數形結合思想在解題中的應用

〔關鍵詞〕 數學教學；數形結合思想；應用

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2013）15—0078—01

“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性，數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系和直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或者“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，從而使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化.

巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，往往能起到事半功倍的效果.而數形結合思想的應用形式大體可分為代數問題的幾何解法與幾何問題的代數解法兩個方面，現就這兩個方面的問題舉幾個例題加以說明.

1.數量問題轉化為圖形問題

有關數的問題，借用形的性質之后，有助于對問題的內在聯系更進一步的了解，從而變易錯為準確，化繁瑣為簡潔.而數量問題轉化為圖形問題的主要方法是幾何方法解決代數問題，而幾何方法具有直觀、形象的優勢.

例1 已知a、b均為正數，且a+b=2.求■+■的最小值.

解：如右圖，作線段AB=2，在AB上截取AE=a，EB=b.過A作AC⊥AB，且AC=2.過B作BD⊥AB，且BD=1.由勾股定理得：CE=■，ED=■，原題即求CE+ED的最小值.延長CA至G，使AG=AC，連接GE，由三角形兩邊之和大于第三邊，則G、E、D三點共線時，GE+ED=DG最短.延長DB至F，使BF∥AG且BF=AG，連接GF.則在Rt△DGF中， DF=1+2=3，GF=AB=2.

∴DG=■=■=■.

∴CE+DE的最小值是■，即■+■的最小值是■.

例2 某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的的選購方式共有（ ）

A.5種 B.6種 C.7種 D.8種

解：設購買軟件x片，購買磁盤y盤，依題意得

60x+70y≤500x≥3y≥2，即6x+7y≤50x≥3y≥2

適合不等式組的有序整數對（x，y）的對數，也是直角坐標平面上相關區域（含邊界）整數點的個數，作出不等式組所表示的平面區域。如上圖所示，在平面區域內，不難判定有7個整點，故有7種不同的購買方式.

2.圖形問題轉化為數量問題

有些平面幾何與立體幾何問題，若用代數方法去解決，其解題方法變得容易尋找，解題過程也變得簡單.因此，化形為數，解題思路較明確，規律性較強.

例3 已知正方形ABCD，延長BC至E，使CE= ■BC，在CD上截取DF=■DC，DE與AF的延長線交于G，則G在正方形ABCD的外接圓上.

分析：這是一個圖形問題，如何創造條件將它轉化為數量問題呢？對圖形進行量化是將圖形問題轉化為數量問題的關鍵.本題為五點共圓問題，由于ABCD是正方形，故只需證G在A，B，C，D所在的圓上，亦可證A，C，D，G四點共圓.

證明：連接AC，在三角形AFC中，根據正弦定理sin∠CAF=■·sin45°.令AB=a，則sin∠CAF=■.在直角三角形DCE中，有sin∠CDE=■=■. ∵∠CAF和∠CDE皆為銳角，∴∠CAF=∠CDE，故A、C、D、G四點共圓，即G在正方形ABCD外接圓上.

數形結合思想在培養和發展學生的空間觀念和數感方面有不可忽視作用.利用數形結合思想進行解題可以使有些復雜問題簡單化，抽象問題具體化.正如數學家華羅庚說過的：“數形結合千般好，數形分離萬事休”.數形結合思想是一種貫穿初中數學和高中數學的一種重要思想方法，在數學解題中適當使用這種思想可以使得問題得到極大的簡化.

編輯：謝穎麗