高中數學幾何教學探析

馬毅剛

（甘肅省通渭縣第二中學，甘肅 通渭 743300）

幾何是數學中強調視覺思維和空間思維的教學內容，幾何的思維方式在數學教學中具有十分重要的地位。那么，如何有效地開展高中數學中幾何模塊的教學呢？筆者從以下幾個方面進行初步探討。

一、幾何教學目標的認識

幾何教學的重點和難點是如何有效地培養學生的空間想象能力。因此，幾何作為貫穿于整個高中數學教學的主線之一，要通過空間想象能力的培養引導學生認識事物的數學本質，以便更好地認識和理解空間的存在意義，提高推理論證能力。空間想象力和推理論證能力對于促進學生思維的發展和對數學本質的理解是十分重要的。

高中數學幾何教學通過數形結合，把數學邏輯思維和形象思維有機地統一起來，強調從空間想象能力、圖形語言思考能力上培養學生的幾何思想。空間想象能力不僅在幾何學習和整個數學學習上有重要意義，而且在藝術創作中也是一種基本能力。幾何圖形作為一種直觀、形象的數學模型，為學生的自主探索、創新活動提供了有利條件。教師要培養學生的空間想象能力，就要讓學生對圖形的結構有一個宏觀的認識，進而提高學生分析問題和解決問題的能力。

二、高中幾何的研究對象

高中幾何主要研究圖形的位置關系和度量，最基本的幾何圖形是點、線、面的組合。準確理解平行、垂直、包含的關系是正確分析圖形的基礎，特別要注意柱、錐、臺、球等幾何體在不同擺放位置下的點、線、面的位置關系。幾何圖形的研究包括直線和平面圖形、曲線和曲面圖形兩類。平面圖形的位置關系主要有全等、相似等。圖形的度量主要有夾角、長度等。

三、高中幾何研究的主要方法

高中幾何研究的方法主要有綜合幾何的方法、解析幾何的方法、向量幾何的方法等。

綜合幾何的方法是將復雜的圖形轉化為簡單的圖形，將立體圖形轉化為平面圖形的方法。平移、對稱、旋轉等是研究綜合幾何的常用基本方法。綜合幾何的方法是一個對空間圖形進行研究，建立幾何模型的過程，這個過程能培養和發展學生的合情推理與演繹推理的能力。在“互聯網+教育”的背景下，計算機信息技術的應用使綜合幾何的教學難點得到有效突破，教師通過軟件的合成、圖形動畫演示等情景化的教學能使學生更加充滿探究興趣，課堂的實效性得到加強。

解析幾何的方法是利用代數的方法研究幾何圖形的性質。基本步驟是：（1）建立適當的平面直角坐標系，將平面幾何問題轉化為代數問題；（2）通過代數運算，解決代數問題；（3）把代數運算的結果轉化成幾何問題的結論，常常需要通過代數的方法把表示幾何圖形的方程化成標準形式，從而更簡潔地表達其幾何性質。直線與圓錐曲線的位置關系問題是解析幾何的重點內容，常常涉及直線與曲線交點的判斷、弦長、面積等，其解題主要涉及方程和韋達定理，在進行運算時，借助平面幾何中的相關結論，可簡化計算。解析幾何的方法很好地詮釋了數學中的數形結合思想。

向量幾何的方法就是用向量及其運算來研究幾何圖形。向量幾何的方法特點是程序化表述，可大大縮短思維過程，但其中的代數計算量不可小視。向量方法研究具有靈活、便捷的特點；利用向量的方法證明空間的平行或垂直，常常借助幾何圖形的垂直關系建系，并讓盡可能多的頂點落于坐標軸上，以便簡化運算過程。

四、高中幾何內容的總體設計

幾何課程的設計將空間想象能力作為指導思想，強調利用圖形生動形象地描述數學問題，直觀地揭示解決問題的途徑，在幾何課程本身的學習中具有不可替代的作用，并且貫穿于整個數學學習的始終。用圖形討論問題，發揮空間想象能力，是一種基本的數學素養。高中數學課程中的幾何內容是分層設計的。必修課程的幾何內容由立體幾何初步、解析幾何初步、平面向量組成。

“立體幾何初步”主要通過直觀圖、三視圖，從空間幾何體柱、錐、球、臺等的整體觀察入手，認識空間幾何體及其直觀圖的畫法；空間幾何體的結構特征是證明空間線面位置關系的基礎，也是正確識別幾何體三視圖的基礎；再以長方體為載體，認識點、線、面的基本關系和基本性質，空間中平行與垂直關系的判斷與證明，是立體幾何的核心內容。這些知識可幫助學生建立空間想象思維，靈活運用文字語言、符號語言、圖形語言進行表達和思考，并且能熟練地對三種語言進行轉化。

“解析幾何初步”的重點是幫助學生建立解析幾何的基本思想——數形結合思想，初步形成用代數方法解決幾何問題的能力，以直線與圓為載體，逐步使學生建立“曲線的方程，方程的曲線”思想。圓錐曲線是體現解析幾何思想的最好載體，高中數學的圓錐曲線部分主要介紹了橢圓、雙曲線、拋物線三類圓錐曲線的標準方程，強調從幾何性質到建立方程的過程。圓錐曲線中最值與范圍問題是解析幾何中的核心內容，是考試重點之一。

向量是研究幾何的一項基本內容，是研究幾何問題的基本工具。向量可以描述幾何中的基本研究對象——點、線、面；判斷線線、線面、面面的平行與垂直關系；還可以表示空間中的曲線與曲面；并且可用來度量幾何體中線與面的長度、角度，計算其表面積、體積等。在教學中，應注重將向量的代數運算與其幾何意義聯系起來，這樣才能運用向量代數性質更好地刻畫幾何對象，從而體會代數與幾何的聯系。

五、把握高考中的幾何問題

立體幾何是研究空間幾何體的基礎和必備內容，是歷年高考的熱點。其主要從兩個方面考查：一是空間幾何體的三視圖與其表面積、體積的求解綜合，多以選擇題或填空題的形式命題，試題難度不大。三視圖的識別與判斷的關鍵在于準確把握基本幾何體如棱錐、圓錐等的結構特征，特別要注意幾何體三視圖中的實線和虛線的不同含義。由三視圖確定幾何體時，首先要利用俯視圖確定底面的特征，再根據側視圖和正視圖確定幾何體的其他特征，要注意側視圖是從幾何體的左側向右側的投影，切忌看錯方向，最后依據三視圖中的實虛線進行調整，復原幾何體。二是空間平行與垂直關系的證明與探索性問題，屬于中等難度的問題。準確理解空間中的線線、線面、面面位置關系的分類是正確分析空間中線面關系的基礎，尤其要運用好正方體模型。正確把握空間中的平行、垂直的判定定理和性質定理是證明空間平行與垂直的關鍵，在教學中教師尤其要提醒學生掌握此類定理中的符號語言和圖形語言，理解條件和結論的關系；同時要準確分析幾何體中各個平面和截面的性質，采取化整為零的手段，運用好立體圖形平面化的數學思想。空間向量的引入使解決立體幾何問題的程序化加強，思維過程簡化了，但最后的運算量較大，轉化過程也要細心謹慎。教師要告誡學生在選擇傳統幾何法和向量法時要合理取舍，切莫一味追求向量法。

圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分，是每年必考的題目之一，常以求曲線的標準方程、位置關系、定點、定值、最值、范圍等探索性問題為主。高考題中圓錐曲線問題的一個顯著特點是“問題一”的起點較低，但在“問題二”或“問題三”中有較為復雜的運算，對學生解決問題的能力要求較高。圓錐曲線的定義是推導其標準方程和幾何性質的基礎，在解決問題時要靈活運用圓錐曲線的定義解題，準確把握幾種圓錐曲線的標準方程的形式。一般情況下，涉及圓錐曲線的焦點問題時，要優先考慮定義解題。離心率問題是高考的重點，要根據試題中的條件，建立a、b、c 三個量之間的關系，然后轉化為a、c 之間的關系求解。面對“問題二”或“問題三”中較為復雜的運算時，要有簡化運算的意識，有目的地進行運算。

總之，在數學教學中，教師要明確幾何教學目標，準確把握幾何的研究對象和研究方法，對高中幾何模塊的課程結構有宏觀的掌握。利用信息技術等現代化的教學手段，不斷探索，不斷創新，改變傳統的教學模式。還要留心觀察學生的狀態，因材施教，合理取舍，有效開展初高中教學的銜接，從而有效突破高中幾何教學的難點。