“探索三角形相似的條件復(fù)習(xí)課”教學(xué)設(shè)計

[摘 ?要] “三角形相似的判定復(fù)習(xí)課”設(shè)計思路立足于“讓學(xué)生的數(shù)學(xué)自然而然地生長”. 根據(jù)學(xué)生自身的掌握情況，由學(xué)生來添加條件推理出相應(yīng)的結(jié)論，滿足學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”. 并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行相應(yīng)的難度提升和知識拓展，小步地鞏固和提高，最終完成相似三角形判定的知識掌握和熟練運用.

[關(guān)鍵詞] 生長數(shù)學(xué);最近發(fā)展區(qū);復(fù)習(xí)課;三角形相似

教材分析

“相似三角形的判定復(fù)習(xí)課”是北師大版九年級上冊第四章第四節(jié)的內(nèi)容. 是學(xué)生學(xué)習(xí)了“平行線分線段成比例”“探索三角形相似的條件”等知識后的一個復(fù)習(xí)內(nèi)容，為后面利用三角形相似解決實際問題以及九年級下冊三角函數(shù)、研究圓中比例線段的學(xué)習(xí)做了鋪墊，在平面幾何的學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用，因此須熟練掌握三角形相似的判定并靈活運用. 本節(jié)課以“生長式”的方法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生通過觀察和思考達(dá)到知識的拔節(jié).

學(xué)情分析

初三年級的學(xué)生，他們的思維已處于理論型邏輯思維階段，具備一定的抽象思維能力和演繹推理能力，他們的思維相對活躍，動手操作能力逐漸成熟，能主動參與課堂的操作、探究.

教學(xué)任務(wù)分析

1. 教學(xué)目標(biāo)分析

（1）通過學(xué)習(xí)，學(xué)生進(jìn)一步鞏固“三角形相似的判定定理”，認(rèn)識基本圖形，學(xué)會從復(fù)雜圖形中整理出基本圖形，能分析其中的基本元素及對應(yīng)關(guān)系并解決數(shù)學(xué)問題.

（2）在解決問題的過程中，讓學(xué)生感受圖形的運動變化，能動態(tài)地看問題，感受數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.

（3）學(xué)生通過思考與交流，提高學(xué)習(xí)相似三角形知識的興趣和積極性，通過相互協(xié)作嘗試解決問題，樹立學(xué)習(xí)的自信心，在解決問題中體驗數(shù)學(xué)的價值.

2. 教學(xué)重點分析

根據(jù)已有條件，進(jìn)一步添加或者尋找新的條件得出三角形相似，并運用相似關(guān)系找出線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系等.

3. 教學(xué)難點分析

在動態(tài)中分類討論三角形相似的多種情況，并由此進(jìn)行相關(guān)運算;在學(xué)習(xí)過程中能根據(jù)條件找出或者構(gòu)造如“一線三等角”等模型.

教法與學(xué)法分析

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動、共同發(fā)展的過程. 遵循這一原則，再結(jié)合初三年級的思維和心理特征，本節(jié)課采用情境——問題教學(xué)法. 具體做法是：設(shè)置情境——教師提出問題——師生共同解決問題——數(shù)學(xué)應(yīng)用. 這種教學(xué)方法能激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)實踐活動，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下以獨立思考和相互交流的形式，發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題.

教學(xué)過程分析

1. 溫故知新

問題1：如圖1，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的兩個點，請你另添加一個條件，使△ABC和△ADE相似，并說明添加條件的理由.

設(shè)計意圖 ?為了突破傳統(tǒng)的提綱式、背誦式、無懸念的復(fù)習(xí)套路，轉(zhuǎn)而由學(xué)生自主添加條件得到相應(yīng)的知識，使得絕大多數(shù)學(xué)生都能根據(jù)自己所掌握的知識完成相應(yīng)難度和層次的任務(wù)，使得復(fù)習(xí)能夠覆蓋大多數(shù)學(xué)生，讓其掌握的知識自然而然地生長，并為下一個環(huán)節(jié)的說理做好了鋪墊.

問題2：在第一個環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上連接DC，BE相交于點O. 看一看，議一議，兩個圖中各有幾對三角形相似？

我們知道，對于圖2，學(xué)生根據(jù)所添加的平行線就可以得到同位角、內(nèi)錯角相等，繼而推出△ADE∽△ABC和△DOE∽△COB. 而對于圖3，很多學(xué)生可能僅僅因為添加的一組角相等只能得到△ADE∽△ACB. 但事實上圖4中能推導(dǎo)出4組相似，每推出一個相似，都可作為下一個相似的條件.

設(shè)計意圖 ?絕大多數(shù)學(xué)生可以迅速從圖3中由平行得到2組相似，這個比較簡單. 而要從圖4中得到4組相似是需要認(rèn)真思考和推理的. 這樣的設(shè)計對于學(xué)生全面掌握相似的判定及靈活運用是非常有幫助的. （具體分析見圖5、圖6）

問題3：進(jìn)一步追問圖4中，△OBD與△OCE是否相似？

DE∥BC？圯 = 是對的，但要證明△OBD∽△OCE，DO，EO，CO，BO四條對應(yīng)線段的對應(yīng)關(guān)系不對，必須是 = 才行，所以此問題無法證得，因此無法判斷.

而對于圖5中的4組相似三角形，學(xué)生只有熟練掌握了相似三角形的判定，才能全部推導(dǎo)出來，這個要求相對高一些. 這也是通過數(shù)學(xué)知識的生長，提高學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的水平高度.

2. 思維拓展

問題4：在圖6中，如果AB=8 cm，AC=10 cm，點P從A點出發(fā)，以2 cm/s的速度向B點移動，點Q從C點出發(fā)，以1 cm/s的速度向A點移動. 當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動. 設(shè)運動時間為t s，那么t為何值時，△APQ與△ABC相似？

問題5：在圖7中，如果AB=AC，點P（不與B，C重合）繼續(xù)在BC邊上運動，點Q在AC邊上運動，保持∠APQ=∠C. 請問有哪些三角形相似？

問題6：你在圖8中，能發(fā)現(xiàn)特殊的結(jié)論嗎？如果∠ABC是30°、45°、60°的情況呢？

設(shè)計意圖 ?在前面的溫故知新后，要求學(xué)生能夠合理運用自己所掌握的知識解決問題. 因此在圖1的基礎(chǔ)上進(jìn)行了動態(tài)問題的設(shè)計，但仍然和溫習(xí)的知識有充分聯(lián)系. 而圖7是動點運動到BC邊出現(xiàn)的“一線三等角”的情況，也為接下來圖8“一線三等角”模型的拓展埋下伏筆，課堂上自然生長到含特殊角如45°、60°、90°的“一線三等角”模型.

3. 交流探討

問題7：如圖9，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點D是BC邊上的一個動點（不與B，C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=45°.

（1）探索△ABD和△DCE是否相似？

（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式x的取值范圍.

（3）求出當(dāng)BD為何值時AE取得最小值.

（4）當(dāng)AE取最大值時，請判斷△ADE的形狀.

設(shè)計意圖 ?交流探討的問題對思維拓展問題中涉及的“一線三等角”的情況進(jìn)行了補充，并設(shè)計了函數(shù)和最值問題. 這種設(shè)計既考慮了學(xué)生本身的知識儲備情況，又能讓學(xué)生在已有知識的層面上進(jìn)一步拓展思路，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維和知識遷移的能力.

4. 課后作業(yè)

問題8：如圖10，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D在邊AB上，DE⊥AB，點E在邊BC上. 又點F在邊AC上，且∠DEF=∠B.

（1）求證：△FCE∽△EBD;

（2）當(dāng)點D在線段AB上運動時，是否有可能使S =4S . 如果有可能，那么求出BD的長，如果不可能請說明理由.

5. 總結(jié)歸納

（1）請梳理本節(jié)課的知識點有哪些？

（2）請總結(jié)本節(jié)課的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)模型.

簡述教學(xué)設(shè)計總體思路

這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計思路主要在以下幾點：

1. 注意了新舊知識點之間的邏輯聯(lián)系

根據(jù)學(xué)生的原有認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知水平、認(rèn)知規(guī)律，站在學(xué)生的角度去設(shè)計教學(xué)，達(dá)到學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的心理認(rèn)知.

2. 重視學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的重建

也就是我們常常提到的“生長數(shù)學(xué)”. 例如相似判定的回顧和運用之間用同一個母圖（圖1）加強(qiáng)聯(lián)系，讓學(xué)生在課堂上親自參與“知識再發(fā)現(xiàn)”的過程，經(jīng)歷探索新知的過程. 在拓展運用中也不是隨意找題目，而是在母圖中加入了運動元素，使得題目和思維運動了起來.

3. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透

所有的設(shè)計，從圖2到圖10都是在最初圖1學(xué)生添加的那兩個條件中變化出來的. 所以整個設(shè)計以“精心提煉、著意滲透、反復(fù)孕育、經(jīng)常應(yīng)用、小步推進(jìn)、分層達(dá)到”去實施數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).

4. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

學(xué)生的思維是從問題開始的，設(shè)計的問題難度有坡度，能讓不同層次的學(xué)生都能夠得到能力的發(fā)展. 本節(jié)課以“生長式”的教學(xué)設(shè)計使得學(xué)生進(jìn)行充分思考，進(jìn)而實現(xiàn)對學(xué)生的思維鍛煉，自然而然地促進(jìn)知識生長，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透在整節(jié)課當(dāng)中.