從頂點出發的一條線段，不管三角形怎么擺，三角形都是有高的。再次，教師出示反例，提問學生：“觀察下面圖形，這三個三角形中的虛線都不是三角形的高。現在再請你說說，什么是三角形的高？”甚至可以讓學生在草稿紙上寫下他對三角形高的定義。最后，教師讓學生對照正例與反例去修正與完善對于高的認識。

為什么要這樣做呢？很明顯，學生對于三角形高的定義，不是教師與課本強加的，而是經由觀察分析得到的，從而實現正例用于挖掘對象的本質，反例用于修正概括的定義的作用。

2.給“高”進行簡單定義

當學生認識完“高”后，我們可以設計這樣一個提問：三角形高的定義，你們理解了嗎？其實三角形高的定義是比較復雜的，而且是一段比較長的話。老師有一個辦法可以判斷你們理解了沒有，那就是看你能不能把復雜的事情說簡單。誰來試試？

學生的回答可能會聚焦到高是一條線段上，這時教師就可以追問：兩個端點在哪里？這不僅能抓住高概念的本質，同時還能為“畫高”分解難度。

另外，還有一點，筆者認為非常重要。那就是在教學三角形高的概念時，我們肯定會去關注概念的內涵與外延。理解內涵時，我們可能會通過解讀關鍵詞來理解。但這樣的做法是有缺點的，解讀關鍵詞往往只能得到支離破碎的理解，這些理解的碎片不可能“破鏡重圓”，拼出概念的完整理解。

三、畫高的教學策略

筆者認為，在尋找作高錯因中歸納畫高策略，是條捷徑。基于經驗，基于學生錯例，筆者認為錯因主要有四個。第一，思維定式的困擾。學生畫垂線時習慣于畫水平方向的，即其心目中的“標準垂線”。當遇到畫斜線方向的垂線，他們就會受“標準”影響，發生錯誤，認定高一定在三角形內部。在畫銳角三角形的高時，學生思維上會產生一種定式。受這種固有思維的干擾，畫鈍角三角形外高時，他們就會出現錯誤。第二，操作技能的欠缺。部分學生認為底與高是一種假垂直的狀態。可見，學生對線概念理解不到位，畫垂線技能未過關。第三，負遷移的影響。平行四邊形高的定義是從平行四邊形一條邊上的一點向對邊引一條垂線，這點和垂足之間的線段就是平行四邊形的高。定義中的一點可以是在邊上的任意一點。而三角形的高必須從頂點出發，這個點是指定的。從“任意點”到“指定點”，學生容易出現錯誤。第四，找直角邊上的高的能力缺失。部分學生認定高一定在三角形內部，認定三角形的高與三角形的邊是兩回事，不可以是同一條線段。

面對學生作高中的錯誤，我們可以有以下幾點對策：第一，加強垂直變式練習。在提供給學生標準的水平與豎直方向畫垂線的同時，我們還要讓學生理解過直線外一點畫垂線的概念，以及不用延長畫垂線和需要延長畫垂線的概念等。第二，比較中求“同”辯“異”。我們可以同時出示平行四邊形的高與三角形的高，讓學生對比有什么不同，讓學生感受到其實都是指“點與點之間的距離”，但是平行四邊形其中一個端點可以是任意的，而三角形必須是指定的頂點。第三，操作想象中溝通聯系。這是突破外高與直角邊上高，可以借鑒的方法。教師可以利用多媒體讓頂點c動起來，讓學生想象現在是什么三角形了，高又在哪里了，這樣做不僅可以打破“高就在三角形內部”這一思維定式，還可以幫助學生理解直角三角形兩邊直角邊為什么互為底和高，也加深了對鈍角三角形外高的理解。第四，“作高”小技巧。在實際教學中，我們可以借鑒“尺板作高法”，用直尺當移動的軌道，這比“一板作高法”更能使學生理解如何作高。

以上這些都是應對作高的小技巧，我們在分析錯因、糾正畫法時，其實都是在不斷地加深學生對“三角形高定義”的理解。

結 ? ?語

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾關于高的觀點為：概念教學不在于只要求學生理解概念的表層含義，還應該著眼于定義概念的過程，學習像數學家那樣思考，了解定義形成的方法和依據，理解蘊含在定義背后的規定與意義，從而獲得可靠的數學知識[1]。因此，在實際教學中，我們應讓學生在理解的基礎上學習高的概念，從而為其以后的學習奠定良好的基礎。

[參考文獻]

李求邦.利用“再創造”原理 優化數學概念教學[J].中學數學研究，2006（03）：1-4.

作者簡介：羅海江（1971.12—），女，江西峽江人，中小學一級教師，2011年被評為峽江縣優秀教師，2015年被評為峽江縣課改十佳。