從數學、力學教學淺談類比思維

薛大文

摘 要：數學和力學作為現代科學的基礎學科，既具有很強的理論性，又具有廣泛的應用性。在數學和力學的教學中，不僅要使學生掌握相關的理論知識和解答技巧，更重要的是培養學生思維能力和思維方法。類比思維是一種重要的思維方法，其根據已有知識展開聯想或與已有知識的相似性進行一定的對比，解決新問題和達到培養創新能力等目的。本文通過“小數階乘”和“伽瑪函數”的概念，闡述類比思維在數學和力學教學中的功能和應用。

關鍵詞：類比法 小數階乘 伽瑪函數 教學

中圖分類號：G64文獻標識碼：A文章編號：1003-9082（2019）11-0-01

一、類比思維方法

類比法是數學、力學學習中重要方法之一。類比法是指由一類事物所具有的某種屬性，推測與其類似的事物也應具有這種屬性的推理方法。

通常來說，在研究和認識新事物、新對象的過程中，通過聯想與其相似的已知的熟悉對象，通過觀察和思考新對象與已知對象之間的相同點和相似性，通過已知事物所具有的屬性，從而推斷出其新事物也具有相似的屬性，得出相關結論，從而引起發現新規律和新思維的方法。[1]

類比法是一種平行思維方法，類比也應該是在同層次之間進行。亞里士多德在《前分析篇》中指出：“類推所表示的不是部分對整體的關系，也不是整體對部分的關系。”類比推理是一種或然性推理，前提真結論未必就真。要提高類比結論的可靠程度，就要盡可能地確認對象間的相同點。相同點越多，結論的可靠性程度就越大，因為對象間的相同點越多，二者的關聯度就會越大，結論就可能越可靠。反之，結論的可靠性程度就會越小。[2]

總而言之，類比思維就是一種用已知熟悉的事物去替代陌生事物、將陌生轉為熟悉的思維，通過思維的發散，在腦海中找到一種似曾相識的感覺，再加上想象力和創新能力的完善，達到解決問題獲取新知識的途徑。

二、類比思維應用

在高中數學中，我們學過階乘的概念，一個正整數的階乘被定義為所有小于及等于該數的正整數的積，且0的階乘定義為1，是由基斯頓卡曼于1808年引入。任一自然數n的階乘寫作n！，定義為：

通過上式，我們可以求得任一自然數n的階乘。如圖2所示為n取1，2，3，4所得的階乘在坐標軸中的點列。對于該圖，很容易提出這樣的問題，如果取橫軸坐標為1.5，則對應的縱軸坐標是多少？更進一步，若將圖中各點用光滑曲線連接（圖3），則該曲線形狀及其表達式又是什么？

這就是針對于正整數的階乘性質，經過聯想，通過類比的思維將正整數推廣到小數，對小數求階乘。事實上，對于任意正數的階乘這一問題的研究可以追溯到17世紀，經過沃利斯、棣莫弗、斯特林、哥德巴赫、伯努利等幾代數學家的努力，最終由18世紀最偉大數學家歐拉完美解決，解決該問題時，歐拉年僅23歲，這一年神奇的伽瑪函數在數學史的誕生。

應用分布積分法，不難證明伽瑪函數具有如下性質， ，

顯而易見，伽瑪函數與 在遞推公式上具有一致性，且 ，因而伽瑪函數是作用在實數域上廣義階乘。至此，我們還可以畫出伽瑪函數在坐標軸上的曲線圖，如圖4所示，這正是前文所述將各正整數階乘點列連接的光滑曲線。

伽瑪函數自誕生以來棲身于現代數學的各個分支，在微積分、概率論、偏微分方程、組合數學等都起著重要的作用，[3]并且其絕非數學家們憑空臆想的一個抽象玩具，它同時具有極高的實用價值，頻繁現身于在現代科學尤其是物理學之中。

從以上不難看出，類比法的特點是“先比后推”。[4]“比”是類比的基礎，“推”是類比的核心。在應用類比法教學的過程中，首先找到兩類不同對象之間的相似特征，根據這一類對象的已知特點，去推測另一類對象可能的特征，從而大膽猜想，小心驗證。通過“類比歸納”、“類比猜想”、“類比推理”、“類比驗證”等過程實現由此及彼。[5]

類比思維能夠幫助我們預見事物的發展進程、體現象背后的本質，理解比較抽象的概念、規律的內涵等。通過類比思維的教學運用能夠幫助學生巧妙地越過思維障礙，建立熟悉的模型，培養學生的聯想能力、知識與技能的遷移能力。類比思維的教學與訓練對于培養學生發現問題和分析解決問題的能力、促進學生綜合能力的發展具有重要意義。

參考文獻

[1]王艷紅. 數學解題中應用類比法的分析[J]. 數學學習與研究.2014（17）：89.

[2]李長華. 類比法在物理學中的應用[J]. 淮北煤炭師范學院學報（自然科學版）. 2004（4）：94-97.

[3]田德建， 索新麗， 許盈盈. 伽馬函數在概率論與數理統計中的應用[J]. 數學學習與研究.2017（23）：7-8.

[4]杜永來. 類比思維法在初中物理教學中的應用[J]. 林區教學. 2010（12）：100-101.

[5]關冬月. 類比思維法在高等數學及其教學中的應用[J]. 內蒙古農業大學學報（社會科學版）.2005（3）： 86-88.