高考數學全國I卷第18題立體幾何備考指南

馬東字

一，直線與平面的位置關系

1.直線與平面平行的判定及性質。

例1 如圖1，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC= ∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA ⊥平面ABCD，PA=2.AB =1。設M，N分別為PD，AD的中點。求證：平面CMN//平面PAB。

考點定位：以四棱錐為載體，考查空間中兩平面的平行關系。

證明：（1）因為M，N分別為PD，AD的中點，所以MN∥PA。

又MN旺平面PAB，PA[平面PAB，

考點定位：考查空間中直線與平面的平行關系，利用線面平行的判定定理直接找到線面平行的條件。

解析：（1）如圖3，取PB的中點G，連接AG，NG，因為N為PC的中點，所以NG∥BC，且NG=1/2BC。

又AM=2，BC=4，且AD//BC，所以AM//BC，且AM=1/2BC，則NG∥AM，且NG=AM，所以四邊形AMNG為平行四邊形，則NM∥AG。

考點定位：考查空間中直線與直線的垂直關系，利用線面垂直的性質定理得到線線垂直的結論;雖然是考查線線垂直，但實質上需要證明出線面垂直。

例7 如圖13，四邊形ABCD為菱形，∠ABC= 120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥_EC。證明：平面AEC⊥平面AFC。

考點定位：考查空間中平面與平面的垂直關系，先利用線面垂直的判定定理得到線面垂直，從而得到面面垂直。

考點定位：利用空間向量解決線面角，一般先建立恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標。本題考查平面法向量，及根據向量數量積求夾角。

解析：（1）因為PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE，如圖18，建立空間直角坐標系A-xyz，則A （0，0，0） ，B （1，0，O），C（2，1，O），P（O，O，

2），F（O，1，1），BC=（1，1，O）。

3.二面角。

例10 在如圖19所示的空間幾何體中，平面ACD__平面ABC，△ACD與△ACB是邊長為2的等邊三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上。

（l）求證：DE∥平面ABC;

（2）求二面角E-BC-A的余弦值。

解析：（1）由題意知，△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，取AC的中點O，連接BO，DO，則 BO⊥AC，DO⊥AC。

又因為平面ACD⊥平面ABC，所以DO上平面ABC。作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根據題意，點F落在BO上。

例12 如圖23，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圓O所在的平面，AB =4，BE=1。

（l）證明：平面ADE⊥平面ACD;

（2）當三棱錐C-ADE的體積最大時，求點C到平面ADE的距離。

解析：（l）因為AB是直徑，所以BC⊥AC。又四邊形DCBE為矩形，CD⊥DE，BC∥DE，所以CD⊥BC。

因為CD ∩ AC=C，所以BC⊥平面ACD，所以DE上平面ACD。又DE（平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD。

三，折疊問題

折疊問題是立體幾何的一類典型問題，也是實踐能力與創新能力考查的好素材。解答折疊問題的關鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些發生了變化，哪些沒有發生變化。這些未變化的已知條件都是我們分析問題和解決問題的依據。而表面展開問題是折疊問題的逆向思維、逆過程，一般地，涉及多面體的表面積問題，解題時不妨將它展開成平面圖形試一試。

例13 如圖24（1），在矩形ABCD中，已知AB =2，AD一2√2，M，N分別為AD和BC的中點，對角線BD與MN交于O點，沿MN把矩形ABNM折起，使兩個半平所成二面角為60°，如圖24（2）。

（1）求證：BO⊥DO;

（2）求AO與平面BOD所成角的正弦值。

解析：（1）翻折前，由于M，N是矩形ABCD的邊AD和BC的中點，所以AM⊥MN，DM⊥MN，折疊后垂直關系不變，所以∠AMD是兩個半平面所成二面角的平面角，所以∠AMD=60°。

連接AD，由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=√2。

在Rt△BAD中，AB =2，AD=√2，所以BD=√6。由題可知BO=OD=√3，由勾股定理可知△BOD是直角三角形，所以BO⊥DO。

（2）如圖25，設E，F分別是BD，CD的中點，連接EF，OE，OF，BC。又BD=√6，BC=√2，CD=2，所以DC⊥BC，則 EF⊥CD。

又OF⊥CD，所以CD⊥平面OEF，OE⊥CD。又BO=OD，所以OE⊥BD。

又BD ∩ CD=D，所以OE⊥平面ABCD。又OE（平面BOD，所以平面BOD⊥平面ABCD。

過A作AH⊥BD，由面面垂直的性質定理，可得AH⊥平面BOD，連接OH，則OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH為

四，探究性問題

探究性問題常常是在條件不完備的情況下探討某些結論能否成立，立體幾何中的探究性問題既能夠考查同學們的空間想象能力，又能考查同學們的意志力及探究能力。近幾年高考中的立體幾何試題出現了一些具有探索性、開放性的試題。內容涉及異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角，平行與垂直等知識，對于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來解決。一般此類立體幾何問題描述的是動態的過程，結果具有不唯一性或者隱藏性，往往需要耐心嘗試及等價轉化，因此，對于常見的探究方法的總結和探究能力的鍛煉是必不可少的。