基于結構反求的折線軸無試重動平衡方法

徐 遠， 易 均， 鄧 合， 周 帆， 韓志甲， 曾明浩

(中國工程物理研究院材料研究所，四川 江油 621907)

旋轉機械在運行過程中經常會發生振動，大部分情況下，均是由于機器轉子的質量不平衡引起的，約占所有引起原因的60%。在搖擺式氣體循環增壓泵(搖擺泵)研制過程中，其關鍵傳動部件為一根折線軸，高速旋轉時，慣性主軸偏離回轉中心，產生較大的離心力，造成振動沖擊。為保證泵組的使用壽命及壓縮性能，需采用動平衡方法，通過配重改變折線軸的質量分布，減小不平衡量。ITER氚工廠中的Thales PR-130搖擺泵[1]結構示意如圖1所示，8號、9號部件均為配重塊。

圖1 Thales PR-130搖擺泵Fig.1 Thales PR-130 wobble plate pump

根據轉子的回轉特性和力學特點，可分為剛性轉子和撓性轉子。對于剛性轉子，運行中轉子本身的彎曲可忽略不計，其不平衡量不隨轉速變化。而撓性轉子離心力引起的彎曲變形不能直接忽略，變形量會改變轉子的質量分布，進而改變轉子的不平衡狀態。對搖擺泵的折線軸進行模態分析：一階固有頻率為972.7 Hz，一階臨界轉速約58 000 r/min，遠高于正常工作時的最高轉速2 000 r/min。因此，在折線軸的動平衡中，可將其視為剛性轉子進行動力學分析(見圖2)。

圖2 折線軸一階模態振型Fig.2 The first model shape of folding shaft

對于剛性轉子，目前的動平衡方法大致可以分為兩種思路。一種是在轉子上加試重，使試重所產生的離心力和轉子系統原有不平衡量所產生的離心力相互抵消，如目前廣泛應用的動平衡機測試和有限元仿真。動平衡機一般采用基于影響系數法的雙面動平衡原理，通過對轉子加試重，測得試重對轉子不平衡響應的影響，計算出應加的平衡配重[2]。有限元仿真則利用有限元分析方法，建立出動平衡機的有限元模型，通過在模型上添加試重，進而求解出不平衡轉子應加的平衡配重[3-6]。

另一方面，找出不平衡量的大小和方位，在對應的位置消除不平衡量，將初始不平衡量所產生的影響降低至最小，即無試重動平衡。如在理論上預先設計出動平衡性能極佳的轉子模型，節約轉子的設計開發成本。早期轉子動平衡的理論計算主要依靠數學解析法，計算量浩大，計算精度也不高。隨著計算機的普及和各種軟件的應用，為轉子動平衡的設計、計算提供了很好的平臺，提高了轉子的終平衡效果。章云等[7-8]通過擴展影響系數動平衡方法與轉子動力學模型的比較分析，得出了動力學傳遞函數與影響系數之間的關聯關系，求解出了等效集中和分布式的不平衡量，有效地降低了轉子旋轉時的振動幅值。Kang等[9]使用UG建模對發動機曲軸模鍛件進行有限次等距離分割，并根據轉子雙面動平衡原理對數據文件進行編譯以獲得曲軸的不平衡量。Van Der Wijk等[10]分析了兩缸曲軸的平衡方法，在CAD軟件的輔助下，采用線性方程求解曲軸的不平衡量。

雖然上述方法都能求解出轉子的不平衡量，但其算法共同點均是采用垂直于回轉軸線的截面作為校正面。由于搖擺泵的功能需求，折線軸不能設計為對稱結構。若使用現有方法進行折線軸的動平衡，唯有限定住斜軸處配重塊的質心偏移距離R2，求解結果才能真正用于動平衡。在圖3所示的折線軸斜軸配重示意圖中，選定斜軸處的配重位置，使用現有方法只能求解出垂直于回轉軸線的校正面上的不平衡量U2。由于實際配重截面垂直于慣性主軸，配重塊的質心M2必須剛好位于實際配重截面、校正面和折線軸對稱面的交點處，對應唯一的動平衡方案。但是，在搖擺泵的研制過程中，折線軸的動平衡需綜合考慮最終平衡效果和實際安裝空間限制，唯一特定的M2和R2解不一定能夠設計出符合實際應用需求的配重塊。此外，若采用動平衡機進行配重試驗，由于折線軸安裝在搖擺泵的內部，每次平衡塊的調整都意味著重復組裝，重新選定校正面，再進行不平衡量的計算，費時費力。因此，急需一種專門用于折線軸的多方案快速平衡的無試重動平衡方法。

圖3 折線軸斜軸配重示意圖Fig.3 Counter-weight of oblique-axis

1 動平衡狀態參數模型

1.1 折線軸不平衡量

旋轉機械在勻速運轉時，內部的每個質點都會產生相應的慣性力，組成慣性力系。根據剛體力學原理，該慣性力系可簡化成一個主矢R和主矩M。當R=0，M=0時，剛性轉子達到動平衡。

采用無試重方法對剛性轉子進行動平衡，首先需確定轉子的不平衡量。對于傳統的鑄鍛件，制造誤差影響較大，無法通過幾何測量和三維掃描等手段精確復現出轉子的具體模型，只能通過測量由轉子和動平衡機組成的轉子-支撐系統中的支撐動反力確定校正面上的不平衡量。折線軸采用高精度車、銑方式加工，表面質量好，采用三坐標機進行幾何尺寸的測量，通過建模軟件可以精確建立出轉子的三維模型，并確定轉子的質心位置。但是，由于折線軸并非兩端支撐類型，建模軟件只能確定轉子的靜不平衡量。折線軸旋轉時，斜軸部分彎矩所引起的不平衡力不能忽略。因此，采用仿真軟件根據折線軸的三維模型建立起軸承支撐模型，測量折線軸旋轉時引起的軸承支撐反力，即可確定折線軸旋轉時的不平衡量。

在圖4所示的折線軸支撐示意圖中，忽略掉折線軸的制造誤差，每處質量相對于YOZ平面對稱分布。折線軸達到動平衡的充要條件為

(1)

圖4 折線軸支撐示意圖Fig.4 The supporting diagram of folding shaft

對折線軸進行分析，其慣性主軸與旋轉主軸在質心G以外的點相交，屬于準靜不平衡狀態，不平衡量在效果上可等效于一個靜不平衡量與一個力偶不平衡量之和，可在一個校正面上加減配重進行平衡[11]。采用ADAMS建立折線軸動力學模型，仿真折線軸在軸承支撐情況下的運動狀態，得到勻速運轉時兩邊軸承的支撐反力變化規律，如圖5所示，兩邊軸承所受到的慣性力相位相差180°。

圖5 折線軸未平衡時軸承徑向支撐反力變化圖 (n=800 r/min)Fig.5 The change of bearing radial support reaction when the folding shaft out-off-balance(n=800 r/min)

(2)

軸承支撐反力的恒定部分為折線軸重量G的分量，隨時間變化部分則由旋轉時的慣性力引起，即不平衡量。通過力學分析，可將該不平衡量等效成作用于折線軸對稱面上的一恒力F0，如圖6所示。通過在F0作用面反向加載平衡配重，即可實現動平衡。

(3)

圖6 折線軸實際配重位置圖Fig.6 The actual counter-weight of folding shaft

1.2 折線軸動平衡狀態參數模型

基于搖擺泵的特殊結構，不能在F0作用截面進行配重，只能在兩端指定的截面上進行配重。通過力學計算，可將F0分解到兩端的實際配重截面上，只需在這兩個截面上進行配重，即可使折線軸達到動平衡。在圖6所示的折線軸實際配重位置圖中，直軸配重截面垂直于回轉主軸，斜軸配重截面垂直于慣性主軸，折線軸達到動平衡的充要條件為

(4)

式中：M1,M2分別為配重塊1和2的質量；R1,R2分別為配重塊1和2的質心偏移折線軸慣性主軸線的距離；ω為折線軸旋轉的角速度；其余折線軸尺寸參數如圖6所示。

簡化后，即可得到折線軸的動平衡狀態參數模型

(5)

未知參數為直軸配重塊1的質徑積M1R1，斜軸配重塊2的質量M2和質心偏移距離R2，結果為一空間解集，如圖7所示。在模型中添加搖擺泵的結構限制條件5

圖7 動平衡狀態模型空間解集Fig.7 The solution space of parameter model

圖8 折線軸動平衡解集Fig.8 The solution space of folding shaft when balancing

2 參數化結構反求

2.1 一元參數化結構反求

根據折線軸的動平衡狀態參數模型，可以獲得多種配重方案，每種方案對應一組配重塊特征值：直軸配重塊1的質徑積M1R1、斜軸配重塊2的質量M2和質心偏移距離R2。在實際應用時，設計的配重塊需滿足相應的特征值要求。因此，需根據已知的特征值，進行配重塊的反求設計。

司中柱[12]在靜力學模型的基礎上，以零件固有頻率和固有振型為約束條件，通過修改各個節點的質量來獲得滿足需求的動力學模型。應用該方法，可以在各向異性的材料中通過改變質量分布獲得滿足質量和質心要求的零件。但在工程應用時，大部分無明顯內部缺陷的材料，其質量均勻分布，微弱的材料各項異性對質量和質心位置影響較小，結構尺寸才是影響質量和質心位置的關鍵因素。因此，在折線軸的配重塊設計時，忽略材料的各向異性。對于各向同性的材料，其質心計算公式為

(6)

為縮短開發時間，減少未知參數的求解，配重塊盡量設計為對稱結構。在配重塊1的結構設計中，其目標特征值為質徑積M1R1。根據搖擺泵的實際安裝空間及折線軸結構，設計了如圖9所示的配重塊1，結構在縱向和厚度方向對稱分布，材質為304不銹鋼，厚度為h，密度為ρ，兩半圓的圓心距離S為未知參數。根據質心計算公式，配重塊的質徑積等于各部分質徑積之和，即

(7)

(8)

式中：m1,m2,m3分別為配重塊1在圖9中所示1、2、3部分的質量;l1,l2,l3為各部分質心偏移安裝通孔r1中心線的距離。

圖9 配重塊1示意圖Fig.9 The sketch map of balance weight 1

將配重塊1的質徑積M1R1代入式(8)中，即可求解配重塊1的未知尺寸S，設計出符合目標特征值的配重塊。

2.2 四元參數化結構反求

將上述方法進行拓展，對斜軸配重塊2進行反求設計。配重塊2需滿足特定的質量M2和質心偏移距離R2要求。經過多次建模求解發現，當配重塊2的結構設計成2個或3個未知參數時，減重孔會超出實體尺寸，無法進行制造。當未知尺寸的個數大于等于4時，才有合適的解集。為減小計算量，尺寸未知參數選定為4個。配重塊2在縱向和厚度方向上對稱分布:材質為304不銹鋼;厚度為h;密度為ρ;兩半圓的圓心距離為S1;兩通孔間的中心距為S2;配重塊2外形半徑為n1;減重孔半徑為n2;S1,S2，n1,n2均為未知參數，如圖10所示。

圖10 配重塊2示意圖Fig.10 The sketch map of balance weight 2

配重塊2需滿足質量M2和質心偏移距離R2要求

(9)

即

(10)

對于該四元方程組，結果為一空間解集。根據搖擺泵的結構需求，在該方程組的基礎上，添加上配重塊2的尺寸限制條件，如外徑n1大于通孔外徑r，減重孔需在配重塊2的外形范圍內，減重孔不得與通孔相交等，進一步縮小解集范圍。

n1>r,2n1={1,2,3…+∞}S1+n1>S2+n2S2>r+n2n2>n1

采用Matlab對上述方程組與限制條件進行數學建模。對每一組M2和R2，n1對應有限個數值使得方程組有解。如取M1R1=0.017 8 kg·mm，則M2=0.096 8 kg，R2=0.824 mm，對應n1的解集有{18，18.5，19，19.5}，對每一個n1進行分析，未知參數S1,S2,n2的空間解集如圖11所示。

圖11 配重塊2未知參數空間解集(n1=18 mm)Fig.11 The solution space of balance weight 2(n1=18 mm)

在n1的有限個解中，任選其一均可設計出滿足要求的配重塊2。根據結構設計相關原則，零件質量均勻分布，各尺寸相對稱，應力均勻分布。對于特定的n1，分析減重孔半徑n2的變化對兩側剩余實體尺寸A,B的影響，A,B位置如圖10所示。當n1=18 mm時，實體尺寸A,B隨減重孔半徑n2的變化規律如圖12所示。為使兩邊實體均勻分布，n2選取曲線接近交點位置的數值，即n2=8 mm，將n1,n2的數值代入式(10)中，即可求解出S1,S2的尺寸值，并設計出對應的配重塊2。至此，就完成了與動平衡解集相對應的配重塊的設計。

圖12 尺寸A,B變化規律(n1=18 mm)Fig.12 The variation trend of A and B(n1=18 mm)

3 動平衡方案驗證

3.1 仿真驗證

為了判斷上述無試重動平衡方法的有效性，建立了軸承支撐模型對折線軸的運行狀態進行仿真，測量軸承在徑向方向的支撐反力，量化折線軸配重后的殘余不平衡量。根據上述無試重動平衡方法所獲得的動平衡解集，分別選取了M1R1為0.017 8 kg·mm,0.018 2 kg·mm,0.018 6 kg·mm,0.018 8 kg·mm四種動平衡方案，設計出了相應的配重塊，進行仿真驗證，得到軸承在X方向的徑向支撐反力如圖13所示，平衡效果對比如表1所示。

此外，隨著配重塊1質徑積M1R1的增大，配重塊2的質量M2呈指數型減小，質心偏移距離R2呈線性增大，動平衡效果愈好，如圖14和圖15所示。從仿真結果中可以看出，采用上述無試重動平衡方法，除了對軸承造成恒定的作用力外，均從不同程度上減小了折線軸的殘余不平衡量，使軸承支撐反力的波動幅度大幅減小。當M1R1=0.017 8 kg·mm時，波動幅度減小至10%；當M1R1=0.018 8 kg·mm時，波動幅度減小至3.0%。

圖13 軸承X方向的徑向支撐反力Fig.13 The change of bearing radial support reaction in X direction

動平衡方案軸承1支撐反力/N軸承2支撐反力/N殘余不平衡量/%無配重F→1=-0.336+3.845sin(ωt)F→2=-3.426+6.517sin(ωt+180°)M1R1=0.017 8 kg·mmM2=93.9 g,R2=8.5 mmF→1=0.754+0.402sin(ωt)F→2=-5.671+0.595sin(ωt+180°)10.5M1R1=0.018 2 kg·mmM2=50.6 g,R2=14.3 mmF→1=0.077+0.216sin(ωt)F→2=-4.561+0.354sin(ωt+180°)5.6M1R1=0.018 6 kg·mmM2=34.2 g,R2=17.6 mmF→1=-0.180+0.125sin(ωt)F→2=-3.929+0.211sin(ωt+180°)3.2M1R1=0.018 8 kg·mmM2=31.1 g,R2=18.7 mmF→1=-0.226+0.111sin(ωt)F→2=-3.991+0.198sin(ωt+180°)3.0

圖14 配重塊2質量M2變化規律Fig.14 The quality variation trend of balance weight 2

圖15 配重塊2質心偏移距離R2變化規律Fig.15 The centroid distance variation trend of balance weight 2

3.2 動平衡實驗驗證

按照上述四種動平衡方案所設計出的配重塊尺寸，加工出了配重塊實物，利用動平衡機為支撐平臺，CoCo-90為數據采集設備，對折線軸前軸承處的徑向振動加速度進行了測量。折線軸未加配重時的振動加速度采集數據塊如圖16所示，實驗轉速為1 200 r/min。

圖16 未加配重時的振動加速度Fig.16 Vibration acceleration of no counterweight

添加上配重塊后，測量折線軸旋轉時的振動加速度。四種動平衡方案所對應的振動加速度雖然均有不同程度的減小，但減小幅度并不大。另外，由于外界信號的干擾，振動加速度幅值具有一定的隨機性，不能用其衡量折線軸的殘余不平衡量。為準確表征折線軸不平衡量所引入的振動能量，對振動加速度信號進行了頻譜分析，得到其自功率譜，如圖17～圖21所示。

圖17 振動加速度自功率譜(無配重)Fig.17 Auto-power spectrum of vibration acceleration (no counterweight)

圖18 振動加速度自功率譜(M1R1=0.017 8)Fig.18 Auto-power spectrum of vibration acceleration (M1R1=0.017 8)

圖19 振動加速度自功率譜(M1R1=0.018 2)Fig.19 Auto-power spectrum of vibration acceleration (M1R1=0.018 2)

圖20 振動加速度自功率譜(M1R1=0.018 6)Fig.20 Auto-power spectrum of vibration acceleration (M1R1=0.018 6)

圖21 振動加速度自功率譜(M1R1=0.018 8)Fig.21 Auto-power spectrum of vibration acceleration (M1R1=0.018 8)

未加配重塊時，所測振動加速度信號的自功率譜峰值在20 Hz左右，大小為0.285 1 m/s2。添加上配重塊后，基頻處的自功率譜幅值大幅減小，自功率譜峰值出現在中高頻處，因折線軸不平衡量引起的振動能量大幅減小，振動加速度的影響源轉換為電機、軸承、支撐平臺等環境因素，折線軸基本實現了動平衡。實驗數據對比如表2所示。

實驗結果表明，由于支撐平臺及軸承等環境因素的影響，雖然各平衡方案所對應的振動加速度并沒有明顯減小，但各信號所對應的自功率譜峰值及基頻幅值相對無配重塊時均大幅減小，四種方案所對應的殘余不平衡量減小趨勢也與仿真結果相吻合，微小數據差異主要來源于配重塊的制造、裝配誤差和測量誤差。因此，該無試重動平衡方法所求解出的所有動平衡方案均可減小折線軸旋轉時的不平衡量，配重塊的結構反求設計方法行之有效。另外，將該無試重動平衡方法進行拓展，考慮其他彈性單元及氣體壓縮后的反力，可用于折線軸裝配后的搖擺泵整體動平衡。

表2 實驗數據對比Tab.2 Contrasts of the experimental data

4 結 論

在搖擺泵研制過程中，為了滿足折線軸無試重及多方案快速動平衡的需求，通過建立基于配重塊特征值的動平衡狀態參數模型及多元參數化結構反求設計方法，形成了適用于折線軸的無試重動平衡方法。通過該方法，不僅有效地降低了折線軸旋轉時的不平衡量，還可以提供多種動平衡方案以便搖擺泵的迭代設計，為泵組的整體動平衡提供了新方法，也對通過零件特征值進行結構尺寸的反求設計提供了新思路。