研究一棵樹，思考整座森林

賀麗珍/北京一零一中教師，北京海淀區(qū)數(shù)學(xué)骨干教師

數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用。但數(shù)學(xué)教學(xué)不等于解題教學(xué)。數(shù)學(xué)教育的最終目標(biāo)，不僅是使學(xué)生得到高分，更讓學(xué)生學(xué)會(huì)：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。

學(xué)生是在教師的喚醒和激發(fā)下不斷發(fā)展、成長(zhǎng)的，師生在生態(tài)課堂環(huán)境中，不斷地創(chuàng)造自我、發(fā)展生命。因此，我的教學(xué)觀是：通過(guò)研究一棵樹，思考整座森林。孤立知識(shí)點(diǎn)和問(wèn)題的教學(xué)，好比一棵棵樹。為此，進(jìn)行單元教學(xué)，通過(guò)研究一個(gè)個(gè)問(wèn)題，來(lái)發(fā)現(xiàn)整體規(guī)律，讓學(xué)生整體把握課程內(nèi)容和知識(shí)體系，從而把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，思考“整座森林”。本文以高三函數(shù)綜合復(fù)習(xí)課為例，闡述如何“通過(guò)研究一棵樹，思考整座森林”。

教師心中有“森林”

首先，教師對(duì)問(wèn)題涉及到的核心概念和知識(shí)邏輯要有深層次把握。教師要把握函數(shù)思想放在整個(gè)高中學(xué)段的地位，掌握函數(shù)與方程、不等式等內(nèi)容的聯(lián)系，研究函數(shù)綜合問(wèn)題解決的思維框架，即：基于函數(shù)概念，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象逐步深入地研究一類新函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問(wèn)題。更要明確：解決函數(shù)綜合問(wèn)題不在于解一道題，更是在于探究一類新函數(shù)的性質(zhì)。

其次，教師整體設(shè)計(jì)“函數(shù)綜合問(wèn)題”的單元教學(xué)（見圖1）。經(jīng)歷問(wèn)題引領(lǐng)、問(wèn)題梳理、自主歸納三個(gè)層次，思維逐步提升。本節(jié)課（第6課時(shí)）是在問(wèn)題梳理階段。

第三，教師把握學(xué)生思維障礙點(diǎn)，從而設(shè)計(jì)教學(xué)。經(jīng)過(guò)“問(wèn)題引領(lǐng)階段”的學(xué)習(xí)，總結(jié)學(xué)生思維障礙點(diǎn)：學(xué)生遇到函數(shù)綜合題還是機(jī)械求導(dǎo)，之后無(wú)從下手。原因是遇到方程、不等式問(wèn)題，容易陷到暴力運(yùn)算中，不能靈活地從函數(shù)、方程、不等式相互轉(zhuǎn)化的角度解決問(wèn)題。因此本節(jié)課選取了這道題：

圖1

此問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，能充分暴露上述學(xué)生的思維障礙；這道題的實(shí)質(zhì)是：研究方程有兩個(gè)不同實(shí)根的情況下，判斷兩個(gè)實(shí)根間距與的大小關(guān)系。可構(gòu)建不同的函數(shù)從多種角度解決問(wèn)題，但都是把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題、把函數(shù)自變量的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系的比較，實(shí)質(zhì)相同，都是基于對(duì)函數(shù)概念的理解，可以通過(guò)研究這道題，提煉解決函數(shù)綜合問(wèn)題的思維方法；可基于本題提出創(chuàng)新性問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造、遷移。

通過(guò)研究一棵樹，思考整座森林

（一）基礎(chǔ)應(yīng)用，開啟思維

（二）問(wèn)題分解，思維突破

這個(gè)環(huán)節(jié)是整節(jié)課的核心，即“如何研究一棵樹”。首先分析條件：結(jié)合性質(zhì)和直觀圖象，繼續(xù)深入研究方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根以及的幾何和代數(shù)特征，分別用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言來(lái)重述問(wèn)題，不等式轉(zhuǎn)化為證明。學(xué)生提出證明方法，師生分析：需要借助函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究，自變量的值的大小關(guān)系通過(guò)函數(shù)值的大小關(guān)系來(lái)比較.在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較。與的大小，即與的大小。

以上過(guò)程是“研究一棵樹”：基于學(xué)生已有基礎(chǔ)和思維障礙，邏輯連貫，難點(diǎn)突破，注重核心知識(shí)方法。接下來(lái)，教師鼓勵(lì)學(xué)生提出其他方法，并且對(duì)兩種方法進(jìn)行分析。學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種方法雖然構(gòu)造的函數(shù)不同，但本質(zhì)都是通過(guò)恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上通過(guò)比較函數(shù)值的大小得到自變量值的大小關(guān)系”。師生共同尋找解決函數(shù)問(wèn)題一般方法，探究解決函數(shù)問(wèn)題的思維框架。對(duì)于學(xué)生提出的其他方法，要給予充分肯定。因?yàn)閷W(xué)生的問(wèn)題，反映了思維的多樣性，實(shí)現(xiàn)了“通過(guò)研究一棵樹，而思考了多棵樹”。

（三）創(chuàng)新探究，提升思維

圖2

（四）歸納總結(jié)，發(fā)展素養(yǎng)

這個(gè)階段是本節(jié)課的升華階段，即“通過(guò)研究一棵樹，到多棵樹，到整座森林”。師生共同探索函數(shù)綜合問(wèn)題解決的思維框架（見圖2）：基于函數(shù)的概念，并以代數(shù)運(yùn)算與函數(shù)圖象為手段，以及如何提出新問(wèn)題并進(jìn)行研究。函數(shù)圖象能夠直觀形象地表示出函數(shù)的變化狀態(tài)，邏輯推理和代數(shù)運(yùn)算保證了嚴(yán)謹(jǐn)性。 學(xué)生掌握了研究“整座森林”的思維方法，反過(guò)來(lái)對(duì)于其他的“樹”，就可以了然于胸。

（五）自主歸納，創(chuàng)造自己的森林

本單元最后一個(gè)階段是學(xué)生自主歸納，建構(gòu)自己的知識(shí)方法體系，創(chuàng)造自己的“森林”。

在復(fù)習(xí)過(guò)程中，我嘗試創(chuàng)新復(fù)習(xí)方法，讓學(xué)生原創(chuàng)、改編問(wèn)題，創(chuàng)作自己的試卷，有的非常精彩，也有的是錯(cuò)題，但都非常有價(jià)值。同學(xué)之間交流討論非常熱烈，收獲也很大。

《函數(shù)綜合復(fù)習(xí)》這一案例，從一道題的一個(gè)小問(wèn)開始進(jìn)行探討和研究，學(xué)生在經(jīng)歷分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)、恰當(dāng)構(gòu)建函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)、解決問(wèn)題的過(guò)程中，感悟研究函數(shù)問(wèn)題的基本思維框架，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)整體把握函數(shù)的圖象和性質(zhì)。教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究、總結(jié)、歸納和創(chuàng)造，注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力。“通過(guò)研究一棵樹，去思考整座森林”就是這樣實(shí)現(xiàn)的，在此過(guò)程中，學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)得到充分的發(fā)展。

反思與改進(jìn)

以上案例雖然在教學(xué)設(shè)計(jì)、錄課、說(shuō)課方面均獲得了市、區(qū)級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，但我并不滿意。為什么學(xué)生到高三了還不能將不等式和函數(shù)問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)化？我進(jìn)行了深刻反思：解決函數(shù)綜合問(wèn)題的能力能不能在高一、高二的新授課階段就逐漸形成？在新一輪課堂教學(xué)中，我進(jìn)行了改進(jìn)和創(chuàng)新。

例如，在《不等式與不等關(guān)系》新課教學(xué)中，我的設(shè)計(jì)思想主要抓住“用函數(shù)的觀點(diǎn)看不等式”，即從新課開始學(xué)生就“通過(guò)研究一棵樹，思考整座森林”。

我將生活中的現(xiàn)象“加一勺糖，糖水更甜了”抽象為“糖水不等式”，并證明此不等式。接著，引導(dǎo)學(xué)生思考：“隨著糖的增加，糖水越甜”，實(shí)質(zhì)上是判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性。把“加糖糖水變甜”這個(gè)糖水不等式看作函數(shù)，把定量問(wèn)題看作變量問(wèn)題，用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題。

學(xué)生進(jìn)行深入思考，知識(shí)上承前啟后，方法上復(fù)習(xí)鞏固，思維上逐步提升，感受到函數(shù)與不等式的密切聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，從而發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。反思我們的教學(xué)，基本的學(xué)科觀點(diǎn)、思維的發(fā)展應(yīng)該在高一、高二新授課階段就應(yīng)得以逐漸形成。