基于客觀賦權(quán)的作戰(zhàn)方案模糊優(yōu)選方法*

方 冰,韓 冰,徐 平

(陸軍指揮學(xué)院作戰(zhàn)實(shí)驗(yàn)教研室,江蘇 南京 210045)

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)是陸、海、空、天、電多維一體的體系作戰(zhàn),情報(bào)信息急劇增長(zhǎng),戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)瞬息萬變,不確定性情況日益增多,決策質(zhì)量的好壞直接關(guān)系到戰(zhàn)爭(zhēng)的成敗。同時(shí),作戰(zhàn)任務(wù)的復(fù)雜性和戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境的不確定性給相關(guān)決策人員帶來了沉重的認(rèn)知負(fù)擔(dān)和心理壓力,使得他們?cè)诿鎸?duì)諸如作戰(zhàn)方案選擇、軍事資源分配等關(guān)鍵問題時(shí)常常猶豫不決,誤判現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生。因此,本文援引多屬性決策理論,以猶豫模糊數(shù)作為不確定決策信息的描述工具,構(gòu)建不確定條件下的作戰(zhàn)方案優(yōu)選模型,幫助指揮員積極應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn),做出正確決策,最終贏得戰(zhàn)爭(zhēng)勝利。

多屬性決策(Multi-Attribute Decision-Making,MADM)是指人們?cè)诙鄠€(gè)相互沖突的屬性下從多個(gè)備選方案中選擇具有最高滿意度方案的決策過程[1]。在經(jīng)典多屬性決策問題中,決策者或評(píng)估專家通常是用精確而非模糊的數(shù)值來表達(dá)他們對(duì)備選方案在每個(gè)屬性下的評(píng)估值(決策信息)。然而,隨著軍事、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)問題的日益復(fù)雜化和決策者本身固有的思維模糊性和認(rèn)知局限,決策者越來越難以用精確的數(shù)值來表達(dá)他們的決策信息。為了有效描述決策者的模糊決策信息,1970年,Bellman 和Zadeh首次將模糊集(Fuzzy Set, FS)理論引入多屬性決策問題中[2]。隨后,模糊決策、模糊評(píng)價(jià)、模糊聚類等相關(guān)問題的研究取得了巨大成功,各種新理論如:區(qū)間模糊集、直覺模糊集、區(qū)間直覺模糊集等應(yīng)用理論接踵而至[3]。

近年來,西班牙學(xué)者Torra針對(duì)多屬性決策問題中,決策專家在給出評(píng)估信息時(shí)猶豫不決以及多個(gè)專家互相不能說服、難以達(dá)成一致意見的情形,提出了猶豫模糊集(Hesitant Fuzzy Set, HFS)的概念[4]。作為模糊集理論的一種重要拓展形式,猶豫模糊集描述了決策信息對(duì)指定集合有多個(gè)可能隸屬度的情形,非常適合不確定決策信息的描述,增加了決策者賦值的靈活性,在現(xiàn)實(shí)多屬性決策問題中有著廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景。猶豫模糊集的基本描述工具是猶豫模糊數(shù)(Hesitant Fuzzy Element, HFE),它是一個(gè)由多個(gè)實(shí)數(shù)值構(gòu)成的集合,表示猶豫模糊集的元素具有幾個(gè)可能的隸屬度。猶豫模糊數(shù)作為決策者對(duì)不確定決策信息的描述工具,允許決策者在給出其評(píng)估信息時(shí)可以在幾個(gè)不同的數(shù)值之間猶豫不決,增加了賦值靈活性,從而能夠更加細(xì)膩地描述其對(duì)評(píng)估對(duì)象的不確定性評(píng)估,是多屬性決策問題中描述和處理不確定信息的有效工具[5]。

本文針對(duì)屬性權(quán)重未知、屬性值為猶豫模糊數(shù)的作戰(zhàn)方案優(yōu)選問題,提出了一種基于客觀賦權(quán)的猶豫模糊多屬性決策方法。該方法首先依據(jù)傳統(tǒng)逼近理想解(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution,TOPSIS)思想[6],在猶豫模糊數(shù)距離測(cè)度[7]的基礎(chǔ)上建立關(guān)于權(quán)重向量求解的非線性規(guī)劃模型,然后在證明該模型是凸優(yōu)化問題并具有唯一最優(yōu)解的基礎(chǔ)上,給出其閉合解形式。最后,本文在屬性權(quán)重求解的基礎(chǔ)上,給出了多個(gè)備選作戰(zhàn)方案的優(yōu)劣排序算法,進(jìn)而選出最優(yōu)作戰(zhàn)方案。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,本文提出的方法具有論證過程清晰嚴(yán)謹(jǐn)、算法簡(jiǎn)明有效、結(jié)果客觀實(shí)在、適用范圍廣泛的優(yōu)點(diǎn)。

1 理論基礎(chǔ)

定義1:假定μA是論域U到區(qū)間[0,1]上的一個(gè)映射

(1)

其中,x是集合U的任一元素。定義如下集合

A={|x∈U}

(2)

我們稱集合A是集合U的一個(gè)模糊集[8]。映射函數(shù)μA(·)是模糊集A的隸屬函數(shù)。函數(shù)值μA(x)∈[0,1]表示元素x關(guān)于模糊集A的隸屬度,是元素x屬于模糊集A的程度度量。特別地,μA(x)≡0表示模糊集為空集,即A=Φ,μA(x)≡1表示模糊集A=U。

定義2:給定論域U到區(qū)間[0,1]上一個(gè)子集的映射

(3)

我們稱集合H是集合U的一個(gè)猶豫模糊集[9]。

對(duì)于任意x∈U,hH(x)是由區(qū)間[0,1]上幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)值構(gòu)成的集合。hH(x)用以表示x屬于猶豫模糊集H的若干個(gè)可能隸屬度,hH(x)通常也被稱為猶豫模糊數(shù)。例如,猶豫模糊數(shù)hH(x)=H{0.4,0.6}表示是元素x屬于猶豫模糊集H的隸屬度可能是0.4,也可能是0.6。當(dāng)猶豫模糊數(shù)hH(x)只包含單一實(shí)數(shù)值時(shí),猶豫模糊集H就退化成一個(gè)傳統(tǒng)的模糊集。

在現(xiàn)實(shí)決策過程中,決策者給出的猶豫模糊數(shù)中的元素通常是無序的,而且不同猶豫模糊數(shù)的元素個(gè)數(shù)也不盡相同。例如,hH(x1)=H{0.4,0.6}和hH(x2)=H{0.5,0.3,0.8,0.7}。顯然,處理以上兩個(gè)猶豫模糊數(shù),比如計(jì)算它們之間的距離,是十分困難的。為了便于處理,我們可以將猶豫模糊數(shù)中的元素按增序進(jìn)行排列,并按照一定的規(guī)則對(duì)元素較少的猶豫模糊數(shù)進(jìn)行拓展,使它們具有相同的元素。比如,我們可以按照風(fēng)險(xiǎn)厭惡(Risk-averse)的原則,重復(fù)添加元素個(gè)數(shù)相對(duì)較小的猶豫模糊數(shù)中的最小元素,使它和另一個(gè)猶豫模糊數(shù)的元素個(gè)數(shù)相同。因此,上述的兩個(gè)猶豫模糊數(shù),我們可以把它們處理成hH(x1)=H{0.4,0.4,0.4,0.6}和hH(x2)=H{0.3,0.5,0.7,0.8}。

兩個(gè)猶豫模糊數(shù)即h1,h2之間的歐幾里得(Euclidean)距離測(cè)度可以定義為

(4)

猶豫模糊數(shù)h1,h2的并集可以定義為

(5)

猶豫模糊數(shù)h1,h2的交集可以定義為

(6)

(7)

2 模型構(gòu)建

2.1 問題描述

(8)

2.2 決策矩陣規(guī)范化

通常,直接得到猶豫模糊決策矩陣A不便于處理。為了方便對(duì)備選方案做出綜合評(píng)價(jià),需要對(duì)矩陣A進(jìn)行規(guī)范化處理[8],其步驟為:

Step1: 對(duì)矩陣A進(jìn)行歸一化處理,消除各屬性的量綱和數(shù)量級(jí)影響,保證各個(gè)屬性之間具有可對(duì)比性;

Step2: 對(duì)矩陣A進(jìn)行一致化處理,對(duì)于成本型屬性,根據(jù)式(7)對(duì)其進(jìn)行取補(bǔ)變換;

Step3: 對(duì)矩陣A進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理,也就是將猶豫模糊數(shù)內(nèi)的所有元素按照增序進(jìn)行排列,并按照一定的規(guī)則對(duì)元素個(gè)數(shù)較少的猶豫模糊數(shù)進(jìn)行拓展,使它們具有相同的元素個(gè)數(shù)。

設(shè)規(guī)范化后的猶豫模糊決策矩陣

(9)

這里,矩陣M中的任意猶豫模糊數(shù)hij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),其元素個(gè)數(shù)相同,并且按增序進(jìn)行排列.

2.3 確定屬性權(quán)重

記加權(quán)后的規(guī)范化決策矩陣為G=[gij]m×n,其猶豫模糊決策元素gij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)由下式給出

gij=wjhij.

(10)

(11)

(12)

因此,方案xi,i=1,2,…,m與加權(quán)決策矩陣G正理想解間的歐氏距離測(cè)度可以表示為

(13)

為了計(jì)算距離di的值,首先需要確定屬性權(quán)重向量w=(w1,w2,…,wn)T的值。總體上,我們希望每個(gè)方案和矩陣G正理想解間的距離應(yīng)盡可能地小。同時(shí),由于各個(gè)方案是公平競(jìng)爭(zhēng)的,不存在任何偏好關(guān)系。因此,我們可以建立如下的非線性規(guī)劃問題來求解屬性權(quán)重向量

wj≥0,j=1,2,…,n

(14)

式(14)所示的非線性規(guī)劃問題中,優(yōu)化變量為w=(w1,w2,…,wn)T。當(dāng)w取得最優(yōu)解時(shí),每個(gè)候選方案和矩陣正理想解間的距離都在“最小二乘”的意義下達(dá)到最優(yōu)。此時(shí),距離正理解最近的方案即為最優(yōu)。

為簡(jiǎn)化計(jì)算,可以將該問題的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步推導(dǎo)如下

(15)

此處,可以通過引入輔助函數(shù)

(16)

來進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算。如此,非線性規(guī)劃問題(14)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化如下

(17)

(18)

wj≥0,j=1,2,…,n

(19)

下面通過4個(gè)定理來說明:式(17)、(18)和(19)所確定的非線性規(guī)劃問題是凸問題[10],且具有唯一最優(yōu)解,并給出其最優(yōu)解的解析解形式。

定理1:由式(18)和式(19)所確定的非線性規(guī)劃問題的可行域G是凸集。

證明:假設(shè),w*和w**是可行域G上的任意兩點(diǎn)。則對(duì)于所有的j∈{1,2,…,n},w*和w**需要滿足式(18)和式(19)所確定的兩個(gè)條件,即

從凸集的定義出發(fā),對(duì)于任意θ∈[0,1],可做如下推導(dǎo):

顯然,對(duì)于任意θ∈[0,1],由θw*+(1-θ)w**所確定的點(diǎn)也滿足式(18)和式(19)所確定的條件。因而,θw*+(1-θ)w**也是可行域G上的點(diǎn),即可行域G上任意兩點(diǎn)w*和w**之間的凸線段都在可行域G內(nèi)。

因此,可行域G符合凸集的定義。

引理1:假設(shè)X為開凸集,函數(shù)f(x)在X上二階連續(xù)可微。則函數(shù)f(x)是凸集X上凸函數(shù)的充要條件是:f(x)的Hessian矩陣是半正定矩陣。即,對(duì)于任意x∈X,都有

2f(x)0

特別地,如果對(duì)于任意x∈X,都有

2f(x)?0

則函數(shù)f(x)是嚴(yán)格凸函數(shù)(反過來不一定成立)。

定理2:由式(17)所構(gòu)成的非線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)D是凸集G上的嚴(yán)格凸函數(shù)。

證明:根據(jù)引理1,可得

2D

所以,目標(biāo)函數(shù)D是凸集G上的嚴(yán)格凸函數(shù)。

定理3:由式(17)、(18)和(19)所確定的非線性規(guī)劃問題是凸優(yōu)化問題,其最優(yōu)解存在且唯一。

證明:根據(jù)定理1和定理2可知,由式(17)、(18)和(19)所確定的非線性規(guī)劃問題的可行域G是凸集,目標(biāo)函數(shù)D是凸函數(shù)。因而,該非線性規(guī)劃問題是一個(gè)凸優(yōu)化問題,其局部最優(yōu)解為全局最優(yōu)解。下面對(duì)其最優(yōu)解的唯一性進(jìn)行證明如下(用反證法):

假設(shè)w*和w**是該非線性問題在可行域G上的兩個(gè)最優(yōu)解,則必有

D(w*)=D(w**),

因?yàn)?凸優(yōu)化問題的局部最優(yōu)解為全局最優(yōu)解。

同時(shí),根據(jù)定理2,對(duì)于任意θ∈[0,1],由目標(biāo)函數(shù)D的嚴(yán)格凸性可以做如下推導(dǎo)

D[θw*+(1-θ)w**]<

θD(w*)+(1-θ)D(w**)=D(w*).

即,D[θw*+(1-θ)w**]

因而,由式(17)、(18)和(19)所確定的非線性規(guī)劃問題,其最優(yōu)解存在且唯一。

定理4:由式(17)、(18)和(19)所確定的非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解是

(20)

證明:構(gòu)造如下Largrange函數(shù)

其中,λ為L(zhǎng)argrange乘子。

聯(lián)立求解以上兩式,可得

2.4 方案排序

備選方案xi,i=1,2,…,m與加權(quán)決策矩陣G的負(fù)理想解間的歐氏距離測(cè)度可以表示為

(21)

根據(jù)式(13)和式(21),可以計(jì)算每個(gè)備選方案與加權(quán)決策矩陣G正理想解間的相對(duì)貼近度,其定義為

(22)

顯然,有0≤CI(xi)≤1,i=1,2,…,m，當(dāng)CI(xi)的值接近于1時(shí),方案xi距離正理想解更近,同時(shí)距離負(fù)理想解更遠(yuǎn)。因此,根據(jù)相對(duì)貼近度CI(xi)的值,可以確定所有備選方案的排序,從中選出最優(yōu)方案。引入相對(duì)貼近度的目的,是使方案排序算法更具客觀性和穩(wěn)定性。

根據(jù)備選方案xi與加權(quán)決策矩陣G正理想解間相對(duì)貼近度的大小,可以對(duì)方案集X={x1,x2,…,xm}進(jìn)行優(yōu)劣排序,進(jìn)而選出最優(yōu)方案。

算法1 備選方案優(yōu)劣排序算法:

Step1:收集整理決策者給出的猶豫模糊評(píng)價(jià)信息,并進(jìn)行必要的一致規(guī)范化處理,得到如式(9)所示的規(guī)范化猶豫模糊決策矩陣M;

Step5:根據(jù)式(22),計(jì)算出各方案的相對(duì)貼近度CI(xi),i=1,2,…,m;

Step6:根據(jù)相對(duì)貼近度值的大小,對(duì)方案集中的備選方案xi,i=1,2,…,m進(jìn)行優(yōu)劣排序。

3 算例分析

3.1 問題描述

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中,作戰(zhàn)方案的質(zhì)量是聯(lián)合制勝的重要保證。在統(tǒng)一的衡量標(biāo)準(zhǔn)下,對(duì)多個(gè)作戰(zhàn)方案進(jìn)行鑒別、比較,能夠?qū)崿F(xiàn)多個(gè)方案的優(yōu)劣排序,進(jìn)而選出最優(yōu)作戰(zhàn)方案。

假設(shè)某軍事決策組擬從5個(gè)備選作戰(zhàn)方案{x1,x2,x3,x4,x5}中擇優(yōu)選擇1個(gè)。為了選擇出最優(yōu)的作戰(zhàn)方案,該決策組提出了4個(gè)評(píng)價(jià)屬性{a1,a2,a3,a4}:分別表示作戰(zhàn)方案的實(shí)施成本、作戰(zhàn)方案本身的合理性、實(shí)施方案的潛在收益、以及實(shí)施該方案的潛在風(fēng)險(xiǎn)。其中,屬性a1,a4為成本型屬性,屬性a2,a3為效益型屬性。屬性權(quán)重向量w=(w1,w2,w3,w4)T未知,且滿足非負(fù)和歸一條件。決策者的評(píng)價(jià)信息以猶豫模糊決策矩陣的形式給出(見表1):矩陣的猶豫模糊元素{0.3,0.5,0.6}表示評(píng)估組在評(píng)估方案x1滿足屬性a1的程度上意見不一致,其評(píng)估值可能是0.3、也可能是0.5或0.6。

表1 猶豫模糊決策矩陣A

3.2 決策矩陣一致規(guī)范化

根據(jù)2.2節(jié)所述的猶豫模糊矩陣一致規(guī)范化方法,首先將決策矩陣A中的成本型屬性a1,a4轉(zhuǎn)化成效益型屬性;然后,按照風(fēng)險(xiǎn)厭惡的規(guī)則[11],通過重復(fù)增加元素個(gè)數(shù)較少的猶豫模糊數(shù)中的最小元素,使得決策矩陣中的所有猶豫模糊數(shù)具有相同的元素個(gè)數(shù),并且其內(nèi)所有元素按增序進(jìn)行排列,結(jié)果如表2所示。

表2 規(guī)范化的猶豫模糊決策矩陣M

根據(jù)式(11)的運(yùn)算規(guī)則,可知決策矩陣M的正理想解為

u+={H{0.6,0.7,0.8},H{0.7,0.8,0.9},

H{0.9,0.9,0.9},H{0.8,0.85,0.9}};

根據(jù)式(12)的運(yùn)算規(guī)則,可知決策矩陣M的負(fù)理想解為

u-={H{0.3,0.4,0.4},H{0.3,0.4,0.5},

H{0.4,0.4,0.5},H{0.15,0.25,0.3}}

3.3 屬性權(quán)重確定

表3 各方案到?jīng)Q策矩陣M正理想解的距離集

然后,根據(jù)式(16)可以計(jì)算出輔助函數(shù)的函數(shù)值e1=0.4899,e2=0.5323,e3=0.7943,e4=0.7566。

3.4 作戰(zhàn)方案排序

根據(jù)2.4節(jié)所述的備選方案優(yōu)劣排序算法,本節(jié)按照以下5個(gè)步驟對(duì)各備選作戰(zhàn)方案進(jìn)行優(yōu)劣排序。

Step1:根據(jù)式(13),計(jì)算各備選作戰(zhàn)方案xi(i=1,2,…,m)與加權(quán)決策矩陣G正理想解間的距離測(cè)度di,結(jié)果如表4所示。

表4 各方案到加權(quán)決策矩陣G正理想解的距離測(cè)度

表5 各方案屬性值到矩陣M負(fù)理想解的距離測(cè)度集

表6 各方案到加權(quán)決策矩陣G負(fù)理想解的距離測(cè)度

Step4:根據(jù)式(22),計(jì)算各備選作戰(zhàn)方案xi(i=1,2,…,m)與加權(quán)決策矩陣G正理想解間的相對(duì)貼近度,結(jié)果如表7所示。

表7 各方案到加權(quán)決策矩陣G正理想解的相對(duì)貼近度

Step5:根據(jù)相對(duì)貼近度的大小,對(duì)各備選作戰(zhàn)方案xi(i=1,2,…,m)排序如下:

x1?x2?x3?x5?x4。

根據(jù)排序結(jié)果可知,第1種作戰(zhàn)方案為最優(yōu),第4種作戰(zhàn)方案為最劣。

3.5 比較分析

為對(duì)本文方法的有效性進(jìn)行說明,這里對(duì)同一算例的計(jì)算結(jié)果與其他兩種不同決策方法所得到的結(jié)果相比較,結(jié)果如表8所示。

表8 不同決策方法的結(jié)果比較

從決策結(jié)果上來看,這三種方法的最優(yōu)決策方案是相同的,都是備選方案x1為最優(yōu),即選擇第1種作戰(zhàn)方案為最優(yōu)。不同之處是備選方案x4,x5的排序,即第4種作戰(zhàn)方案和第5種作戰(zhàn)方案的優(yōu)劣情況:在這個(gè)問題上,本文方法與文獻(xiàn)[12]的結(jié)果是一致的,第5種作戰(zhàn)方案優(yōu)于第4種作戰(zhàn)方案;而文獻(xiàn)[11]的決策結(jié)果是第4種作戰(zhàn)方案優(yōu)于第5種作戰(zhàn)方案。

從決策過程上來看,文獻(xiàn)[12]的決策方法需要決策者事先給定屬性的權(quán)重信息,決策者的主觀隨意性對(duì)決策結(jié)果有很大的影響;文獻(xiàn)[11]通過組合賦權(quán)的方式,部分減少了決策者對(duì)屬性權(quán)重信息處置的主觀隨意性。但是,本文的方法,完全采用客觀賦權(quán)的方式,徹底消除了決策者對(duì)屬性權(quán)重信息處置的主觀隨意性,具有客觀實(shí)在、適用范圍廣泛的特點(diǎn)。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)不確定條件下的作戰(zhàn)方案優(yōu)選問題,提出了一種基于客觀賦權(quán)的模糊優(yōu)選方法。該方法以逼近理想解算法為思想基礎(chǔ),以屬性權(quán)重向量求解為中心環(huán)節(jié),以非線性規(guī)劃為主要數(shù)學(xué)工具,具有論證過程清晰嚴(yán)謹(jǐn)、算法簡(jiǎn)明有效的特點(diǎn)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,該算法能夠有效避免了屬性權(quán)重向量求解過程中的決策者的主觀因素影響,具有邏輯清晰、客觀實(shí)在、操作簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。同時(shí),通過和其他已有算法的比較,也從側(cè)面上證明了論文所提算法的有效性。