一種雙擺效應橋式起重機光滑魯棒控制方法

孫 寧， 張建一， 吳易鳴， 方勇純

(南開大學 機器人與信息自動化研究所，天津 300350)

隨著現(xiàn)代工業(yè)化的發(fā)展，越來越多的欠驅動系統(tǒng) 被應用到工業(yè)生產中，其自動控制的實現(xiàn)也得到了自動化領域相關研究人員的廣泛關注[1-5]。起重機系統(tǒng)是一類典型的欠驅動機電一體化系統(tǒng)，其具有很強的運載能力，目前被大量應用于貨倉、車間、海港等其它工業(yè)場所，以完成貨物裝載與物料運輸等工作。在貨物運輸過程中，由于系統(tǒng)狀態(tài)之間高度耦合以及外界干擾的存在，當臺車做加減速運動時，負載將不可避免地產生擺動，在這種情況下，貨物運輸的效率將受到極大的影響，同時還會帶來安全隱患。目前，大部分的起重機系統(tǒng)仍采用人工操作的方式，而在一些對運輸精度有較高要求的應用場所，僅靠人工操作很難實現(xiàn)對起重機的精準控制，同時難以消除負載殘余擺動，帶來安全隱患。因此，綜合考慮上述現(xiàn)有問題，實現(xiàn)起重機系統(tǒng)的高性能自動控制具有十分重要的應用價值與意義。然而，起重機系統(tǒng)具有復雜的欠驅動特性，其自動控制問題依然存在許多難點與挑戰(zhàn)。

為解決上述所提問題，近年來國內外相關學者針對起重機系統(tǒng)的防擺問題展開了深入的研究[6-19]。然而，大多數現(xiàn)有研究均將臺車與負載視為單級擺動結構。但在實際應用中，相對于負載而言，吊鉤質量無法直接忽略不計，而且吊鉤與負載之間也存在一定的距離。在這種情況下，不僅吊鉤會圍繞臺車擺動，負載也會繞吊鉤產生二級擺動。因此，相比于單擺結構，考慮雙擺效應的起重機模型能夠更準確地反映系統(tǒng)的真實特性。然而，兩級擺動效應給系統(tǒng)增加了一維不受控狀態(tài)量，使系統(tǒng)的欠驅動性更強，其控制問題更是難上加難。目前，現(xiàn)有的基于單擺起重機的控制方法大多難以直接應用于雙擺起重機系統(tǒng)或是難以得到理想的控制效果。

綜上可知，針對雙擺起重機系統(tǒng)， 設計有效的控制方法具有理論與實際的雙重重要意義。截至目前，已有部分學者針對雙擺起重機的控制問題提出了一些行之有效的控制方法，其中，現(xiàn)有方法大多數為開環(huán)控制方法[20-23]。Singhose等應用輸入整形技術生成了臺車運行的軌跡，并利用跟蹤控制器對該軌跡進行跟蹤，實現(xiàn)了臺車定位，并消除了負載擺動。Zhang等針對雙擺起重機消擺問題提出了一種在線軌跡規(guī)劃方法。需要指出的是，雖然開環(huán)控制方法易于實現(xiàn)，但它們對系統(tǒng)參數不確定性以及外部干擾的影響十分敏感；另一方面，由于針對雙擺起重機控制問題的研究仍處于早期階段，相比于開環(huán)控制方法，閉環(huán)控制方法較少[24-29]。其中，Tuan等提出了一種離散變結構控制方法來實現(xiàn)對臺車的精確定位以及兩級擺動抑制。為了抑制系統(tǒng)的兩級擺動，Masoud等構造了一種延時反饋控制器。針對雙擺起重機系統(tǒng)中存在參數不確定性的情況，Sun等提出了一種自適應防擺控制策略，實現(xiàn)了臺車的精準定位，并有效的抑制了系統(tǒng)的雙擺擺動。此外，郭衛(wèi)平等提出了一種基于系統(tǒng)無源性分析的方法，仿真結果證明其可以在一定程度上抑制系統(tǒng)的兩級擺動。

針對存在兩級擺動現(xiàn)象的起重機系統(tǒng)，本文提出了一種基于超螺旋(super twisting)的光滑魯棒防擺控制策略，其能夠在保證臺車快速精準定位的前提下實現(xiàn)對雙擺效應的有效抑制。具體來講，首先分析了系統(tǒng)的動力學特性并簡化了系統(tǒng)模型，在此基礎上，構造了一個線性滑模面，并基于超螺旋思想提出了一種非線性魯棒控制器。在理論方面，通過嚴格的理論分析證明了雙擺起重機系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。在實際方面，硬件實驗結果證實了所提控制策略具有優(yōu)良的控制性能以及較強的魯棒性。

1 問題提出

具有雙擺效應的欠驅動橋式起重機系統(tǒng)的示意圖如圖1所示，其動態(tài)方程可以表示為

(1)

(2)

(3)

式中：M為臺車的質量；m1和m2分別為吊鉤和負載的質量；x(t)為臺車的水平位移；θ1(t)和θ2(t)分別為吊鉤和負載相對于豎直方向的擺動角度，即第一級擺動與第二級擺動；L1為吊繩長度；L2為負載中心與吊鉤中心之間的距離；u(t)為施加在臺車上的控制力。

從式(1)～式(3)可以看出，系統(tǒng)有三個被控狀態(tài)量x(t)，θ1(t)和θ2(t)，但只有一個控制輸入u(t)，這表明該系統(tǒng)有兩個欠驅動度，而傳統(tǒng)的單擺起重機的欠驅動度只有一個，因此，本文所研究的問題更具挑戰(zhàn)。

圖1 雙擺橋式起重機結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of double-pendulum bridge cranes

起重機系統(tǒng)的控制目標是驅動臺車到達指定位置xd，同時有效抑制兩級擺動并消除殘余擺動，即

(4)

在后續(xù)內容中，將設計一種魯棒控制器實現(xiàn)式(4)中所描述的控制目標。

2 主要結果

這一節(jié)將詳細描述本文所取得的主要成果。首先，對系統(tǒng)的動力學模型進行了初步分析和處理，進而給出了控制器設計過程以及相應的理論分析。

2.1 模型變換

在進行控制器設計之前，首先對原系統(tǒng)模型式(1)～式(3)進行合理的近似處理。考慮到在實際應用場景中，擺角θ1(t)和θ2(t)通常會保持在10°以內，因此存在近似關系

cosθi≈1, cos(θ1-θ2)≈1, sinθi≈θi

基于上述角度的近似關系，可將原系統(tǒng)模型在平衡點附近做近似線性化處理，同時將式(2)和式(3)分別除以(m1+m2)L1和m2L2，可以得到系統(tǒng)近似模型為

(5)

(6)

(7)

接下來，構造廣義信號

φ=x+L1θ1+L2θ2

(8)

從幾何關系可以看出，上述廣義信號可以近似地反映負載的水平位移。將式(8)對時間t求二階導數，可得

(9)

將廣義信號表達式(9)代入式(7)，并對所得方程進行整理可知

(10)

進一步可以求得θ2(t)關于時間t的一階導數與二階導數的表達式為

(11)

另一方面，用式(7)減去式(6)，易得

(12)

將式(10)和式(11)代入式(12)，整理可得

(13)

同理，不難得到關系式

(14)

結合式(8)、式(10)和式(13)，可以將臺車的位移表示為

(15)

對式(15)求二階導數，不難得到臺車的加速度表達式

(16)

根據式(11)、式(14)和式(16)，可將動力學方程式(6)改寫為

(17)

m1+m2。

綜上所述，可知系統(tǒng)中的所有狀態(tài)量以及控制輸入都可以由新定義信號φ(t)和其導數的代數組合表示，故具有雙擺效應的起重機系統(tǒng)是微分平坦的[30]，且此系統(tǒng)的平坦輸出即是廣義信號φ(t)。針對于這一特性，可以得知由式(5)～式(7)表示的系統(tǒng)動力學方程與式(17)在本質上是等價的。

根據式(17)的結構，更準確的雙擺起重機動力學模型可描述為

(18)

式中：w為集總干擾項，它表示由未建模系統(tǒng)動態(tài)、外界干擾以及近似線性化處理等其它因素所帶來的干擾的集合。因實際物理約束的存在，集總干擾項以及其導數都是有界的，即

(19)

2.2 控制器設計

根據微分平坦性質，可以得知式(4)所描述的控制目標與式(20)是等價的

φ(t)→xd,φ(i)(t)→0,i=1,2, …， 6

(20)

式中：xd為臺車的目標位置。不失一般性，針對于上述控制目標，可以選擇設計控制器使φ(t)能夠跟蹤滿足如下條件的參考軌跡φr(t)

(21)

定義誤差信號為

(22)

進而可得系統(tǒng)開環(huán)誤差方程

(23)

為了實現(xiàn)系統(tǒng)的控制目標，需要設計合適的控制器使e(i)(t)→0,i=0,1,…,6，為此，構造如下的滑模面

(24)

式中：各參數λi,i=0,1, …，4滿足如下赫爾維茲多項式

s5+λ4s4+λ3s3+λ2s2+λ1s+λ0=0

(25)

將滑模面表達式(24)關于時間求導，并結合式(23)，經過整理，易得到

(26)

根據(26)的形式，本文提出一種基于超螺旋的連續(xù)魯棒控制律，表達式為

(27)

式中:sgn(*)為符號函數，當*>0時sgn(*)>0，當*<0時sgn(*)<0，且當*=0時sgn(*)=0；k1和k2為正的控制增益，在理論上需滿足

(28)

式中：q和p為滿足如下關系式的輔助參數

定理1所提控制器式(27)可以實現(xiàn)表達式(4)中描述的控制目標，并可以保證系統(tǒng)中所有閉環(huán)信號有界。

證明將控制器表達式(27)代入式(26)中，可得閉環(huán)動態(tài)方程

(29)

接下來，通過引入變量?，可將式(29)改寫為

(30)

進而，結合式(28)，并應用文獻[31]中定理2，可以推導得出，在有限時間內

(31)

且結合式(19)中給出的邊界條件，進一步可以得知

(32)

根據式(24)中給出的線性滑模面的形式，不難得到

ε(ι)→0,ι=0,1,…，6

(33)

結合式(4)、式(8)、式(20)～式(22)，可以證得

(34)

此外，根據線性滑模面式(24)的性質，結合式(32)可知

ε(ι)∈Λ∞,ι=1, 2, …， 6

(35)

在此基礎上，由式(21)、式(24)和式(27)可推得

υ∈Λ∞

(36)

綜上，結合式(33)～式(36)，可知定理1成立。

注1從式(27)中所給出的控制器形式可以看到控制器包含了高階項[ε(ι)(τ),ι=2,…,5]，這些高階項在實際中均是可以獲取的。具體而言，聯(lián)合式(10)、式(11)、式(13)、式(14)和式(22)，可得

參考軌跡φρ(τ)的高階導數均存在且已知，因此控制器式(27)中所包含的高階項[ε(ι)τ,ι=2, …,5]均可獲得。

3 實驗與分析

為驗證所提出方法的實際控制性能，在自主搭建的雙擺橋式起重機硬件實驗平臺上進行了一系列實驗。硬件實驗平臺如圖2所示，該平臺由機械平臺與電氣平臺兩部分構成。其中，臺車、吊鉤、負載與導軌等構成了機械平臺；電機、伺服驅動器、編碼器、運動控制卡及上位機等構成了系統(tǒng)的電氣部分。具體而言，在系統(tǒng)運行過程中，臺車的位移通過電機內置編碼器獲取；負載擺角與吊鉤擺角通過編碼器實時測量獲得。上述編碼器信號由運動控制卡采集并發(fā)送至上位機，經過計算后得到控制信號，再經過運動控制卡輸出至電機驅動器，驅動電機運動，以實現(xiàn)控制目標。

硬件實驗平臺的相關參數為

M=6.5 kg,m1=2.003 kg,m2=0.559 kgL1=0.53 m,L2=0.4 m

(37)

臺車的目標位置為xd=0.6 m，因此

圖2 雙擺橋式起重機實驗平臺Fig.2 Hardware platform of double-pendulum bridge crane

通過數次實驗調節(jié)，控制器式(27)的控制增益選擇為

k1=40.117,k2=9.836λ0=97.656 3,λ1=195.312 5,λ2=156.25λ3=62.5,λ4=12.5

(38)

為證實文中所提出控制方法具有優(yōu)良的性能，選取LQR控制方法作為對比實驗。LQR控制器的表達式為

式中：ka,kb,kc,kd,ke,kf為控制增益，其目標函數選擇為

ka=56.568 5,kb=29.371 4,kc=-65.591 1,kd=4.300 8,kb=2.397 6,kc=-3.785 9

實驗結果見圖3～圖4以及表1。實驗曲線由上而下分別代表臺車位移、一級擺動、二級擺動以及控制輸入。表1中：xf為臺車的最終到達位置；θ1 max和θ2 max分別為一級擺角和二級擺角的最大幅值；相應地，θ1 res和θ2 res分別為臺車停止運行之后一級擺動和二級擺動的最大殘余擺幅。圖3是所提控制器的實驗結果，從圖3中可以看出，臺車在4 s左右平穩(wěn)地運行到了給定位置，同時結合表1給出的性能指標可知，在整個運行過程中，一級擺動和二級擺動均被抑制在2.5°以內(θ1 max=1.9°,θ1 max=2.4°)，且?guī)缀醪淮嬖跉堄鄶[動(θ1 res=0.2°，θ2 res=0.4°)。圖4以及表1給出了LQR控制器的控制效果和控制性能，相比于圖3中的實驗結果可知，在運送效率相似的情況下，使用LQR控制方法時系統(tǒng)的一級擺動的最大擺幅約為6.8°，而二級擺動的最大擺幅更是達到了8.5°。這表明本文所提出控制算法在擺動抑制方面具有更好的性能，同時，2.5°左右的最大擺幅足以滿足絕大多數工作場所的要求，上述實驗結果以及控制性能指標表驗證了所提方法的有效性，也說明了所提方法具有實際應用的價值。

圖3 本文所提方法實驗結果Fig.3 Experimental results of the proposed method

圖4 LQR控制方法實驗結果Fig.4 Experimental results of the LQR control method

性能指標LQR控制方法本文所提方法xf/m0.60.6θ1 max/(°)6.81.9θ2 max/(°)8.52.4θ1 res/(°)0.60.2θ2 res/(°)0.60.4

4 結 論

為解決存在復雜雙擺效應的欠驅動起重機系統(tǒng)的消擺定位控制問題，本文提出了一種有效的光滑魯棒控制方法。首先對原動力學方程進行分析并得到了系統(tǒng)的近似模型，該模型可有效地描述雙擺起重機的特性。基于此近似模型，構造了線性滑模面，并提出了一種基于超螺旋的非線性連續(xù)光滑控制律，實現(xiàn)了臺車的精準定位與負載擺動的有效消除。同時，通過嚴格的理論分析證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并進行了一系列硬件實驗測試，實驗結果驗證了所提方法的有效性與優(yōu)良的控制性能。