基于有效奇異值數量規律的滑動軸承轉子軸心軌跡提純研究

郭明軍， 李偉光， 楊期江， 趙學智

(1. 華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州 510640；2. 廣州航海學院 輪機工程學院，廣州 510725)

轉子系統是旋轉機械的核心部分，其工作性能直接決定旋轉機械的穩定性和安全性，在長期運行過程中，轉子系統會受到各種隨機因素的影響，使其表現出極其豐富的動力學行為，而許多機械故障與轉子振動行為密切相關[1]。因此，基于轉子系統振動信號的旋轉機械狀態監測與故障診斷是一種行之有效的方法。軸心軌跡是轉子振動信號的重要組成部分，工程當中常采用軸心軌跡來監測旋轉機械的運動狀態，在同一軸截面相互垂直布置兩個位移傳感器來獲取轉子振動位移信號，然后將兩個位移信號合成為軸心軌跡[2]。轉子軸心軌跡包含著豐富的故障信息，在旋轉機械故障診斷當中有重要的作用，然而實際采集的振動信號通常會受到諸如電機工頻干擾、轉子碰磨及其他隨機噪聲等各種因素的影響，導致直接合成的軸心軌跡形狀很復雜而無法判斷其故障[3]。如何獲取清晰且真實的軸心軌跡，是軸心軌跡提純的研究內容，國內外許多學者對軸心軌跡提純進行了大量研究，常用的方法包括：數字或模擬低通濾波法、小波變換和小波包變換、粒子群算法、EMD(Empirical Mode Decomposition)降噪[4]及形態濾波[5]等。上述這些降噪方法一般都存在頻帶選擇不明確、降噪畸變大、初相位影響嚴重等問題，而軸心軌跡提純的本質是對原始振動信號進行降噪處理后合成軸心軌跡[6]。因此，需要對已有的降噪方法進行改進或尋求新的方法，以達到理想的軸心軌跡提純效果。

近年來，奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)技術被廣泛應用于消噪、信號特征提取、數據壓縮、圖像處理、語音識別及故障診斷等領域[7-11]。經實踐證明，SVD是一種有效的降噪方法，可用于受加性噪聲污染的信號增強[9]。趙學智等[10]提出根據奇異值差分譜的峰值位置確定有用分量的個數，并從理論上證明了采用Hankel時SVD可以將信號分解為一系列分量信號的簡單線性疊加。張景潤等[11]進一步將奇異值差分譜理論應用于大型軸承試驗臺主軸的軸心軌跡提純。遺憾的是，奇異值差分譜理論僅僅是利用奇異值的簡單相減，缺乏普遍適用性。文獻[12]深入研究了有效奇異值個數與有用信號的基本參數(幅值、相位、頻率)及其頻率個數的關系，發現在Hankel矩陣方式下，信號的有效奇異值數量取決于頻率個數，而與其基本參數無關，每一個頻率成分總是最多只產生兩個相鄰的非零奇異值，頻率的幅值越大，則其對應的兩個奇異值也越大。

本文針對實測的主軸位移信號存在噪聲污染的問題，提出基于有效奇異值數量規律的軸心軌跡提純方法，并與基于EMD的改進諧波小波算法進行軸心軌跡提純的效果作對比，同時給出單獨采用EMD或諧波小波的軸心軌跡提純結果。此外，筆者研究發現，當奇異值差分譜的首個峰值和緊隨其后的差分譜幅值很接近(≥97.16%)時，若還是根據最大峰值位置確定的奇異值個數來重構信號，將會導致提純的軸心軌跡發生扭曲而無法判斷轉子的故障類型，并從能量損失的角度對這種情況進行了剖析，最后指出，在此種情況下應該以第2個差分譜峰值對應的分量個數重構信號才能提純到正確的軸心軌跡。

1 SVD基本理論

對任意實矩陣A，其奇異值分解表示為[13]

A=UΣVT

(1)

式中：U=(u1,u2,…,um)∈Rm×n；V=(v1,v2,…,vn)∈Rn×n分別為左奇異矩陣和右奇異矩陣且都為正交矩陣,ui∈Rm×1,vi∈Rn×1分別為左奇異向量和右奇異向量；Σ=diag(σ1,σ2,…,σr)為對角矩陣,其對角線元素為按降序排列的奇異值, 即σ1≥σ2≥…≥σr≥0，r=min(m,n)是矩陣A的秩。

將矩陣U,V的各個分量分別代入式(1)，可將其改寫為如下的分量形式

(2)

(3)

由式(3)可知，在Hankel矩陣方式下，從原信號中提取某一個分量信號的過程通過簡單的減法運算即可實現，這種減法運算并不會影響各分量信號在原信號中的相位，即具有零相位偏移特性。

2 基于有效奇異值數量規律的特征提取原理

基于有效奇異值數量規律的特征提取算法主要包括三個步驟： Hankel的構造及分解、有效奇異值選擇及分量信號重構。

2.1 Hankel矩陣構造

式(1)中的矩陣A通常采用Hankel矩陣結構，對正弦信號x(t)=asin(2πft+θ)以采樣間隔Ts進行離散化， 可得X=[x(1),x(2),…,x(N)]， 利用離散序列X按照以下方法構造Hankel

(4)

矩陣A稱為重構吸引子軌跡矩陣，也稱為Hankel矩陣。趙學智等的研究證明了噪聲去除量與列數呈拋物線的對稱關系，并得出結論：如果信號長度N為偶數，應取列數n=N/2、行數m=N/2+1來構造Hankel矩陣；如果N為奇數，應取列數n=(N+1)/2、行數m=(N+1)/2來構造Hankel矩陣。

2.2 有效奇異值選擇

趙學智等研究發現，在Hankel矩陣方式下，信號的有效奇異值數量取決于頻率個數，而與信號的基本參數(頻率、幅值和相位)無關，每一個頻率成分總是最多只產生兩個相鄰的非零奇異值，頻率的幅值越大，則其對應的兩個奇異值也越大。若某個特征頻率在幅值譜中的幅值大小排序為i，則選擇奇異值分布圖中的第2i-1與第2i個奇異值及其對應的奇異向量重構分量矩陣，即

(5)

(6)

根據SVD理論， 奇異向量ui,vi都是規范正交向量，故可得

(7)

(8)

2.3 分量信號重構

(9)

(10)

2.4 算法流程

根據上述原理，提出一種基于有效奇異值數量規律的軸心軌跡提純算法(簡稱有效值法)，其具體步驟如下：

步驟1對某個給定的信號x′(t)， 進行零均值化處理后得到信號x(t)， 利用信號x(t)構造Hankel矩陣A。

步驟2對矩陣A進行奇異值分解處理，得到所有降序排列的奇異值，即有σ1≥σ2≥…≥σr， 及其對應的左、右奇異向量ui∈Rm×1和vi∈Rn×1。

3 試驗分析

3.1 試驗裝置介紹

作者所在團隊研制了能夠模擬汽輪機實際工況的滑動軸承試驗臺，該試驗臺主要由驅動系統、潤滑系統、控制系統、采集系統及機械結構等部分組成；采用空氣彈簧有效隔離地基傳遞到試驗臺的振動，在小鑄鐵臺面和大鑄鐵臺面之間以及水泥地基與大鑄鐵臺面之間都增加了減振阻尼材料，降低外界干擾對軸承-轉子系統的影響，從而最大程度地隔絕外界因素對試驗臺的干擾。圖1為轉子-軸承系統示意圖，圖2為試驗臺實物圖。

圖1 轉子-軸承系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of rotor-bearing system

圖2 試驗臺實物圖Fig.2 Rotor test-bed

3.2 位移信號測量

分別在轉子兩端垂直方向兩邊斜45°位置各布置一個電渦流傳感器，標記為D1，D2，D3，D4，左端位移傳感器安裝如圖3所示。利用便攜式LMS SCADASD多功能數據采集系統(見圖4)對轉子振動信號進行采集。

圖3 位移傳感器測點布置Fig.3 Location of displacement sensor

圖4 LMS數據采集系統Fig.4 LMS data acquisition system

3.3 振動信號預處理

本文對某次試驗(采樣頻率為1 024 Hz)中支承1兩側的位移信號D1(X方向)和D2(Y方向)進行分析，其時域波形如圖5所示，從圖中可以看出位移信號當中同時包含直流分量和交流分量，因此需要進行隔離直流分量處理，其結果如圖6所示。

圖5 位移信號時域波形Fig.5 Time domain waveform of displacement signal

圖6 去直流分量位移信號的時域波形及頻譜圖Fig.6 Time domain waveform and spectrum of signals with DC components removed

由圖6可知，信號中23 Hz和46 Hz對應的分量信號幅值較大，同時在全頻段內存在隨機噪聲的干擾。

4 軸心軌跡提純

研究表明軸心軌跡的形狀與故障類型存在密切關系，如外“8”字形或香蕉形對應不對中故障、內“8”字形對應油膜渦動故障等。然而，實際采集到的振動信號，由于受到各種噪聲的干擾，導致直接合成的軸心軌跡雜亂無章而難以判斷轉子的故障類型。

下面，將本文提出的有效奇異值法應用于大型轉子的軸心軌跡提純，并與差分譜方法及基于EMD的改進諧波小波算法的提純效果對比，同時給出單獨采用EMD及諧波小波的軸心軌跡提純結果。

4.1 基于有效值法的軸心軌跡提純

4.1.1 軸心軌跡提純

采用有效值法對圖6所示的信號進行處理，利用圖6的兩個信號分別構造513×512維的Hankel矩陣A和B并對其進行奇異值分解。奇異值分布如圖7(a)和圖7(b)所示，為方便顯示，圖7中只給出前50個奇異值的分布情況。

圖7 奇異值分布曲線Fig.7 Curve of singular values

圖8 信號重構結果Fig.8 Results of signal reconstruction

由圖6中的原始信號合成的軸心軌跡如圖9(a) 所示，由圖可見，原始軸心軌跡顯得雜亂無章，無法判斷轉子的故障類型。而由圖8中的重構信號合成的軸心軌跡如圖9(b) 所示，由圖可知，提純后的軸心軌跡為明顯的外“8”字形，依此可判斷滑動軸承試驗臺轉子存在不對中故障。另外，根據文獻[15]的研究結果，轉子信號中出現1/2倍頻的原因有動靜件碰磨及油膜振蕩等，有關這個現象的具體的機理有待后續進一步研究。

圖9 原始及提純軸心軌跡圖Fig.9 Original and purified axis trajectories

4.1.2 有效值法的頻率定位特性

理論上，采用有效值法能夠提取頻譜圖中任意的頻率成分，前提是要知道頻率的幅值大小排序。為了驗證這種特性，以圖6(c)中的D1的頻譜圖為例，將前6個降序排列的幅值及其對應的頻率列于表1。

表1 前6個降序排列的幅值及對應的頻率Tab.1 The first 6 descending magnitude and frequency

以提取137 Hz分量信號為例(由表1可知該頻率排在第6位)，采用有效值法選擇圖7(a)所示的中的第11和第12個奇異值進行重構，結果如圖10所示。重構信號幅值為0.005 3與原始幅值0.004 9相差甚微，可見該分量信號幾乎完整的被提取出來。

圖10 137 Hz分量信號提取結果Fig.10 Extraction results of 137 Hz signal

4.2 與其他軸心軌跡提純方法對比

4.2.1 基于差分譜理論的軸心軌跡提純

張景潤等提出一種基于奇異值差分譜理論的軸心軌跡提純方法(簡稱差分譜法)，根據奇異值差分譜的首個峰值的位置來確定有效奇異值個數。其基本理論如下：

(1) 能量的累積貢獻率

本文“2.2”節中已經證明了分量信號的能量大小與其幅值或奇異值的平方成正比，據此，我們定義能量的累積貢獻率來衡量重構信號的重構完整度

(11)

式中：k為主奇異值個數；m為有效奇異值個數(σi≥1)。

(2) 差分譜理論

所謂奇異值差分譜是指相鄰的兩個奇異值兩兩相減而得到的差分序列，即

bi=σi-σi+1(i=1,2,…,k-1)

(12)

稱bi形成的序列B=(b1，b2，…，bk-1)為奇異值差分譜。根據差分譜的定義，奇異值序列在位置k處發生一個最大突變，這種突變反映了有用信號和噪聲的相關性的差異，代表理想信號和噪聲的分界。據此，可以確定k的數值。

對圖6中的位移信號進行SVD分解，得到的差分譜圖及奇異值曲線如圖11所示(圖中只給出前50個值)。

圖11 位移信號的奇異值及其差分譜圖Fig.11 Singular value and difference spectrum of signals

(3) 軸心軌跡提純及其畸變原因分析

為了便于分析我們將圖11中的主要特征值列于表2中。

表2 位移信號的主要奇異值Tab.2 The main singular value of D1 and D2

由圖11(a)可知，差分譜最大峰值坐標為(4, 2.192)，而緊隨其后的峰值坐標為(6, 0.462 8)，后者幅值僅為前者的21.11%，故選前4個奇異值對應的分量重構D1，結果如圖12(a)和圖12(b)所示。由圖11(b)可知，差分譜最大峰值位置坐標為(2,1.797)，而緊隨其后的峰值坐標為(4,1.746)，后者幅值為前者的97.16 %，分別選擇前2個及前4個奇異值對應的分量重構D2，結果如圖12(c)～圖12(f)所示。

采用圖12(a)和圖12(c)中的兩個信號合成的軸心軌跡如圖13(a)所示，可見與圖9(a)相比，該軸心軌跡發生了嚴重的畸變，無法判斷轉子的故障類型。由圖12(d)可知，此時提純的D2信號中只有一個頻率成分(46 Hz),對應表1中的前2個奇異值(5.719 2，5.694 2)，此時可算出能量貢獻率為53.03%(k2=2，m2=16)。另外,我們將信號D2的差分譜B2的前幾個值放于表2中，從表中可清晰地看到b2≈b4，(即第2個奇異值與第3個奇異值之差與第4個奇異值與第5個奇異值之差幾乎相等)，說明此時幅值第2大的頻率(23 Hz)與幅值最大(46 Hz)及幅值第3大(114 Hz)的兩個頻率之間的能量差幾乎相等。根據上述分析可知，若根據b2(即最大峰值)位置提純D2將會損失23 Hz成分對應的能量，這是造成軸心軌跡發生畸變的本質原因。

圖12 基于差分譜法的重構信號Fig.12 Reconstruction signals based on singular value difference spectrum method

采用圖12(a)和圖12(e)中的兩個信號合成的軸心軌跡如圖13(b)所示，可見提純結果與圖9(a)的完全一樣，都能識別出轉子的不對中故障。由圖12(f)可知，此時提純的D2信號中含有兩個頻率成分(23 Hz和46 Hz),對應表1中的前4個奇異值(5.719 2，5.694 2，3.897 7，3.880 3)，此時可算出能量貢獻率為77.66%(k2=4，m2=16)，提純信號較好的保留了原始信號的能量。

圖13 基于差分譜法的提純軸心軌跡Fig.13 Purified axis trajectories based on singular value difference spectrum

4.2.2 基于改進諧波小波算法的軸心軌跡提純

鑒于實測的轉子振動信號較為復雜，無論是單獨使用EMD方法還是諧波小波變換方法都無法全面反映振動信號的特征，而且使用其中任何一種方法提純軸心軌跡的效果都不理想。因此，越來越多的學者將傳統的信號分析方法結合起來，并取得了較為理想的效果[14-16]。針對實測振動信號的非平穩特性，提出基于EMD的改進諧波小波算法用于滑動軸承試驗臺轉子軸心軌跡提純。算法流程如圖14所示。

圖14 改進諧波小波算法提純軸心軌跡的流程圖Fig.14 Flow chart of improved harmonic wavelet algorithm

分別采用EMD、諧波小波變換及圖14所示的基于EMD的改進諧波小波算法分別對圖6所示信號進行軸心軌跡提純，結果如圖15所示。由圖15(a)可知，直接采用EMD提純的效果最差，軸心軌跡混亂；圖15(b)為采用諧波小波算法提純的軸心軌跡，外“8”字的頭部消失；而圖15(c)所示算法相對較好，能看出外“8”字輪廓。圖15(a)～圖15(c)的結果都比有效值法的提純效果差很多。

圖15 傳統方法提純的軸心軌跡圖Fig.15 Axis trajectory diagram purified by traditional method

5 結 論

總結全文可以得出如下結論：

(1) 提出一種基于有效奇異值數量規律的軸心軌跡提純方法，采用該方法提純的軸心軌跡清晰、干凈、聚集性好，成功識別了大型滑動軸承試驗臺轉子的不對中故障；該法同樣適用于其他工程旋轉機械的故障診斷，具有廣泛的應用前景。

(2) 通過工程實例分析，發現了基于差分譜理論提純軸心軌跡方法的缺陷，從能量損失的角度，分析了軸心軌跡發生畸變的原因，指出當奇異值差分譜的首個峰值和緊隨其后的差分譜幅值很接近(≥97.16%)時，應該以第2個差分譜峰值對應的分量個數重構信號才能提純到正確的軸心軌跡，從而進一步完善了差分譜理論。最后指出，利用改進的差分譜法的軸心軌跡提純效果與本文提出的有效值法的效果相當。

(3) 提出一種基于EMD的改進諧波小波算法，成功識別轉子的不對中故障，但提純效果比有效值法差得多；同時給出了單獨使用EMD及諧波小波提純軸心軌跡的效果，其中前者提純的軸心軌跡無法識別轉子的故障類型，而后者提純的圖形外“8”字形頭部消失，兩者的提純效果都比有效值法的更差。