關于中心極限定理的理解

李華燦　吳龍勝　李群芳

摘 要 正態分布是現實生活中廣泛存在的分布，其特點可概括為中間大兩頭小，文中具體論述如何從正態分布的應用背景掌握“2”個中心極限定理。

關鍵詞 極限定理 單調不減 正態分布 中心極限定理

中圖分類號：O172.2文獻標識碼：A

1關于正態分布的基本介紹

正態分布是現實生活中廣泛存在的分布，其取值具有中間大兩頭小的特點，在概率論與數理統計課程中它嚴格的定義是：若隨機變量X具有概率密度，則稱X服從參數為的正態分布，記為，其中，，正態分布是概率論與數理統計課程的核心內容，在二維連續性隨機變量、數字特征、中心極限定理、數理統計中的統計量分布以及區間估計等內容中反復涉及，關于正態分布我們要把握以下兩點：一是一維正態分布的概率密度僅由兩個參數決定，即，其分別為該正態分布的數學期望與方差;二是對于一般的標準正態分布，可以通過標準化轉化為標準正態分布來研究。

2從正態分布的應用背景掌握“2”個中心極限定理

正態分布在概率論與數理統計中具有非常重要的作用和地位，現實世界中許多實例均可以視為服從正態分布的隨機變量，如各種測量的誤差、人的生理特征、工廠產品的尺寸、農作物的收獲量、海洋波浪的高度、金屬線的抗拉強度、熱噪聲電流強度、學生們的考試成績等。一般而言，如果一隨機變量可看成眾多相互獨立的隨機因素的疊加時，即，則隨機變量可看成服從正態分布的隨機變量。結合正態分布和隨機變量的數字特征的理論可知：，，因此可看成服從 的正態分布，基于此就很容易得到兩個中心極限定理：（1）設隨機變量，，…，，…相互獨立，且服從同一分布，具有有限的數學期望和方差，則由以上分析可知：當，可看成服從正態分布的隨機變量。又

故，從而，則所對應的分布函數對任意的滿足。上述內容就是同分布的中心極限定理，其中是標準正態分布的分布函數，當時其值有專門的表可查。（2）又設服從參數為的二項分布，則有? ? ?，其中是標準正態分布的分布函數。事實上，若，那么可表示成n個相互獨立的服0-1分布的隨機變量的和，即，故當時，看成服從正態分布的隨機變量。又，，故，從而，故，于是可得。上述內容即為德莫弗——拉普拉斯中心極限定理。

基金項目：江西省教改課題（JXJG-17-46-3）。

作者簡介：李華燦（1985-），男，碩士，講師。

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