筑壩堆石料抗剪強度間接測定模型與實用計算公式研究

任秋兵，李明超，杜勝利，劉承照

（水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津大學，天津 300354）

1 研究背景

堆石料通常是指山體開采所得巖塊經(jīng)一定程度粉碎而得到的巖石碎塊類集合體。由于其具有壓實性能好、透水性強、承載力大和抗剪強度高等良好工程特性，在堆石壩等工程中得到了廣泛應用[1]，作為堆石壩中堆石體填筑材料的堆石料稱為筑壩堆石料（或堆石壩料）。堆石壩各分區(qū)填筑對堆石料有相應級配要求，主堆石料和次堆石料粒徑相對較大，墊層料多為連續(xù)級配細石料，過渡料粒徑、級配應符合墊層料與主堆石料間的反濾要求[2]。實際工程中，除要求顆粒級配和相對密度外，對筑壩堆石料的基本物理力學性能（如抗剪強度、壓縮模量等）更為關(guān)注。筑壩堆石料的抗剪強度是指壩料抵抗剪切破壞的極限能力，其數(shù)值等于剪切破壞時滑動面上的剪應力。抗剪強度是衡量堆石料質(zhì)量的關(guān)鍵指標之一，也是影響堆石壩施工進度和運行安全的主要因素，故準確測定堆石料抗剪強度一直是工程項目可行性研究以及施工建設階段的重要任務[3-4]。隨著水電工程規(guī)模日益增大，如水布埡大壩壩高達到233 m，大壩勢必會遭受巨大荷載，這對作為壩體的堆石料強度特性精確、可靠描述提出了更高要求[5]。

隨著現(xiàn)代大型施工碾壓設備的普及應用，允許上壩的堆石料最大粒徑高達1500 mm以上[6-7]，充分體現(xiàn)筑壩堆石料粒徑跨度大這一特點。鑒于此，國內(nèi)外學者常采用室內(nèi)或原位剪切試驗來直接測定堆石料抗剪強度。張其光等[8]利用新研制的堆石料風化試驗儀對風化后堆石料試樣進行直剪試驗，探討了風化過程中堆石料的抗剪強度特性變化；陳濤等[9]開展了凍融循環(huán)下堆石料抗剪強度試驗研究，結(jié)果表明凍融循環(huán)后會使堆石料試樣的抗剪強度有所降低；Liu[10]和胡偉等[11]分別研制了大型原位直剪儀，并通過測定堆石料抗剪強度驗證了試驗設備的工作性能。此外，若堆石料尺寸較大而試驗條件難以滿足要求時，則選用縮尺試驗測定其抗剪強度。然而，由于缺乏合理的尺寸效應評價體系，堆石料縮尺引起的強度和變形的變化規(guī)律尚未形成統(tǒng)一認識，對縮尺引起的強度和變形差異的機理亦尚未完全明晰，故堆石料尺寸效應一直都是困擾工程設計和安全評價的難題[12]。孔憲京等[13-14]研發(fā)了系列三軸儀（包含國內(nèi)第一臺超大型靜動兩用三軸儀），構(gòu)成了多尺度三軸試驗平臺，為系統(tǒng)研究堆石料強度與變形的尺寸效應提供了技術(shù)支撐。總體而言，常規(guī)試驗儀器僅能測定中、小粒徑堆石料的抗剪強度，而直接測定大粒徑堆石料的抗剪強度則需通過自行研發(fā)大型試驗設備來實現(xiàn)，導致試驗成本大幅提高。再者，與常規(guī)剪切試驗相比，適配大尺度試驗的堆石料試樣制備難度增加、時耗延長，剪切試驗數(shù)據(jù)利用率卻未見提升。

為了彌補上述直接測定方法（即剪切試驗）的不足，作為一種有效輔助手段，堆石料抗剪強度間接測定方法應運而生。以往試驗研究[15-17]表明，堆石料抗剪強度主要取決于顆粒級配、組成和密實度等[8]，且各因素與抗剪強度呈高度非線性關(guān)系[18]，這為間接測定堆石料抗剪強度奠定了堅實基礎(chǔ)。根據(jù)理論依據(jù)的不同，現(xiàn)將間接測定方法大致分為數(shù)值模擬和機器學習兩類。兩者均是根據(jù)已有堆石料剪切試驗數(shù)據(jù)對其抗剪強度進行合理推算，不僅節(jié)約了試驗成本，還提高了積累試驗數(shù)據(jù)利用率；有所不同的是，數(shù)值模擬注重還原堆石料試樣真實性態(tài)，而機器學習則主要反映抗剪強度與其影響因素間的復雜映射關(guān)系。利用數(shù)值模擬方法重現(xiàn)或推斷原型足尺堆石料試樣的抗剪強度和變形規(guī)律較為常見[19-20]，而以機器學習為核心的數(shù)據(jù)驅(qū)動方法[21]在該方面的應用較少[6]，根據(jù)相關(guān)方法推導堆石料抗剪強度計算公式更是鮮有報道。對于現(xiàn)場試驗員或工程師而言，數(shù)學計算公式具有簡單、易用等特點，因而成為其最常運用的算術(shù)形式，而直接應用機器學習算法需要依賴開發(fā)環(huán)境和編程技能，這對筑壩堆石料抗剪強度數(shù)學模型的推廣使用造成一定影響。此外，現(xiàn)場試驗難以對公式全部自變量進行準確測試，不免會存在數(shù)據(jù)缺失或逸出等問題，這將直接影響公式推算精度。為此，有必要開發(fā)一種既符合工程應用實際情況，又能準確推算堆石料抗剪強度的魯棒性工具。

鑒于此，本文開展基于神經(jīng)網(wǎng)絡理論的筑壩堆石料抗剪強度間接測定模型及其實用計算公式研究，其主要包括以下幾個方面的內(nèi)容：（1）通過廣泛搜集文獻資料彌補現(xiàn)有室內(nèi)大型剪切試驗數(shù)據(jù)單一和匱乏的不足；（2）針對如何從多因素中合理篩選公式自變量并確保公式推算精度這一問題，提出一種集成組合客觀賦權(quán)與互信息的綜合性成本型指標（comprehensive cost-type index integrating combinatorial objective weighting and mutual information，CCI）；（3）為克服神經(jīng)網(wǎng)絡易陷入局部極小值以及多參數(shù)調(diào)優(yōu)復雜等局限性，耦合進化算法和誤差反向傳播算法形成一種神經(jīng)網(wǎng)絡混合訓練方法；（4）結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)和優(yōu)化參數(shù)，將進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型轉(zhuǎn)換為實用計算公式及其簡化應用方法，以促進其在實際工程中的應用；（5）利用工程實例對所提公式進行驗證分析，并將抗剪強度推算值與實測值進行對比。

2 研究框架

在考慮試驗數(shù)據(jù)多樣性的情況下，針對筑壩堆石料自身特性提出抗剪強度實用計算公式，其研究框架如圖1所示，主要包括典型試驗數(shù)據(jù)庫建立、公式自變量篩選、進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型構(gòu)建、公式推導與簡化應用以及工程實例驗證等5個步驟：（1）查閱國內(nèi)外堆石料抗剪強度試驗資料，收集影響堆石料抗剪強度的可量化因素及對應試驗值，以建立典型室內(nèi)剪切試驗數(shù)據(jù)庫。（2）結(jié)合相關(guān)性分析和CCI值篩選出主要因素作為模型自變量，對應因變量為抗剪強度，將歸一化數(shù)據(jù)按比例拆分為訓練集和測試集（即hold-out法），其中訓練集用于構(gòu)建遺傳進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型，而測試集則用于檢驗訓練后模型的推算性能。（3）利用確定性系數(shù)（R2）、平均絕對百分比誤差（MAPE）、平均絕對誤差（MAE）和均方根誤差（RMSE）等指標[22-24]量化評價進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型于測試集上的表現(xiàn)。若多次性能評價均滿足工程要求，表明所建模型具有初步可用性；反之，需重復步驟（1）—（3），直至模型推算精度達標。（4）根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)和優(yōu)化參數(shù)，經(jīng)推導得到堆石料抗剪強度計算公式，并運用敏感性分析探尋少數(shù)關(guān)鍵因素，以建立一種具有魯棒性的公式簡化應用方法。（5）將所提公式應用于實際工程，通過對比驗證凸顯其優(yōu)越性與實用性。

圖1 研究框架

3 堆石料抗剪強度間接測定模型及實現(xiàn)方法

3.1 堆石料抗剪強度數(shù)學模型堆石作為一種天然材料，其工程特性受巖性、顆粒級配、巖塊微裂隙、巖塊強度等多種因素的影響，致使堆石料抗剪強度間接測定具有相當?shù)膹碗s性。本文將基于上述復雜因素構(gòu)建堆石料抗剪強度間接測定數(shù)學模型。首先，根據(jù)文獻資料確定可用于計算堆石料抗剪強度的影響因素。然后，將影響因素進行分類，一類為可量化因素（如顆粒級配、巖塊強度等），另一類為不可量化因素（如巖性、巖塊微裂隙等）。其次，在收集國內(nèi)外堆石料抗剪強度試驗資料的過程中，試驗數(shù)據(jù)應包含大部分可量化因素，而對于不可量化因素，則應注重試驗數(shù)據(jù)的多樣性和豐富性。以巖性為例，試樣需源自不同巖性的堆石母巖，如砂巖、玄武巖、英安巖、花崗巖等。最后，將堆石料抗剪強度計算問題抽象為數(shù)學模型，該模型由關(guān)鍵因素（自變量）集、最優(yōu)化擬合模型和抗剪強度計算模型等三個部分構(gòu)成。

（1）關(guān)鍵因素集。顆粒級配（GC）、級配和細度模數(shù)（GF）、硬度和強度（RS）、相對密度（RD）和外界荷載（EL）等可量化因素共同構(gòu)成關(guān)鍵因素集。

式中：Dn為特征粒徑；g（Dn）為特征粒徑的派生量；Gm、Fm分別為級配和細度模數(shù)；R、UCS分別為材料硬度和抗壓強度；γ為材料密度；Ns為正應力。

（2）最優(yōu)化擬合模型。將模型參數(shù)限定范圍作為約束條件，構(gòu)建以抗剪強度計算值與實測值的最小誤差為目標函數(shù)的多元非線性擬合模型，從而達到調(diào)優(yōu)參數(shù)的目的。

式中：δ為計算誤差；α為模型參數(shù)。

（3）抗剪強度計算模型。以關(guān)鍵因素為輸入變量，抗剪強度(τ)為輸出變量，基于進化神經(jīng)網(wǎng)絡算法構(gòu)建筑壩堆石料抗剪強度計算模型。

式中：enn(·)為進化神經(jīng)網(wǎng)絡算法；αbest為最優(yōu)模型參數(shù)。

據(jù)此，本文將重點探討典型試驗數(shù)據(jù)庫建立、自變量篩選和進化神經(jīng)網(wǎng)絡構(gòu)建三部分內(nèi)容，從而為推導筑壩堆石料抗剪強度實用計算公式提供必要條件。

3.2 集成客觀賦權(quán)與互信息的綜合性指標（CCI）模型自變量愈多，不代表模型推算精度愈高，自變量間存在高度相關(guān)關(guān)系不僅會使數(shù)學表達式復雜化，還會造成參數(shù)估計失真，故需進行自變量篩選。一般通過相關(guān)性分析剔除顯著相關(guān)變量，其僅利用線性相關(guān)系數(shù)衡量變量（兩自變量、自變量與因變量）間的信息重疊度，既未考慮自變量自身及其之間的固有信息，又忽略了自變量與因變量間的信息傳遞，故極易導致自變量篩選不當。針對上述問題，本文提出一種集成組合客觀賦權(quán)與互信息的綜合性成本型指標（CCI）以合理剔除顯著相關(guān)變量。CRITIC（criteria importance through intercriteria correlation）法[25]可兼顧考慮各自變量間的對比強度和沖突性，并由此綜合確定客觀權(quán)值，但該方法未能慮及自變量間的離散性，熵權(quán)法[26]則可有效彌補這一不足。為進一步將因果關(guān)系融入變量評價準則，利用互信息法[27]改進基于CRITIC法和熵權(quán)法的組合客觀賦權(quán)模型，以全面反映某個自變量在變量體系中的相對重要性。CCI值具體計算步驟如下所述。

（1）步驟1。在熵權(quán)法賦值計算中，采用q個指標對p個對象進行評價，構(gòu)建判斷矩陣并對該矩陣進行標準化處理。其中，xij，xij≥0為判斷矩陣X中任意指標值，且其對應標準化值為由此，求得第j個自變量的信息熵值Ej和熵權(quán)值ej如下：

（2）步驟2。利用CRITIC法計算第j個自變量的客觀權(quán)值cj。

式中：rij為第i個自變量與第j個自變量之間的相關(guān)系數(shù)；σj為第j個自變量的標準差。

（3）步驟3。假設自變量xj與因變量y的聯(lián)合分布為邊緣分布分別為p(xj)和p(y)，互信息mj則為聯(lián)合分布與邊緣分布的相對熵值。

（4）步驟4。通過融合客觀權(quán)值ej和cj以及熵值mj等屬性求得綜合性指標（即CCI值）ωj，且ωj越小，表明該指標提供的有效信息量越大，其重要程度也就越高。

式中：m為權(quán)值（或熵值）的種類個數(shù)，本文選取ej、cj和mj三種權(quán)值（或熵值），故m=3為常數(shù)；Pji為第i種權(quán)值（或熵值）的第j個計算結(jié)果；分別為第i種權(quán)值（或熵值）的最大和最小計算結(jié)果。

3.3 進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型堆石料抗剪強度與其影響因素表現(xiàn)出復雜的映射關(guān)系，欲通過關(guān)鍵因素推算抗剪強度，亟需一種有監(jiān)督的非線性回歸學習算法，神經(jīng)網(wǎng)絡在這方面具有較大的優(yōu)勢。多層感知機是一種按照誤差反向傳播算法訓練的多層前向型神經(jīng)網(wǎng)絡，也是目前應用較為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡[28-30]，其最基本成分為神經(jīng)元模型（見圖2）。研究表明，神經(jīng)網(wǎng)絡存在容易陷入誤差函數(shù)局部極值點以及初始連接權(quán)重和閾值對推算結(jié)果影響較大等問題[31]。為此，本文采用具有全局優(yōu)化性和自適應性的遺傳算法[32-33]（genetic algorithm，GA）對神經(jīng)網(wǎng)絡的初始權(quán)重和閾值進行優(yōu)化，以實現(xiàn)誤差全局最小，從而構(gòu)建出最優(yōu)進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型。該模型的訓練過程簡述如下：（1）確定神經(jīng)網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)、初始權(quán)重和閾值以及遺傳算法初始參數(shù)。（2）定義適應度函數(shù)，并計算個體適應度值。（3）利用輪盤賭法進行選擇和交叉操作，再進行變異操作，并重新計算個體適應度值。（4）重復（2）和（3），直至達到最大迭代次數(shù)或滿足設定誤差要求。（5）將適應度值最小的染色體解碼得到最優(yōu)初始權(quán)重和閾值。（6）運用誤差反向傳播算法進行局部細致搜索，當達到既定收斂精度時，結(jié)束神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練過程。

圖2 M-P神經(jīng)元模型

4 典型試驗數(shù)據(jù)庫

在3.1節(jié)中所建堆石料抗剪強度數(shù)學模型本質(zhì)上是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的間接測定方法，即利用神經(jīng)網(wǎng)絡表達式表征大量試驗數(shù)據(jù)中抗剪強度與其影響因素間的非線性映射關(guān)系，因而所用試驗數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量在很大程度上決定了公式推算精度。本文通過收集165組源自世界各地的堆石料室內(nèi)剪切試驗數(shù)據(jù)[34-46]（為確保試驗數(shù)據(jù)的多樣性，要求顆粒巖性、試樣尺寸等有所區(qū)別）建立起典型數(shù)據(jù)庫，將13個關(guān)鍵因素（包括特征粒徑及其派生量、級配和細度模數(shù)等）作為公式自變量，因變量即為堆石料抗剪強度。數(shù)據(jù)庫中全部變量名稱、符號、單位和統(tǒng)計信息匯總于表1。

表1 試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計信息

4.1 關(guān)鍵因素分析將影響堆石料抗剪強度特性的13個關(guān)鍵因素細分為堆石料級配、級配和細度模數(shù)、硬度和強度、材料密度以及正應力五類，并說明選取其作為公式自變量的緣由。

（1）堆石料級配。已有研究[47]證實，堆石料粒徑級配會影響抗剪強度測定結(jié)果。不過，其具體影響規(guī)律，至今仍未有統(tǒng)一定論。由于原位顆粒尺寸過大，實際操作中常用級配縮尺來表征，本文亦是如此。除選用特征粒徑D10、D30、D60和D90外，還加入曲率系數(shù)Cc和不均勻系數(shù)Cu兩個級配派生量。

（2）級配和細度模數(shù)。細度模數(shù)Fm是表征堆石料粒徑的粗細程度及類別的指標，F(xiàn)m值越大，表示顆粒越粗。與Fm類似，級配模數(shù)Gm也是根據(jù)顆粒篩分結(jié)果計算而得的，Gm值越大，表示堆石料中細顆粒含量越高。

（3）硬度和強度。在高約束條件下，材料硬度會對顆粒膨脹性產(chǎn)生影響，采用國際巖石力學與巖石工程學會（簡稱ISRM）規(guī)定的硬度等級[48]R作為衡量指標。此外，增添堆石料單軸抗壓強度試驗數(shù)據(jù)（單軸抗壓強度試驗所用試件均為自然含水狀態(tài)，并非飽和含水狀態(tài)）中最小抗壓強度值UCSmin和最大抗壓強度值UCSmax作為自變量。

（4）材料密度。一般而言，堆石料抗剪強度會隨著材料密度γ的增加而增加。材料密度越大，顆粒間的相互作用越顯著，抗剪強度也就越大。在大尺度三軸試驗過程中，通常需要控制相對密度。

（5）正應力。外界約束對堆石料抗剪強度的影響已被眾多研究[49]所證明。一般認為，隨著正應力Ns的增大，顆粒破碎程度得以提高，膨脹效應逐漸消散，摩擦角顯著減小，抗剪強度隨之降低。

4.2 自變量篩選在構(gòu)建進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型前，利用相關(guān)性分析和CCI值校核各個因素的必要性。為檢驗多因素間的線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)對13個自變量進行Pearson相關(guān)性分析，分析結(jié)果以相關(guān)系數(shù)矩陣圖（圖3）的形式展示。由圖3可知，3組變量的相關(guān)系數(shù)絕對值超過0.9，分別為D10和D30（0.97）、Gm和Fm（-0.96）以及UCSmin和UCSmax（0.94）。為減小自變量間顯著相關(guān)性對公式推算精度的影響，利用3.2節(jié)方法對全部變量進行重要性評價，各變量的熵權(quán)值、CRITIC權(quán)值、互信息以及CCI值見表2。從表2可以看出，上述3組變量組內(nèi)CCI值按大小排序分別為D30＞D10、Fm＞Gm和UCSmin＞UCSmax。因此，將D30、Fm和UCSmin3個冗余變量剔除，最終留存10個關(guān)鍵因素（包含D10、D60、D90、Cc、Cu、Gm、R、UCSmax、γ和Ns）作為公式（或模型）自變量。而后，對所有變量進行歸一化處理，并將165組試驗數(shù)據(jù)按8∶2的比例隨機拆分為訓練集和測試集，其中132組數(shù)據(jù)用來訓練進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型，剩余33組數(shù)據(jù)則用于評估其推算性能。

圖3 Pearson相關(guān)性分析結(jié)果

表2 各變量的熵權(quán)值、CRITIC權(quán)值、互信息和CCI值

5 堆石料抗剪強度實用計算公式推導

5.1 模型拓撲結(jié)構(gòu)確定當確定自變量和訓練集后，輸入層和輸出層節(jié)點數(shù)隨之固定，此時首要問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿绾蝺?yōu)化隱含層數(shù)和隱含層節(jié)點數(shù)。理論上已經(jīng)證明，具有一個隱含層的三層神經(jīng)網(wǎng)絡可以逼近任意非線性函數(shù)[50]，故優(yōu)先考慮單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡。一般認為，隱含層節(jié)點數(shù)過少，難以擬合復雜映射關(guān)系；反之，網(wǎng)絡訓練時間增加，且容易出現(xiàn)“過擬合”現(xiàn)象。本文采用試湊法優(yōu)化隱含層節(jié)點數(shù)，先根據(jù)經(jīng)驗公式[51]選定隱含層節(jié)點數(shù)范圍為3≤L≤20，L∈?，后在該范圍內(nèi)逐步增加節(jié)點數(shù)以尋求對應最佳擬合效果的節(jié)點數(shù)。具體來說，對每個既定節(jié)點數(shù)分別進行10次訓練，同時保存訓練、測試和總體R2值，剔除對應最小和次小R2值的推算結(jié)果，取剩余8次結(jié)果求平均R2值，并將其記錄于圖4中。由圖可知，當隱含層數(shù)為5、9、11、15和20時，3種R2值均為98%左右。依據(jù)“在滿足精度要求的前提下取盡可能緊湊的結(jié)構(gòu)，即取盡可能少的隱含層節(jié)點數(shù)”這一原則，最終確定隱含層節(jié)點數(shù)為5，即單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)為10-5-1。

圖4 確定性系數(shù)與隱含層節(jié)點數(shù)的關(guān)系

圖5 平均適應度曲線

5.2 進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型構(gòu)建根據(jù)5.1節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)，設置遺傳算法初始參數(shù)：最大進化代數(shù)取100，種群個數(shù)取50，交叉概率和變異概率的取值分別為0.3和0.1，染色體長度取(1 0+1)×5+(5 +1)×1=61，并將適應度函數(shù)定義為其中M為訓練樣本數(shù)，yi和分別為訓練樣本中第i個實測值和對應推算值。此外，設定神經(jīng)網(wǎng)絡最大訓練次數(shù)、學習率和訓練要求精度分別為100、0.1和0.000 01，其訓練方法則采用Levenberg-Marquardt算法[52]。利用遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡初始權(quán)重和閾值，平均適應度曲線見圖5。由圖5可知，學習過程收斂速度較快，大約經(jīng)過25次進化即可尋得最優(yōu)解，此時平均適應度趨近平穩(wěn)。將優(yōu)化所得權(quán)重和閾值賦予對應網(wǎng)絡參數(shù)，并采用誤差反向傳播算法繼續(xù)訓練網(wǎng)絡。訓練過程徹底結(jié)束后，利用測試樣本評估進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型，以凸顯其良好推算性能。

對全部數(shù)據(jù)進行反歸一化處理，并將訓練集和測試集中實測值與推算值線性擬合效果繪制于圖6中。從圖中6可以看出，模型訓練和測試R2值均大于0.9，且兩者差距較小。此外，對于少數(shù)抗剪強度大于1.5 MPa的數(shù)據(jù)點（僅占總數(shù)據(jù)量的10%左右），模型訓練和測試效果亦較佳，可見所建模型具有較好的泛化能力。為準確描述所得模型性能，采用統(tǒng)計指標對推算結(jié)果進行量化評價，評價結(jié)果見表3。由表3可知，模型訓練和測試效果較為接近，說明模型推算未出現(xiàn)“過/欠擬合”現(xiàn)象。

圖6 堆石料抗剪強度實測值與推算值線性擬合關(guān)系

5.3 計算公式推導將5.2節(jié)中進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型拓撲結(jié)構(gòu)繪制于圖7中，網(wǎng)絡隱含層和輸出層傳遞函數(shù)分別采用雙曲正切Sigmoid函數(shù)（用tansig(·)表示）和線性函數(shù)（用purelin(·)表示），各層閾值和層間連接權(quán)重匯總于表4。為確保進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型公式化的同時不降低其推算精度，結(jié)合圖7，根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡理論[53]推導得到如下神經(jīng)網(wǎng)絡數(shù)學表達式：

式中：Ok=16為因變量堆石料抗剪強度；Ii為第i個自變量；ftansig、fpurelin分別為隱含層和輸出層的傳遞函數(shù)；θj、θk分別為第j個隱含層節(jié)點和第k個輸出層節(jié)點的閾值；wij、wjk分別為第i個輸入層節(jié)點與第j個隱含層節(jié)點之間的連接權(quán)重和第j個隱含層節(jié)點與第k個輸出層節(jié)點之間的連接權(quán)重。

表3 模型性能量化評價

表4 進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型各層閾值和層間連接權(quán)重

圖7 進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型結(jié)構(gòu)

為便于工程應用，特將式（10）變換為：

通過提取網(wǎng)絡連接權(quán)重和閾值（見表4）并將其代入式（11），即可獲得拓撲結(jié)構(gòu)為10-5-1的單隱含層進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型的對應表達式，即筑壩堆石料抗剪強度實用計算公式：

需要注意的是，使用式（12）需對全部數(shù)據(jù)進行歸一化與反歸一化操作。

5.4 實用公式簡化相較于進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型，堆石料抗剪強度實用計算公式應用更為方便，且推算精度相仿。然而，工程現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)繁雜，容易出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失或逸出等情況，故完成多達10種堆石料特性（自變量）的準確測定難度較高，如何減少自變量個數(shù)同時避免推算精度下降較大便成為工程應用中亟待解決的問題。為此，通過敏感性分析量化各個變量影響堆石料抗剪強度的顯著程度，提出一種堆石料抗剪強度實用計算公式簡化應用方法。

堆石料抗剪強度計算公式是由神經(jīng)網(wǎng)絡模型推導而得的，為使敏感性分析結(jié)果更為可靠，需尋求一種與神經(jīng)網(wǎng)絡訓練過程密切相關(guān)的多因素敏感性分析方法。由5.2節(jié)可知，不斷調(diào)整的連接權(quán)重大小可反映自變量對因變量的影響程度，確定輸入層至輸出層間的權(quán)重分布情況，即可確定各個自變量的主次關(guān)系。改進Garson算法[54]是基于網(wǎng)絡連接權(quán)重的敏感性分析方法的一個代表，其利用連接權(quán)重的乘積計算各個自變量對因變量的貢獻值sik，公式如下：

式中：N為輸入層節(jié)點數(shù)；L為隱含層節(jié)點數(shù)；k=1，2，…，M，其中M為輸出層節(jié)點數(shù)；sik為自變量對因變量的敏感度表征，sik值越大，敏感性越顯著。

結(jié)合表4中進化神經(jīng)網(wǎng)絡模型層間連接權(quán)重，利用改進Garson算法對全部自變量進行敏感性分析，結(jié)果如圖8所示。由圖8可知，在影響堆石料抗剪強度的10個關(guān)鍵因素中，Ns、D10和D90最為顯著，Cu、Gm、R和UCSmax次之，D60、Cc和γ最小。sik值排序前6的自變量的貢獻率大于0.8，故選取Ns、D10、D90、Cu、Gm和R作為簡化公式（或模型）的自變量。遵照5.1節(jié)所述方法，確定簡化單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡模型拓撲結(jié)構(gòu)為6-2-1。依據(jù)5.2節(jié)建模流程，構(gòu)建出簡化神經(jīng)網(wǎng)絡模型，其各層閾值和層間連接權(quán)重見表5，推算性能量化評價結(jié)果見表6。對比表3和表6可以看出，各項統(tǒng)計指標差距較小，說明刪減自變量后的簡化神經(jīng)網(wǎng)絡模型推算性能仍與原模型相近。

根據(jù)5.3節(jié)推導步驟，將表5中數(shù)據(jù)代入式（11），即可獲得筑壩堆石料抗剪強度簡化計算公式：

表5 簡化神經(jīng)網(wǎng)絡模型各層閾值和層間連接權(quán)重

表6 簡化模型性能量化評價

表7 工程試驗數(shù)據(jù)匯總

6 工程實例驗證

基于上述推導結(jié)果，以獨立于訓練集的工程實測數(shù)據(jù)為例，對式（12）和式（14）進行穩(wěn)定性和準確性驗證，旨在通過此實例說明所提計算公式及其簡化應用方法在堆石料抗剪強度推算方面的優(yōu)

圖8 敏感性分析結(jié)果

6.2 準確性驗證基于6.1節(jié)所述仿真試驗，利用R2、MAPE、MAE和RMSE等統(tǒng)計指標對10次推算結(jié)果分別進行準確性量化評估，并將每個指標的10次計算結(jié)果取平均數(shù)作為最終評判標準，其結(jié)果示于圖9中。由圖9可知，兩公式對應4個指標數(shù)值點圍成的圖形的重疊區(qū)域較大，說明兩公式對9組試驗測得抗剪強度的總體推算精度大致相當。與穩(wěn)定性驗證結(jié)果類似，式（12）的推算準確性亦較佳。綜上，實際工程應用中，倘若試驗條件相對完備，獲取堆石料特性信息較多，建議使用式（12）推算試樣抗剪強度；反之，則推薦選用所需材料特性信息較少的式（14）對試樣抗剪強度進行估算。

表8 公式推算穩(wěn)定性量化評價結(jié)果

圖9 式（12）與式（14）推算準確性對比結(jié)果

7 結(jié)論

本文基于進化神經(jīng)網(wǎng)絡算法提出了一種筑壩堆石料抗剪強度實用計算公式及其簡化應用方法，所提公式可利用D10、D60、D90、Cc、Cu、Gm、R、UCSmax、γ和Ns等10個關(guān)鍵因素準確推算堆石料抗剪強度，具有較好的實用價值。本文主要研究結(jié)論總結(jié)如下：（1）堆石料抗剪強度試驗數(shù)據(jù)的多樣性是開發(fā)數(shù)學模型的基礎(chǔ)，建立典型室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)庫有助于構(gòu)建適用范圍較廣的筑壩堆石料抗剪強度實用計算公式。（2）利用Pearson相關(guān)系數(shù)和CCI值對多因素進行相關(guān)性和冗余性校核，以此達到合理勢。為探討某工程所用堆石料的抗剪強度特性，Indraratna等[55]選用當?shù)匦鋷r制備諸多試樣進行室內(nèi)大型三軸壓縮試驗，部分試樣特性及其試驗結(jié)果匯總于表7。

6.1 穩(wěn)定性驗證神經(jīng)網(wǎng)絡初始權(quán)重和閾值的隨機性導致式（12）和式（14）每次計算結(jié)果不盡相同，因此有必要對所提公式的穩(wěn)定性進行驗證。現(xiàn)將各自所需變量數(shù)值（見表7）代入式（12）和式（14），兩者分別進行10次推算，并采用標準差和變異系數(shù)評價9組試驗對應抗剪強度推算結(jié)果的離散程度，量化評價結(jié)果見表8。從表8可以看出，兩公式對每組試驗測得抗剪強度的多次推算結(jié)果波動均較小，通過對比分析進一步表明具有更多自變量的式（12）的穩(wěn)定性表現(xiàn)更為突出。剔除顯著相關(guān)變量的目的。（3）所提公式在測試樣本和工程實例中推算性能較為突出，表明神經(jīng)網(wǎng)絡可以充分逼近堆石料抗剪強度與其影響因素間的復雜非線性關(guān)系，且遺傳算法能夠有效優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡初始連接權(quán)重和閾值。（4）改進Garson算法能夠合理量化各個因素對堆石料抗剪強度的敏感程度，對解決測試數(shù)據(jù)缺失或逸出等實際問題起到一定的幫助作用。（5）實用計算公式及其簡化應用方法易于實現(xiàn)手工計算和電子表格自動運算，為推算筑壩堆石料抗剪強度提供了一種簡便工具，從而能夠促進其在實際工程中的應用和發(fā)展。

此外，開發(fā)該實用公式的主要目的是為了提高積累試驗數(shù)據(jù)利用率和減少部分重復性測試工作，并非完全取代室內(nèi)或原位剪切試驗。目前該方法還存在大粒徑堆石料試驗數(shù)據(jù)資料較少、公式自變量代表性不足、公式推導未考慮區(qū)分軟硬巖等方面的問題。鑒于這類機器學習方法的優(yōu)勢在于大數(shù)據(jù)分析，后續(xù)將結(jié)合更多室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)和實際工程應用開展進一步研究與提升。