線性脈沖系統的穩定性分析

周旺旺　方建安

【摘 要】對線性脈沖系統進行穩定性分析，首先是通過運用半張量積方法給出基于邏輯判斷的線性脈沖系統的表達式，然后利用穩定性的判別方法，得到了該系統穩定的充分條件，接著運用定義和引理來對其進行證明，再給出數值例子，通過仿真來說明結果的有效性。

【關鍵詞】脈沖系統;穩定性;半張量積;邏輯判斷

中圖分類號： TP13文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）31-0004-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.31.002

Stability Analysis of Linear Impulsive System

ZHOU Wang-wang FANG Jian-an

（College of Information Science and Technology， Donghua University， Shanghai 201620， China）

【Abstract】The stability analysis of linear impulsive system is carried out. Firstly， the expression of linear impulsive system based on logic judgment is given by using the semi-tensor product method. Then， the sufficient conditions for the stability of the system are obtained by using the method of stability judgment. Then， the definition and lemma are used to prove the stability of the system. Finally， numerical examples are given to illustrate the validity of the results by simulation.

【Key words】Impulsive system; Stability; Semi-tensor product; Logical judgment

0 引言

在發展變化過程中，自然界中的許多事物常常因受到短暫時間的干擾而發生快速的變化，如種群動力學中的動物的季節繁殖，漁業養殖與森林管理中的投放、種植、收獲等，在這些過程的數學模擬中，這段發生快速變化的持續時間常常會被忽略，然后假設這個過程是瞬間完成的，這種瞬時突變現象通常被稱為脈沖現象，其數學模型通常可歸結為脈沖微分系統。在實際應用中我們總是希望，在受到外來干擾不太大時，系統能夠在經過一個過渡過程后恢復到原來的平衡狀態，這樣，我們才能更好地控制系統，使其大體地可以按照預測的結果進行下去。例如，對于發射宇宙探測器，若不能在受到一定范圍內的干擾后依然可以回歸到原有軌道，那它的任務將不能完成，還有很多諸如此類的例子。鑒于脈沖系統在科技領域發揮著越來越重要的作用，這方面的研究引起很多學者專家的關注與重視。脈沖微分方程理論最早是由Millman和Myshkis在20世紀六十年開創性的提出來的[1]，成了數學界的一個新的分支，在接下來的20年，它也經過了不斷發展[2]，1989年，首次出版的關于脈沖微分系統的著作“Theory of Impulsive Differential Equations”是由V.Lakshimikantham[3]等人對這些進行了系統的總結所完成的。文獻[4]給出了系統平衡點和穩定性的定義，文獻[5-6]中程代展教授提出了半張量積這一定理，使矩陣乘法不再局限于傳統矩陣維數的要求，這樣的話，任意兩矩陣都可以相乘。之后，程代展教授等人將半張量積應用到邏輯系統中，將一個邏輯函數轉化為等價矩陣、向量乘積的代數表達形式，從而解決了邏輯表達式的計算和處理問題，對邏輯處理給予了很大的幫助。文獻[7]中范數的相關理論，用于構造輔助系統，使后面定理的驗證得以實現。

脈沖系統的研究已經日趨成熟，于是我對線性脈沖系統的性質進行了具體的探究，所研究的線性脈沖系統具體可描述為

x（t）=Ax（t），t≠t■Δx（t■）=g（p■（x■（t■）），…p■（x■（t■）））Bx（t■）+■Cx（t■），t=t■x（t■■）=x■（1）

其中A、B、C 均為n階矩陣，tk為第k次脈沖發生的時刻，x（t）和Δx（t）都為n維向量：x（t）=（x1，x2，…，xn）T∈Rn，Δx（t）=（Δx1，Δx2，…，Δxn）T∈Rn。關于脈沖時間序列{tk}■■，我們假定0

1 線性脈沖系統穩定性分析

1.1 預備知識

下面介紹一些定義、引理及符號，是后面的證明及驗證過程所要用到的。

對于向量x=（x1，x2，…，xn）T∈Rn，‖x‖=■x■■■表示x的歐幾里得范數。對于實對稱矩陣A，λmax（A）（λmin（A））表示A的最大（最小）特征值。Rowi（A）（Coli（A））表示矩陣A的第i行（列），Row（A）（Col（A））表示矩陣A所有（行）列的集合。

為了方便后續的研究，對于邏輯值，我們定義如下等價的向量表達形式：

T=1～δ■■=[1 0]T，F=0～δ■■=[0 1]T，其中，δ■■是單位矩陣Ik的第i列。令Δk={δ■■|i=1，2，…，k}，則其表示單位矩陣所有列的集合。

接著，我們給出如下定義和引理：

定義1[5]：如果矩陣L∈Rm×n滿足Col（L）？奐Δm，則我們稱L為邏輯矩陣。我們將所有m×n邏輯矩陣組成的集合表示為Lm×n。

定義2[7]：矩陣Kronecker積符號為“？茚”，對任意兩個矩陣A=（aij）m×n∈Rm×n，B=（bij）p×q∈Rp×q，它們的Kronecker積為：

A？茚B=■。

定義3[7]：μ（A）=■■=λ■■，其中‖·‖表示矩陣的誘導范數，A是正數階矩陣，I是單位矩陣。

引理3[7]：根據μ（A）的定義，可得對于線性微分方程■（t）=Ax（t），狀態變量x（t）滿足：

■≤μ（A）‖x（t）‖。

定義4[6]：對于兩個矩陣A∈Rm×n，B∈Rp×q，A與B的半張量積為

A∝B=（A？茚Iα/n）（B？茚Iα/p），

其中，α=lcm（n，p）是n與p的最小公倍數。

下面這個引理揭示了如何將一個邏輯函數轉換為等價矩陣、向量乘積的代數表達形式，用于后面的理論探究。

引理4[6]：f（p1，p2，…，pr）∈Δ2是一個邏輯函數，其中p1，p2，…，pr∈Δ2是邏輯變量，則存在唯一一個2×2r的矩陣Mf∈Lm×n使得

其中，Col（Mf）？奐Δ2，而且值得注意的是∝■■p■？奐Δ■。我們稱矩陣Mf為邏輯函數f的結構矩陣。需要注意的是，引理2中的邏輯函數f（p1，p2，…，pr）∈Δ2是一個二維向量[1 0]T或[1 0]T，若邏輯函數的值最終表達為“1”或“0”的標量值時，引理3中的代數表達形式可以寫為

下面我們引入平衡點及穩定性的定義。

定義5[4]：對于系統

■=f（x）

若f（xe）≡0，則我們稱xe為系統的平衡點。

易知線性系統

■（t）=Ax（t），

的平衡點是原點。

定義6[4]：對于系統

■=f（x）

的平衡點為x=0，如果對于任意的ε>0，都存在δ=δ（ε）>0，滿足

‖x（0）‖<δ？圯‖x（t）‖<ε，？坌t>0

則該系統的平衡點是穩定的。

定義7[4]：對于系統

■=f（x）

的平衡點為x=0，如果系統的平衡點是穩定的，且可選擇適當的正數δ，滿足

‖x（0）‖<δ？圯■x（t）=0，

則該平衡點是漸近穩定的。

1.2 主要結論

我們從系統（1）的表達式可以看出，當不發生脈沖現象時，系統（1）的第一個式子是線性微分方程，通過求解得出x（t）的表達式;當發生脈沖現象時，系統（1）的第二個式子中Δx（tk）表示狀態變量在脈沖發生后與發生前的差值，即Δx（tk）=x（t■■）-x（t■），k∈N■。當發生第k次脈沖現象，即t=tk時，有

Δx（t■）=g（p■（x■（t■）），…p■（x■（t■）））Bx（t■）

+■Cx（t■）

其中g：{δ■■，δ■■}n→{0，1}是一個邏輯函數，g是g的否定邏輯函數。比如，當g的邏輯值為0時，g的邏輯值為1;當g的邏輯值為1時，g的邏輯值為0。B，C是兩種備選方案的脈沖效應的邏輯矩陣。pi：R→{0，1}是一個分段連續函數，定義如下：

pi（u）=δ■■～0，|u|≥c■δ■■～1，|u|

其中ci是一個閾值。

由引理3可知存在g的結構矩陣M使得下面這個等式成立：

g（p1（x1（tk）），…，pn（xn（tk）））=Row1（Mf）∝■■p■（x■（t■））

并且g的否定函數g可以表示為

■=Row2（Mf）∝■■p■（x■（t■））

令p（x（tk））為∝■■p■（x■（t■））。根據pi（u）的定義，我們知道pi（xi（tk））∈Δ2，i=1，2，…，n。然后再根據半張量積的定義，我們可以知道是p（x（tk））一個2n維向量，且p（x（tk））∈Δ■，設p（x（tk））的值為δ■■，即p（x（tk））=δ■■，它是一個第jk個分量為1其余分量為0 的單位向量。進而我們有

Δx（tk）=Row1（M）p（x（tk））Bx（tk）+Row2（M）p（x（tk））Cx（tk）

=M■Bx（tk）+M■Cx（tk）

=（M■B+M■C）x（tk）

其中，M■和M■分別表示矩陣M的第1行第jk個元素和第2行第jk個元素。下面，我們進一步推導可以得到：

M■B+M■C=B（M■？茚In）+C（M■？茚In）

=[B C]M■？茚InM■？茚In

=[B C]（Col■（M）？茚In）

最終Δx（tk）可以表示為以下形式：

Δx（tk）=[B C]（Col■（M）？茚In）x（tk）（2）

因此，當Col■（M）=10時，Δx（tk）=Bx（tk）;

同樣，當Col■（M）=01時，Δx（tk）=Cx（tk）。

由此可以看出（2）的邏輯表達式與系統（1）中Δx（tk）的表達式是等價的。于是Δx（t■■）可以表示為下面的形式：

x（t■■）=x（t■■）+Δx（tk）

=[B+I C+I]（Col■（M）？茚In）x（t■■）

因此我們可以得到

另一方面，當t∈[tk，tk+1）時，由（1）式的第一個表達式

■（t）=Ax（t），

我們可以推出

x（t）=e■x（t■■）（4）

根據以上理論分析，我們得到下面系統穩定性的主要結論，并對這個定理進行證明。

定理：如果基于邏輯判斷的線性脈沖系統（1）滿足如下條件：

（i）■■[‖B+I‖‖C+I‖]Col■（M）<+∞;

（ii）μ（A）≤0;

則系統（1）的平衡點是穩定的。

若把條件（ii）加強為：（ii*）μ（A）<0時，則系統（1）的平衡點是漸近穩定的。

證明：為了研究系統的漸近穩定性，我們先考慮如下系統：

■（t）=μ（A）u（t），t≠t■u（t■■）=[‖B+I‖‖C+I‖]Col■（M）u（t■）u（t■■）=u■≥‖x■‖（5）

其中函數u：[t0，∞）→R。

當t∈[tk，tk+1）時，由系統（5）的第一個表達式可以推出

u（t）=e■u（t■■）。

再根據系統（5）的第二個表達式可得

u（t）=e■[‖B+I‖‖C+I‖]Col■（M）u（t■）

再對u（tk）進行依次遞推，可以得到

u（tk）=e■u（t■■）

=e■[‖B+I‖‖C+I‖]Col■（M）u（t■）

……

u（t2）=e■u（t■■）

=e■[‖B+I‖‖C+I‖]Col■（M）u（t■）

u（t1）=e■u（t■■）

=e■u0

因此通過從下到上依次帶入可得

u（t）=e■■[‖B+I‖‖C+I‖Col■（M）]u■

根據條件（i）和（ii）可知系統（5）的平衡點是穩定的。當系統滿足條件（i）和（ii*）時，系統（5）的平衡點是漸近穩定的。

由引理3可知

■≤μ（A）‖x（t）‖

由系統（5）可知

■≤μ（A）u（t）

uo≥‖x0‖

于是，根據比較原理[3]以及式（4）可知，當t≥t0時，有0<‖x（t）‖≤u（t）。

這表明系統（1）的平衡點是穩定的，當且僅當系統（5）的平衡點是穩定的。系統（1）的平衡點是漸近穩定的，當且僅當系統（5）的平衡點是漸近穩定的。因此定理得證。

2 數值例子

下面通過舉一個具體的例子來驗證定理，證實其有效性。首先設定x=（x1，x2，x3）T∈R3是三維向量，這里我選取初值x0=（1.5，-0.5，2）T，脈沖發生周期為0.5，還有

A=■

經過計算得到其特征值分別為λ=-3，λ2=-4，λ3=-2

系統（1）的邏輯函數如下所示：

g（p1，p2，p3）=（p1∨p2）？圮p3

其中“∨”表示“析取”邏輯關系，若p，q為兩個邏輯變量，則有如下真值表：

表1

邏輯關系“∨”對應的邏輯矩陣為

Md=■

“？圮”表示“等價”邏輯關系，有如下真值表：

表2

邏輯關系“？圮”對應的邏輯矩陣為

Me=■

對于邏輯函數g，存在2×8維結構矩陣M，使得

g（p1，p2，p3）=M∝■■pi

其中

M=Me∝Md=■

我們選取B=-■I3，C=-■I3，I3是3階單位矩陣，易知這里滿足條件（i），我們這里閾值取為c1=c2=c3=0.1，于是

μ（A）=■■=λ■■=-1.0944<0，

滿足條件（ii*），因此根據定理，我們可知系統的平衡點是漸近穩定的。下面是通過MATLAB仿真所得的系統狀態軌跡圖，如圖1所示：

圖1 x隨時間t的軌跡

3 結論

本文通過對線性脈沖系統進行穩定性分析，得到了系統穩定的定理判據，該研究分析可以在工程中發揮比較大的作用，在面對突發事件時，可以對系統進行控制，使其根據邏輯判斷自動選取合理的方案，使損失減小，這是一種比較經濟快速地選擇。

【參考文獻】

[1]Millman V D， Myshkis A D. On the stability of motion in the presence of impulses， Sib Math J，1960，1（2）： 233-237.

[2]Samoolenko A. M， Perestyuk N A. Differential equations with impulse effect， Kiev：Visca Skola， 1987.

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[4]朱義勝.非線性系統. 北京：電子工業出版社，2011：74

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[6]Cheng D Z， Qi H S. Analysis and control of Boolean networks：a semi-tensor product approach， Springer-Verlag London， 2011， 37（5）：1352-1356.

[7]Gustaf S. The logarithmic norm history and modern theory. Bit Numerical Mathematics， 2006， 46：631-652.