挖掘一道課本習題的教學價值

陸建根

摘要：課本例題、習題既是如何運用知識解題的經典，也是思維訓練的范例。教師要加強對課本例題習題的研究，通過對一道例題多角度、全方位的探究，可以加深學生對數學概念、法則、定理等基礎知識的理解和掌握，讓學生在解題的準確性、靈活性和敏捷性上達到新的水平，而且對開發學生智力，培養學生良好的思維品質，提升學生的核心素養具有重大意義。

關鍵詞：例題習題;研究;一題多解

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2019）19-108-1

教材的例題習題都是很典型的，是經過專家精選的，具有一定的代表性，課本例題習題的教學相當的重要。而要搞好例題習題教學的前提是，教師必須進行深入的研究，要熟悉例題習題的編寫意圖和例題習題的來龍去脈。

就一道例題，對解題方法進行深入挖掘和研究，做到一題多解，可以培養學生思維的開闊性和靈活性。同一個題目從不同的角度去分析研究，可以得到不同的啟迪。

蘇教版必修五第2章《數列》復習題第11題為：

在等差數列{an}中，已知Sp=q，Sq=p（p≠q），求Sp+q的值。

同學們如果能從多方位去探求各種不同的解法，不僅能系統梳理、復習等差數列的有關的基礎知識，而且對等差數列的內在的本質的屬性會有更深刻的認識。

為便于全面的挖掘本題的教學價值，我們先把問題特殊化，先考慮下列問題：

在等差數列{an}中，已知S10=100，S100=10，求S110的值。

設等差數列{an}的公差為d，前項和為Sn。

解法1：由S10=100，S100=10得

∴10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2）

解得a1=1099100，d=-1150。所以S110=110a1+110×1092d=-110

注：該解法思路自然，是一種常規解法，但運算量較大。

解法2：數列S10，S20-S10，S30-S20，…，S60-S50，…，S100-S90，S110-S100（*）成等差數列，設公差為D，該數列前10項和為10S10+10×92D=S100=10，∴D=-22，

該數列第11項為S110-S100=S10+（11-1）（-22）=-120，∴S110=-110。

注：該解法運用了等差數列的性質：等差數列的依次每k項之和仍成等差數列。

解法3：數列（*）的前10項和為S100=10，而S10=100，

所以等差數列S20-S10，S30-S20，…，S60-S50，…，S100-S90的所有9項之和為-90。

即-90=9（S60-S50），∴S60-S50=-10，

∴S110=S10+（S20-S10）+…+（S110-S100）=11（S60-S50）=11×（-10）=-110。

注：該解法運用了性質：S2n-1=（2n-1）an。

解法4：由于{an}為等差數列的充要條件為其前項和Sn=An2+Bn，

將S10=100，S100=10代入可得A=-11100，B=-11110，

∴Sn=-11100n2+11110n，∴S110=-110。

注：該解法注意到等差數列前n項和的公式的結構特征，Sn=An2+Bn。

解法5：∵Sn=na1+n（n-1）2d，∴Snn=a1+（n-1）d2，

∴（n，Snn）是直線y=（x-1）d2+a1上的一串點，

顯然（10，10），（100，110），（110，S110110）共線，∴S110=-110。

注：由Snn=a1+（n-1）d2聯想到直線方程，數形結合，解法簡潔快捷。

解法6：由S110=110a1+110×1092d=110（a1+1092d）。

∴10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2），

由（2）-（1）得a1+1092d=-1，

上述等式兩邊同乘以110得S110=-110。

注：整體代換可以極大地減少運算量。

再回到原問題，從上述解法可以知道，用解法1、2、4、5、6都可以解決該題，下面我們用解法6來求解。

由Sp=q，Sq=p，得pa1+p×（p-1）2d=q，（3）qa1+q×（q-1）2d=p，（4）

（3）-（4）整理得a1+p+q-12d=-1，

兩邊同乘以p+q得（p+q）a1+（p+q）（p+q-1）2=-（p+q），

即Sp+q=-（p+q）。

數學解題教學，題不在多，貴在精，貴在教師研究深。課本例題、習題既是如何運用知識解題的經典，也是思維訓練的范本，因此，教師要加強對課本例題習題的研究，而且通過教師長期的示范引領，慢慢地讓學生也養成對課本例題習題進行琢磨、研究的習慣。這樣做不僅能加深學生對數學概念、法則、定理等基礎知識的理解和掌握，讓學生在解題的準確性、靈活性和敏捷性上達到新的水平，而且對開發學生智力，培養學生良好的思維品質，提升學生的核心素養亦有好處。

（作者單位：江蘇省鎮江中學，江蘇 鎮江212000）