高考數學全國I卷第20題概率與統計備考指南

陳海營

題型一：離散型隨機變量的期望

主要是通過互斥事件、相互獨立事件、二項分布、超幾何分布來考查離散型隨機變量的分布列、期望的求法及應用。

例1 某水泥廠銷售工作人員根據以往該廠的銷售情況，繪制了該廠日銷售量的頻率分布直方圖，如圖1所示，將日銷售量落人各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立。

（1）求未來3天內，連續2天日銷售量不低于8噸，另一天日銷售量低于8噸的概率;

（2）用X表示未來3天內日銷售量不低于8噸的天數，求隨機變量X的分布列、數學期望與方差。

例2 2015年11月27日至28日，中共中央扶貧開發工作會議在北京召開，為確保到2020年所有貧困地區和貧困人口一道邁入全面小康社會。黃山市深入學習貫徹習近平總書記關于扶貧開發工作的重要論述及系列指示精神，認真落實省委、省政府一系列決策部署，精準扶貧、精準施策，各項政策措施落到實處，脫貧攻堅各項工作順利推進，成效明顯。貧困戶楊老漢就是扶貧政策受益人之一。據了解，為了幫助楊老漢早日脫貧，負責楊老漢家的扶貧隊長、扶貧副隊長和幫扶責任人經常到他家走訪，其中扶貧隊長每天到楊老漢家走訪的概率為1/4，扶貧副隊長每天到楊老漢家走訪的概率為1/3，幫扶責任人每天到楊老漢家走訪的概率為1/2。

（1）求幫扶責任人連續四天到楊老漢家走訪的概率。

（2）設扶貧隊長、副隊長、幫扶責任人三人某天到楊老漢家走訪的人數為X，求X的分布列。

（3）楊老漢對三位幫扶人員非常滿意，他對別人說：“他家平均每天至少有1人走訪”。

例3 2017年4月1日，國家在河北省白洋淀以北的雄縣、容城、安新3縣設立雄安新區，這是繼深圳經濟特區和上海浦東新區之后又一具有全國意義的新區，是千年大計、國家大事。多家央企為了配合國家戰略支持雄安新區建設，紛紛申請在新區建立分公司。若規定每家央企只能在雄縣、容城、安新3個片區中的一個片區設立分公司，且申請其中任一個片區設立分公司都是等可能的，每家央企選擇哪個片區相互之間互不影響且必須在其中一個片區建立分公司。向雄安新區申請建立分公司的任意4家央企中：

（1）求恰有2家央企申請在“雄縣”片區建立分公司的概率;

（2）用X表示這4家央企中在“雄縣”片區建立分公司的個數，用y表示在“容城”或“安新”片區建立分公司的個數，記ξ=IX-Yl，求ξ的分布列。

例4 2017年8月8日晚，我國四川九寨溝發生了7.O級地震，為了解與掌握一些基本的地震安全防護知識，某小學在9月份開學初對全校學生進行了為期一周的知識講座，事后并進行了測試（滿分100分），根據測試成績評定為“合格”（60分以上包含60分）、“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”定為10分，“不合格”定為5分。現隨機抽取部分學生的答卷，統計結果如表4，對應的頻率分布直方圖如圖2所示。

（l）求a，b，c的值。

（2）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談，現再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為ξ，求ξ的分布列及數學期望E（ξ）。

（3）設函數，f（ξ）=E（ξ）/D（ξ）（其中D（ξ）表示ξ的方差）是評估安全教育方案成效的一種模擬函數。當f （ξ）≥2.5時，認定教育方案是有效的;否則，認定教育方案應需調整。試以此函數為參考依據，在（2）的條件下，判斷該校是否應調整安全教育方案？

故可以認為該校的安全教育方案是無效的，需要調整安全教育方案。

例5 甲乙兩名同學參加定點投籃測試，已知兩人投中的概率分別是1/2和2/3，假設兩人投籃結果相互沒有影響，每人各次投球是否投中也沒有影響。

（1）若每人投球3次（必須投完），投中2次或2次以上，記為達標，求甲達標的概率;

（2）若每人有4次投球機會，如果連續兩次投中，則記為達標。達標或能斷定不達標，則終止投籃。記乙本次測試投球的次數為X，求X的分布列和數學期望E（X）。

例6計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年人流量X（年人流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方米）都在40以上。其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年。將年人流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年人流量相互獨立。

（1）求在未來4年中，至多1年的年人流量超過120的概率。

（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年人流量X的限制，并有表7中的關系：

若某臺發電機運行，則該臺發電機年利潤為5 000萬元;若某臺發電機未運行，則該臺發電機年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？

（2）記水電站年總利潤為Y（單位：萬元），由于水庫年人流量總大于40，所以至少安裝1臺。

①安裝1臺發電機的情形：由于水庫年人流量總大于40，所以1臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤Y=5 000，E（Y）=5 000×l=5 000。

②安裝2臺發電機的情形：當40

當X≥80時，2臺發電機運行，此時Y=5 000×2 = 10 000，因此P（Y= 10 000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8。

所以Y的分布列如表8：

所以E（Y） =4 200×0.2+10 000×0.8=8 840。

③安裝3臺發電機的情形：

當40

當80≤X≤120時，2臺發電機運行，此時Y=5 000×2- 800=9 200，因此P（Y=9 200）=P（80≤X≤120）=P2=0.7.

當X>120時，3臺發電機運行，此時y一5 000×3=15 000，因此P（Y= 15 000）一P（X>120）=P3=0.1。

所以Y的分布列為表9：

故E（Y） =3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0. 1=8 620。

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝2臺發電機。

例7 某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過1 kg的包裹收費10元;重量超過1 kg的包裹，除1 kg收費10元之外，超過1 kg的部分，每超出1 kg（不足1 kg，按1 kg計算）需再收5元。該公司將最近承攬的100件包裹的重量統計如表10：

公司對近60天每天攬件數量統計如表ll：

以上數據已做近似處理，并將頻率視為概率。

（l）計算該公司未來3天內恰有2天攬件數在101-400之間的概率。

（2）①估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值。

②公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用。目前，前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，工資100元。公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后公司每日利潤的數學期望，判斷裁員是否對提高公司利潤更有利。

②根據題意及①知，攬件數每增加1，可使前臺工資和公司利潤增加15×1/3=5（元），將題目中的天數轉化為頻率，得表13：

若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數情況如表14：

故公司平均每日利潤的期望值為260×5-3×100=1 000（元）。

若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數情況如表15：

故公司平均每日利潤的期望值為235×5-2×100=975（元）。

因975<1 000，故公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利。

題型二：回歸分析與概率、統計的交匯問題

主要考查統計圖表的數據分析、線性回歸方程的求解與應用。

例8 某醫療科研項目組對5只實驗小白鼠體內的A，B兩項指標數據進行收集和分析，得到的數據如表16：

（1）若通過數據分析，得知A項指標數據與B項指標數據具有線性相關關系。試根據表16，求B項指標數據y關于A項指標數據z的線性回歸方程y=bx十a。

（2）現要從這5只小白鼠中隨機抽取3只，求其中至少有1只的B項指標數據高于3的概率。

例9 某地電影院為了了解當地影迷對快要上映的一部電影的票價的看法，進行了一次調研，得到了票價x（單位：元）與渴望觀影人數y（單位：萬人）的結果，如表17：

（1）若y與z具有較強的相關關系，試分析y與x之間是正相關還是負相關;

（2）請根據表17提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程;

（3）根據（2）中求出的線性回歸方程，預測票價定為多少元時，能獲得最大票房收入。

例10 隨著移動互聯網的快速發展，基于互聯網的共享單車應運而生。某市場研究人員為了解共享單車運營公司M的經營狀況，對該公司最近六個月內的市場占有率進行了統計，并繪制了相應的折線圖（圖3）。

（1）由折線圖得，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y（%）與月份代碼x之間的關系。求y關于x的線性回歸方程，并預測M公司2017年4月份（即x=7時）的市場占有率。

（2）為進一步擴大市場，公司擬再采購一批單車。現有采購成本分別為1 000元/輛和1 200元/輛的A、B兩款車型可供選擇，按規定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因（如騎行頻率等）會導致車輛報廢年限各不相同。考慮到公司運營的經濟效益，該公司決定先對兩款車型的單車各100輛進行科學模擬測試，得到兩款單車使用壽命頻數表見表18。

經測算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元。不考慮除采購成本之外的其他成本，假設每輛單車的使用壽命都是整年，且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率。如果你是M公司的負責人，以每輛單車產生利潤的期望值為決策依據，你會選擇采購哪款車型？當x=7時，y=2×7+9=23，故M公司2017年4月份的市場占有率預計為23%。

（2）由頻率估計概率，每輛A款車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.2、0. 35、0.35和0.1，所以每輛A款車可產生的利潤期望值為E（ξ1）=（500-1 000）×0.2+（1 000- 1000）×0.35+（1 500-1 000）×0. 35+（2 000-1 000）×0.1=175（元）。

頻率估計概率，每輛B款車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.1、0.3、0.4和0.2，所以每輛B款車可產生的利潤期望值為E （ξ2）=（500 -1 200）×0.l+（1 000-1 200）×0.3+（1 500 -1 200）×0. 4+（2 000 -1 200）×0.2=150（元），因為E（ξ1）>E（ξ2），所以應該采購A款單車。

題型三：獨立性檢驗與概率、統計的交匯問題

主要考查抽樣方法、隨機事件、古典概型、頻率分布直方圖或莖葉圖的應用，以及K 2的計算與應用。

例11 某工廠有25周歲以上（含25周歲）的工人300名，25周歲以下的工人200名。為了研究工人的日平均生產件數是否與年齡有關，現采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統計了他們某月的日平均生產件數，然后按工人年齡“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產件數分成5組：[50，60），1 60， 70），[70， 80），[80， 90），[90， 100]，分別加以統計，得到如圖4所示的頻率分布直方圖。

（1）根據“25周歲以上（含25周歲）組”的頻率分布直方圖，求25周歲以上（含25周歲）組工人日平均生產件數的中位數的估計值（四舍五入保留整數）;

（2）從樣本中日平均生產件數不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率;

（3）規定日平均生產件數不少于80的工人為生產能手，請你根據已知條件完成2×2列聯表（表19），并判斷是否有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”？

綜上，沒有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”。

例12 當今信息時代，眾多高中生也配上了手機，某校為研究經常使用手機是否對學習成績有影響，隨機抽取高三年級50名理科生的一次數學周練成績，用莖葉圖表示，如圖5（記60分為及格）：

（l）根據莖葉圖中數據完成表22所示的2×2列聯表，并判斷是否有95%的把握認為經常使用手機對學習成績有影響？

（2）從50人中，選取一名很少使用手機

例13為推行“新課堂”教學法，某化學老師分別用傳統教學和“新課堂”兩種不同的教學方式，在甲、乙兩個平行班級進行教學實驗。為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統計，結果如表26，記成績不低于70分者為“成績優良”。

（1）由以上統計數據填寫表27所示的2×2列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0. 025的前提下認為“成績優良與教學方式有關”？

（2）現從上述40人中，學校按成績是否優良采用分層抽樣的方法抽取8人進行考核。在這8人中，記成績不優良的乙班人數為X，求X的分布列及數學期望。

解析：（1）由統計數據得2×2列聯表，如表29所示：

題型四：正態分布

主要通過正態分布、二項分布的概念和性質，概率的計算及數學期望的求法來考查綜合應用能力。

例14從某技術公司開發的某種產品中隨機抽取200件，測量這些產品的一項質量指標值（記為Z），由測量結果得如圖6所示的頻率分布直方圖。

（1）公司規定：當Z≥95時，產品為正品;當Z< 95時，產品為次品。公司每生產一件這種產品，若是正品，則盈利90元;若是次品，則虧損30元。記ξ為生產一件這種產品的利潤，求隨機變量ξ的分布列和數學期望。

（2）由頻率分布直方圖可以認為，Z服從正態分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數x，σ2近似為樣本方差52（同一組中的數據用該區間的中點值作代表）。

①求P （87. 8

②某客戶從該公司購買了500件這種產品，記X表示這500件產品中該項質量指標值位于區間（87.8，112.2）內的產品件數，利用①的結果，求E（X）。

例15在創建“全國文明衛生城”過程中，某市“創城辦”為了調查市民對創城工作的了解情況，進行了一次創城知識問卷調查（一位市民只能參加一次），通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的100人的得分統計結果如表32所示：

（1）由頻數分布表可以大致認為，此次問卷調查的得分Z-N（μ，198），μ近似為這100人得分的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表），利用該正態分布，求P（38. 2

（2）在（l）的條件下，“創城辦”為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：

①得分不低于μ的可以獲贈2次隨機話費，得分低于μ的可以獲贈1次隨機話費;

②每次獲贈的隨機話費和對應的概率如表33表示：

題型五：概率與用樣本估計總體的交匯問題

主要考查隨機事件的概率、古典概型、頻率分布直方圖、莖葉圖等的應用。

例16某研究性學習小組在某公路服務區內，從小型汽車中按進服務區順序的先后，每隔5輛就抽取1輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行車速調查，將車速（單位：krn/h）分成六段：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]。統計后得到如圖7所示的頻率分布直方圖。

（1）研究性學習小組用到的抽樣方法是____;

（2）若從車速在[80，90）內的車輛中任意抽取3輛，求車速在[80，85）和[85，90）內的車輛均被抽取的概率;

（3）若從車速在[70，80）內的車輛中任意抽取3輛，求車速在[75，80）內的車輛數的數學期望。

解析：（l）系統抽樣。

（2）車速在[80，90）內的車輛共有（o.2+0.3）×40=20（輛），車速在[80，85），[85，90）內的車輛分別有8輛和12輛。

例17為了解某地高中生身高情況，研究小組在該地高中生中隨機抽出30名高中生的身高制成如圖8所示的莖葉圖（單位：cm），若身高在175 cm以上（包括175 cm）定義為“高個子”，身高在175 cm以下定義為“非高個子”。

（l）用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中共抽取5人，再從這5人中選2人，求至少有一人是“高個子”的概率;

（2）用樣本估計總體，把頻率作為概率，若從該地所有高中生（人數很多）中選3人，用X表示所選3人中“高個子”的人數，試寫出X的分布列，并求X的數學期望。

例18某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創業，在一個開學季內，每售出1盒該產品獲利潤50元，未售出的產品，每盒虧損30元。根據歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖9所示。該同學為這個開學季購進了160盒該產品，以x（單位：盒：100≤x≤200）表示這個開學季內的市場需求量，y（單位：元）表示這個開學季內經銷該產品的利潤。

（1）根據直方圖估計這個開學季內市場需求量x的平均數和眾數;

（2）將y表示為x的函數;

（3）根據直方圖估計利潤不少于4 800元的概率。

解析：（l）由頻率分布直方圖及其縱橫軸的意義，可知需求量在[100，120）內的頻率為0.005 0×20=0.10;在[120，140）內的頻率為0. 010 0×20=0.20，在[140，160）內的頻率為0. 015 0×20=o.30;在[160，180）內的頻率為0. 012 5×20=0.25;在[180，200）內的頻率為0.007 5×20=0.15。因此這個開學季需求量z的眾數為150;這個開學季需求量z的平均數為110×0. 10+130×0.20+150×0.30+170×0. 25+190×0.15=153。

（2）因為每售出1盒該產品獲利潤50元，未售出的產品，每盒虧損30元，所以100≤x≤160時，y=50x - （160-x） ·- 30= 80x-4 800;當160

（3）因為利潤不少于4 800元，所以80x -4 800≥4 800，解得x≥120，所以由（1）知利潤不少于4 800元的概率P=1-O. 1=0.9。

例19交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統一為a元，在下一年續保時，實行的是費率浮動機制，且保費與上一年度車輛發生道路交通事故的情況相聯系。發生交通事故的次數越多，費率也就越高，具體浮動情況如表37：

某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續保時的情況，統計得到了表38所示的表格：

（1）求一輛普通6座以下私家車在第四年續保時保費高于基本保費的頻率。

（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車。假設購進一輛事故車虧損5 000元，一輛非事故車盈利10 000元。且各種投保類型的頻率與上述機構調查的頻率一致，完成下列問題：

①若該銷售商店內有6輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，某顧客欲在店內隨機挑選2輛車，求這2輛車恰好有1輛為事故車的概率;

②若該銷售商一次購進120輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求1輛車盈利的平均值。

解析：（1）一輛普通6座以下私家車第四年續保時保費高于基本保費的頻率為155/60=1/3。

（2）①由統計數據可知，該銷售商店內的6輛該品牌車齡已滿三年的二手車中有2輛事故車，設為b1，b2.4輛非事故車，設為a1，a2，a3，a4。從6輛車中隨機挑選2輛車的情況有（bl，b 2），（b1，a1），（b1，a 2），（bl，a 3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b 2，a4），（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），共15種。其中2輛車恰好有1輛為事故車的情況有（b1，a1），（b1，a2），（b1，a3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b2，a4），共8種。

所以該顧客在店內隨機挑選2輛車，這2輛車恰好有1輛事故車的概率為8/15。

②由統計數據可知，該銷售商一次購進120輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車40輛，非事故車80輛，所以一輛車盈利的平均值為1/120[（一5 000）×40+10 000×80]=5 000（元）。

（責任編輯王福華）