基于高階阻抗傳遞函數的車輛ISD懸架優化設計與性能分析

沈鈺杰， 劉雁玲， 陳 龍， 楊曉峰， 仇成群

(江蘇大學 汽車工程研究院，江蘇 鎮江 212013)

新型被動車輛ISD(Inerter-Spring-Damper)[1-3]懸架系統由于其優越的隔振性能，目前已受到工程領域的廣泛關注。車輛ISD懸架系統中的核心元件慣容器[4]的提出，完善了機電相似性理論中的不完全對應現象[5]，因此，可以將電學網絡中成熟的理論應用于機械網絡系統的設計。電學系統中無源網絡綜合理論[6]的核心思想是利用電感、電阻和電容元件將已知阻抗傳遞函數進行被動實現。對應到機械網絡中，即可應用彈簧、阻尼器和慣容器對其進行綜合實現。近年來，國內外學者圍繞機械網絡的無源網絡綜合開展了新一輪研究，證實了其在機械隔振領域的有益效果[7-11]。

文獻[12]最早研究了應用線性矩陣不等式的方法對車輛ISD懸架系統進行網絡綜合優化設計，結果表明懸架的綜合性能可以得到有效提升。文獻[13]在原有的雙二次型阻抗傳遞函數基礎上，進一步研究了雙三次型阻抗傳遞函數對火車懸架性能提升的效果，結果顯示，雙三次型阻抗傳遞函數相較于雙二次型阻抗傳遞函數，其性能可得到顯著改善。然而，在車輛懸架系統的結構設計中，高階阻抗傳遞函數對應的網絡元件數量眾多，單純的機械網絡難以工程實現與應用。機電慣容器[14]是近年來提出的一種新型慣容器實現裝置，其利用機械式慣容器與電機進行耦合設計的結構方案，通過電機外端網絡的電阻抗模擬實現目標機械阻抗的方式，為實現復雜的網絡結構提供了新的解決途徑。

因此，本文以應用機電慣容器的車輛ISD懸架作為研究對象，探索應用高階阻抗傳遞函數進行車輛ISD懸架系統結構設計的提升效果，通過篩選機電慣容器的結構特征，對高階阻抗傳遞函數進行降階轉換，并利用改進的粒子群算法對其進行優化求解，最終給出懸架系統的具體實現方案，力圖給車輛ISD懸架的研究提供新的思路。

1 基于高階阻抗傳遞函數的懸架模型構建

本文選取雙三次型阻抗傳遞函數作為研究對象，構建了車輛1/4懸架動力學模型，如圖1所示。

圖1 車輛1/4懸架模型Fig.1 Quarter car model

圖1中：ms為簧載質量；mu為非簧載質量；K為懸架彈性元件的剛度；Kt為輪胎的等效彈簧剛度；zr為路面垂向的位移輸入；zu為非簧載質量的垂向位移；zs為簧載質量的垂向位移；T(s)為待優化設計的懸架系統阻抗表達式。根據牛頓第二運動定律，可以得到車輛1/4懸架模型的動力學拉氏方程為

mss2Zs+[K+sT(s)](Zs-Zu)=0

(1)

mus2Zu-[K+sT(s)](Zs-Zu)+Kt(Zu-Zr)=0

(2)

式中：Zr，Zu與Zs為相應變量的拉普拉斯變換形式；s為拉氏變量。懸架系統的模型參數如表1所示。

表1 懸架模型參數Tab.1 Parameters of suspension model

T(s)為雙三次速度型阻抗傳遞函數，其標準形式的表達式為

(3)

式中：A，B，C，D，E，F，G，H≥0；E，F，G與H不全為0。由于所設計的車輛ISD懸架是被動型懸架系統，其需滿足的正實性約束條件為[15]

(C+G)(B+F)≥(D+H)(A+E)

(4)

(5)

當a3>0，a0≥0時,

(6)

(7)

(8)

其中，

a0=DH

(9)

a1=CG-DF-BH

(10)

a2=BF-CE-AG

(11)

a3=AE

(12)

從式(4)～式(12)可知，若以雙三次型阻抗傳遞函數作為研究對象，其可以被動實現的條件，即正實條件較為復雜，且網絡綜合過程繁瑣，不易于工程化實現。根據Bott-Duffin無變壓器綜合法[16]可知，雙三次型阻抗傳遞函數的網絡綜合需要用最多13個元件串并聯進行被動實現。因此，可以考慮根據現有的結構特征對其進行降階轉換。

2 高階阻抗傳遞函數的降階轉換

由Brune綜合法及Bott-Duffin綜合法的基本變換Foster循環[17]可知，串聯或并聯地提取出一個電抗元件(電感或電容)可使得原傳遞函數的階數降低；串聯或并聯地提取出一個電阻元件(電阻)則不改變原傳遞函數的階數。

當選擇機電慣容器作為機械網絡與電網絡之間的電信號與機械力信號的傳遞裝置時，機電慣容器始終存在于懸架系統中，且始終與外端負載電路的電網絡阻抗相并聯。因此，本文對原雙三次型阻抗傳遞函數作如下變換：

步驟1分別串聯或并聯地提取出一個阻尼器元件；

步驟2并聯地提取出一個慣容器元件。

其中，步驟1不僅不改變原雙三次型阻抗傳遞函數的階數，而且避免了結構的遺漏。步驟2中由于所述機電慣質的電網絡與機械式慣容器始終并聯，因此并聯的提取出慣容器元件，由此實現了原雙三次型阻抗傳遞函數的降階轉換。經由步驟1與步驟2變換后得到的懸架結構示意圖如圖2所示。

圖2 降階轉換示意圖Fig.2 Schematic of reducing order

圖2中：bm為機械式慣容器；c0與cm為機械阻尼器； 其中c0為0或cm為無窮大。此時，轉換后的懸架結構速度型阻抗表達式為

(13)

經過變換后的阻抗傳遞函數T1(s)為雙二次型，其標準型表達式為

(14)

而式(14)為正實函數[18]的充要條件是

(15)

應用以上的變換方法，具有以下優勢：

(1) 通過Foster循環步驟提取得到的元件可以作為懸架的機械網絡基礎結構，即當電網絡失效時，同樣可以具有相應隔振性能的懸架系統；

(2) 將原有的雙三次型阻抗傳遞函數通過Foster循環步驟實現了降階，有效解決了高復雜度阻抗傳遞函數的網絡綜合過程，使得具體的懸架結構更容易通過網絡綜合實現。

可以得到降階轉換前后傳遞函數系數之間的關系式為

A=bmcmD0

(16)

B=cm(bmE0+c0D0+A0)

(17)

C=cm(bmF0+c0E0+B0)

(18)

D=cm(c0F0+C0)

(19)

E=bmD0

(20)

F=cmD0+bmE0+c0D0+A0

(21)

G=cmE0+bmF0+c0E0+B0

(22)

H=c0F0+cmF0+C0

(23)

3 參數優化

3.1 優化目標的選取

車輛在行駛過程中，既要滿足良好的舒適性要求與輪胎的接地性要求，同時懸架的動行程應滿足一定的約束范圍，以防止懸架撞擊車身影響舒適性。因此，本文綜合考慮在隨機路面輸入條件下的車身加速度均方根J1、懸架動行程均方根J2以及輪胎動載荷均方根J3為優化目標，將多目標函數進行線性組合轉換為單目標函數[19]。其具體表達式為

(24)

式中：J1，J2與J3為待優化的車輛ISD懸架車身加速度均方根、懸架動行程均方根與輪胎動載荷均方根；J1pas，J2pas與J3pas分別為傳統被動懸架的車身加速度均方根、懸架動行程均方根與輪胎動載荷均方根。假設汽車以40 km/h的車速行駛在C級路面上，仿真時長為10 s，采樣時間為0.001 s。

3.2 優化約束條件

3.2.1 傳遞函數的正實性約束

本文所要優化的變量為bm，c0，cm，A0，B0，C0，D0，E0，F0共9個參數，根據機械網絡元件的存在性意義可知，優化變量的約束范圍為

(25)

式中：D0，E0，F0不全為0。此外，要滿足T1(s)為正實函數，還需滿足式(15)所給出的約束條件。

3.2.2 懸架系統性能的約束

在優化過程中，將傳統被動懸架的三個性能指標作為對比約束指標，當適應度函數值超出其約束條件時，將適應度函數進行懲罰，懲罰規則為將其與一個較大的數值相加，本文取100 000。懸架的性能約束條件為

J1≤J1pas,J2≤J2pas,J3≤J3pas

(26)

3.3 優化算法的設置

本文采用改進的多種群粒子群算法中同時包含多個種群，并行的種群數量設為20。種群中粒子的位置與速度更新規則為

(27)

所述改進的粒子群算法各種群間的進化過程相對獨立，同時包含交叉與變異操作。其中，交叉操作的位置產生規則如式(28)所示

a1=rand(n),a2=rand(n)

(28)

式中：a1與a2為選擇的交叉個體位置。交叉操作的具體表述為

(a1≠a2)&(fa1≠fbest)&(fa2≠fbest)

(29)

式中：fa1，fa2為對應位置個體的適應度值；fbest為最優個體的適應度值。所述變異操作的實現條件為

fn>fn+1

(30)

式中：fn為變異之前的適應度函數值；fn+1為變異之后的適應度函數值。

表2 優化參數Tab.2 Optimized parameters

可以得到的所設計的雙三次型阻抗傳遞函數的表達式為

經過降階轉換得到的雙二次型阻抗傳遞函數的表達式為

優化得到的雙三次型阻抗傳遞函數與雙二次型阻抗傳遞函數Bode圖，如圖3所示。

從圖3可知，優化得到的雙二次型阻抗傳遞函數T1(s)與雙三次型阻抗傳遞函數T(s)在低頻段均呈現出慣性特性。對于T1(s)來說，隨著頻率的增加，其慣性特性逐漸轉變為剛度特性，且過渡段平穩無波動。而對于T(s)來說，隨著頻率的增加，其慣性特性也逐漸減小并轉變為阻尼特性。需要指出的是，由“彈簧-阻尼器”二類機械元件組成的傳統懸架系統中則無法呈現出慣性特性，這便是傳統懸架結構性能提升受到限制的主要因素，也是含有慣容器的車輛ISD懸架具備更優越隔振性能的原因所在。

圖3 優化結構Bode圖Fig.3 Bode scheme of the optimized structure

4 仿真分析

4.1 頻域分析

若將懸架系統看做一個整體阻抗傳遞函數：TT(s)，通過對懸架動力學模型的分析計算，分別得到車身加速度對路面輸入垂向位移的頻響函數為

(31)

懸架動行程對路面輸入垂向位移的頻響函數為

(32)

輪胎動載荷對路面輸入垂向位移的頻響函數為

(33)

圖4～圖6分別為懸架系統的車身加速度增益對照圖，懸架動行程增益對照圖和輪胎動載荷增益對照圖。

從圖4～圖6可知，相較于傳統被動懸架，車輛ISD懸架系統的隔振性能有了較為顯著的提升。從車身加速度增益圖可以看出，在低頻與高頻的兩個共振峰值處，車輛ISD懸架的共振峰值明顯小于傳統被動懸架，其中車身加速度增益在低頻段的共振峰值降低了42.7%，高頻共振峰值降低了2.8%，低頻段的改善效果比高頻段更為顯著。而在中頻段2～10 Hz，車輛ISD懸架的車身加速度增益相較于傳統被動懸架略有惡化。

對于懸架動行程增益來說，從其增益圖可以看出，本文研究的車輛ISD懸架在全頻域范圍內均優于傳統被動懸架，其中，懸架動行程增益在低頻段的共振峰值降低了36.4%，高頻共振峰值降低了28.7%，改善效果較為明顯。

圖4 車身加速度增益圖Fig.4 Gain of vehicle body acceleration

圖5 懸架動行程增益圖Fig.5 Gain of suspension working space

圖6 輪胎動載荷增益圖Fig.6 Gain of dynamic tire load

對于輪胎動載荷增益而言，其相對趨勢與車身加速度相同，在低頻與高頻共振處的峰值均得到有效抑制，其中，低頻段的共振峰值降低了42.0%，高頻共振峰值降低了22.6%。高頻共振處峰值的改善較之車身加速度增益的改善更為明顯，然而在中頻段2～8 Hz內，其增益值相較于傳統被動懸架均略有惡化。

4.2 時域分析

假設車輛行駛在C級路面，仿真中采用的路面輸入模型[20]如式(34)所示

(34)

式中：u為行駛車速；zr(t)為路面的不平度的垂向輸入位移；Gq(n0)為路面不平度系數；w(t)為白噪聲信號。圖7～圖10分別給出了車速為40 km/h條件下路面輸入曲線時域圖、車身加速度響應曲線、懸架動行程響應曲線和輪胎動載荷響應曲線。表3給出了不同車速的隨機路面輸入條件下，車輛ISD懸架與傳統被動懸架的動態響應指標對照表。

圖7 路面輸入曲線Fig.7 Random road input

圖8 車身加速度響應曲線Fig.8 Vehicle body acceleration in time domain

圖9 懸架動行程響應曲線Fig.9 Suspension working space in time domain

圖10 輪胎動載荷響應曲線Fig.10 Dynamic tire load in time domain

表3 隨機路面輸入條件下性能指標對照表Tab.3 Performance indexes in random road input

相較于傳統被動懸架，本文研究的車輛ISD懸架的隔振性能具有顯著的優勢。其中，在車速為30 km/h，40 km/h和50 km/h條件下，懸架動行程均方根值分別減小了19.69%，20.63%和19.84%，輪胎動載荷均方根值分別減小了11.22%，11.20%和11.19%，而車身加速度均方根的提升效果較小，分別僅降低了0.77%，0.66%和0.54%。總體而言，相較于傳統被動懸架，車輛ISD懸架系統的隔振性能得到了有效的提升。

5 高階阻抗傳遞函數的網絡綜合實現

根據雙二次型阻抗傳遞函數網絡綜合實現的最簡實現判據可知，本文優化得到的T1(s)滿足Jiang等提出的正則(Regular)條件，可用5個元件串并聯進行被動實現。其對應的電網絡圖和機械網絡圖分別如圖11和圖12所示。

從圖11和圖12可知，雙二次型阻抗傳遞函數可用三個阻尼器、一個彈簧和一個慣容器元件組成，對應到電網絡中即為三個電阻元件、一個電感元件和一個電容元件。以圖12為例，表4給出了機械網絡元件參數的具體數值。

圖11 電網絡元件圖Fig.11 Electric network elements

圖12 機械網絡元件圖Fig.12 Mechanical network elements

名稱數值懸架彈簧剛度K/(N·m-1)22 000慣質系數bm/kg93.57慣質系數be/kg474.36阻尼系數cm/(N·s·m-1)1 840.98阻尼系數c1/(N·s·m-1)1.04阻尼系數c2/(N·s·m-1)10 800.15阻尼系數c3/(N·s·m-1)1.32彈簧剛度k/(N·m-1)613 961

當所選用的結構方案為機械網絡元件時，如表4所示。所設計的車輛ISD懸架共有8個元件(包含支撐彈簧元件)組成，在工程上難以實現，因此可以考慮利用如圖11所示的等效電網絡元件對其進行模擬實現，便于工程應用。

6 結 論

(1) 本文研究了高階阻抗傳遞函數在車輛懸架系統結構設計時的性能提升效果，結果表明，高階阻抗傳遞函數可有效提升懸架系統的綜合性能，其中，懸架動行程均方根值最多減小了20.63%，輪胎動載荷均方根值最多減小了11.22%，而車身加速度均方根的提升效果較小。

(2) 針對應用機電慣容器的車輛ISD懸架結構特點，本文提出了一種高階阻抗傳遞函數的降階轉換方法，實現了高階阻抗傳遞函數的網絡綜合被動實現，雙三次型阻抗傳遞函數可僅用7個元件進行被動實現，減小了網絡的復雜度。

(3) 根據機電相似性理論，當機械網絡較為復雜，不易于工程實現的情況下，利用電網絡元件進行模擬等效的機械網絡元件的方式，可極大的降低機械網絡元件的結構復雜度，有助于工程化應用。