金屬絲楊氏模量實驗的數據處理

高院麗

【摘 要】楊氏模量是描述固體材料抵抗外力產生拉伸或壓縮形變能力的物理量[1]。測定材料的楊氏模量在工程技術實踐中具有重大作用。本文介紹了拉伸法測量鐵絲的楊氏模量。用逐差法、EXCLE、MATLAB這三種方法來處理實驗數據。通過比較發現，逐差法的誤差較大、計算過程繁雜。采用計算機軟件處理數據結果準確度高，計算過程簡單明了，可以有效提高學生的實驗技能和科研水平。

【關鍵詞】楊氏模量;逐差法;MATLAB;EXCLE

中圖分類號： O4-39 文獻標識碼： A文章編號： 2095-2457（2019）31-0124-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.31.059

1 楊氏彈性模量實驗原理

楊氏模量的測定方法是拉伸法。拉伸法是沿縱向加外力使材料產生形變的，它是研究最簡單的彈性形變的方法。設有一根長為L，粗細均勻的鐵絲，橫截面積為S，受到沿長度方向上的外力F的作用時，鐵絲的伸長量為△L。此時單位橫截面積上受到的作用力為F/S，稱之為脅強，也就是正向應力。鐵絲在單位長度上的伸長量為△L/L，稱之為脅變，也就是正向應變。正向應力與正向應變的比值就是楊氏模量，即：

Y=■·■（1）

2 實驗儀器

圖1

2.1 楊氏模量儀

儀器裝置如圖1所示。三腳底座上裝有兩根平行立柱和調節螺母，固定底座上有水準泡。通過調節平衡螺母使水準泡處在中心位置，從而來判斷底座是否調平。金屬絲I的上端固定在立柱頂端橫梁的螺釘中，下端系在托盤的鉤上，托盤是用來放拉伸鐵絲的砝碼。立柱中間有一可以上下移動的平臺，平臺是用來安放光杠桿。平臺正中有孔，孔中有可以滑動的卡金屬絲的螺旋卡頭，金屬絲通過螺旋卡頭并銜接在中間。

2.2 光杠桿及望遠鏡尺組

由于△L的變化太小，常規儀器是測不出來的，所以本實驗用到的是光杠桿和望遠鏡。本實要用該測量系統測量鐵絲的伸長量△L。三足支架后足尖到兩前足間連線的垂直距離為b。鏡面的正前方約1.5m處放望遠鏡及標尺。

圖2

如圖2所示，當所測物體未發生變化前，可從望遠鏡內讀出標尺上的標度值n0，即水平讀數。加砝碼后金屬絲的伸長量為△L，三足支架的后足隨金屬絲L的伸長隨螺旋卡時下降△L。此時鏡面以前足尖為支點向后轉過θ角度，tgθ=■，這時由望遠鏡里讀出標尺上的讀數為n1，前后兩次讀數差為△n= n1-n0。[2]

由圖2可以看出：tgθ=■，tg2θ=■。

實驗中，△L很小，θ角度也很小，因而tgθ=θ，tg2θ=2θ，θ=■，2θ=■，將θ消去得： △L=■（2）

△L原為難以測量的微小量，通過光杠桿的放大作用，使之變為容易的測得的較大量：D、b、△n。

因為我們知道金屬絲的截面積為S=■πd■，將之與（2）代入（1）兩式可得：

Y=■（3）

3 實驗過程

3.1 楊氏模量測定儀的調節

3.2 光杠桿及望遠鏡尺組的調節

1）粗調—調節光杠桿及望遠鏡、標尺中部在同一高度上。

2）鏡外找像—缺口、豎尺、平面鏡中標尺的像在一個平面內。

3）鏡內找像—先調節目鏡使叉絲清晰，在調節調焦鈕看清標尺像直到無視差為準。

4）細調—對準標尺像的零刻度線附近的任意刻度線，并記錄讀數n。

4 實驗數據處理

4.1 實驗數據的記錄

4.2 利用逐差法對數據進行處理

利用常規的逐差法解得：

楊氏模量

Y=■=■=1.752×1011Pa

相對誤差：η=■100%=7.79%

4.3 利用EXCLE對數據進行處理

將公式Y=8FLD/（πd■b△n）=8mgLD/（πd■b△n）做一變形可得：

△n=（8LD/πd2bY）×F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

即△n隨F的變化而變化。利用EXCLE可以計算出砝碼所受重力和△n大小（見附件2）。

將砝碼所受重力G與△n的值輸入EXCLE可得如圖3。

圖3

由圖3可以讀出此直線的斜率k=0.0012。利用EXCLE可以計算出鐵絲的長度L、鏡面到標尺的距離D、后足尖到兩前足尖連線的垂直距離b及鐵絲的直徑d的平均值。（見附件2）

利用EXCLE將L、D、b、d的平均值及k值代入Y=■中，得到Y=1.763×1011Pa。

相對誤差：η=■×100%=7.21%

4.4 利用MATLAB對數據進行處理

同理，也是將公式Y=8FLD/（πd2b△n）=8mgLD/（πd2b△n）做一變形可得：

△n=（8LD/πd2bY）F 即△n隨F的變化而變化。

實驗數據處理的程序如下：

m=0：9;

F=m*9.8;

n1=0.16;

n2=0.1719;

n3=0.1839;

n4=0.1955;

n5=0.2070;

n6=0.2189;

n7=0.2293;

n8=0.2411;

n9=0.2523;

n10=0.264;

n11=0.1598;

n12=0.1720;

n13=0.1842;

n14=0.196;

n15=0.208;

n16=0.2192;

n17=0.231;

n18=0.2432;

n19=0.2532;

n20=0.264;

n21=（n1+n11）/2;

n22=（n2+n12）/2;

n23=（n3+n13）/2;

n24=（n4+n14）/2;

n25=（n5+n15）/2;

n26=（n6+n16）/2;

n27=（n7+n17）/2;

n28=（n8+n18）/2;

n29=（n9+n19）/2;

n30=（n10+n20）/2;

n31=n22-n21;

n32=n23-n21;

n33=n24-n21;

n34=n25-n21;

n35=n26-n21;

n36=n27-n21;

n37=n28-n21;

n38=n29-n21;

n39=n30-n21;

n=[0，n31，n32，n33，n34，n35，n36，n37，n38，n39];

plot（F，n）;

由該程序得到如圖4。

再運行程序：

h=1;plot（F，n，h）;

可以得到圖5，即可得到此直線的斜率k=0.0012。

圖5

在MATLAB中輸入程序：

L=[0.7401，0.741，0.7405，0.7405，0.7403];avg_L=mean（L）

輸出：avg_L =

0.7405

輸入：D=[2.0604，2.061，2.0608，2.061，2.0604];

avg_D=mean（D）

輸出：avg_D =

2.0607

輸入：d=[0.000482，0.000489，0.000488，0.000481，0.000483];

avg_d=mean（d）

輸出：avg_d =

4.8460e-04

輸入：b=[0.07815，0.07815，0.07812，0.07807，0.07815];

avg_b=mean（b）

輸出：avg_b =

0.0781

從而得到L、D、b及d的值，代入Y=■，即Y=1.767×1011Pa

相對誤差：η=■100%=7.00%

5 結論

我們知道鐵絲楊氏模量的實驗參考值為Y■=1.90×10■Pa.本次實驗的三種計算結果都分別是Y■=1.75×10■Pa，Y■=1.76×10■Pa，Y■=1.77×10■Pa。實驗值和參考值之間明顯存在差值，對應誤差分別為η■=7.79%，η■=7.21%，η■=7.00%。究其誤差原因：1）實驗數據的不準確性。實驗過程中，需在加完或減完砝碼時，鐵絲不晃動的時候讀數，所以有可能在某一次實驗時，忽略了此細節。2）實驗室的金屬絲用的時間太久。比起一根新的鐵絲，實驗室的鐵絲經常用來實驗，經常被拉伸，彈性性能大不如以前。實驗結果就會和準確值之間存在差異。就實驗數據處理的過程來看，用逐差法計算實驗數據過程煩瑣、計算量大，而EXCLE處理數據需要多個表格來計算各物理量。這種方法雖避免了人為計算的誤差，但整個計算過程變得很混亂。MATLAB是通過輸入相應的程序來計算物理量的。本篇文章的目的是找到一個誤差最小的、過程簡潔的數據處理方法并將之在實驗中推廣。由上述比較可以看出，MATLAB的誤差較小，過程也相對來說較為簡潔，可以考慮將MATLAB在今后的實驗中做一推廣。這一方法不僅可以很好地處理實驗數據，也可以提高同學們的科研能力。但由于我們專業的學生對MATLAB的學習只停留在表面，再加上利用MATLAB編程本身就比較難。要想很好地將之運用到實驗中是非常困難的。所以大學的課程設置中一定要將這些計算機軟件的學習重視起來，讓學生在運用這些軟件時得心應手。

【參考文獻】

[1]謝楊瑩，秦玉霞，楊旭昕，葉全林.拉伸法測頭發絲楊氏模量實驗裝置的改裝[J].物理實驗，2018，38（09）：51-54.

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[3]白冰.新的實驗方法在大學物理實驗課堂中的應用[J].新西部，2017（27）：145+152.

[4]饒益花，郭萍，管亮，李全.基于Matlab的金屬絲楊氏模量測量的數據處理[J].大學物理實驗，2004（04）：76-78.

[5]丁益明、徐揚子主編。大學生物理實驗[M].基礎與綜合部分，北京：科學出版社，2008.

[6]高海林，拉伸法測金屬楊氏模量實驗的改進[J].2006，8.