“關注過程”不僅在課上

尹 力

很多教師意識到數學教學要“重視過程，處理好過程與結果的關系”，能夠在課上充分展開知識抽象、推理、建模的過程。但這種對“過程”的重視是否僅僅停留在課上甚至僅是公開課中？這樣的情況并不少見：課畢，教師和學生更關注的是數學結論，因為練習是需要運用結論來解決的。至于課上花費很多時間的“過程”，似乎即時效用不大，所以很快被束之高閣。弗萊登塔爾在《數學教育再探》中清晰地指出：算法是一種完全極端情況，它一旦被掌握，或確信被掌握，人們很可能就不理會它們的來源。但是當它們對數學本身目標構成威脅（即把數學與操作算法等同起來）時，它們就變成了缺點。

一、產生問題

只是課上重視過程，在問題解決中仍舊只關注操作算法，這樣的數學教學會帶來很多問題。

1.解決問題水平較低。

有的學生只能勝任對于結果性知識簡單運用的問題，比如利用面積公式求基本圖形的面積，根據運算法則計算分數除法等。這類問題的共同特征是思維含量低，解決問題的途徑簡單、明確，僅需要付出很少的數學思考。問題稍微增加難度，比如變換情景或將以往解決過的問題綜合，他們便無從入手。由此反映出，只進行結果性知識或操作算法這類看似具有即時效用的解決問題教學，并不能在很大程度上提高學生解決問題的水平。相反，關注過程、經歷過程、體悟過程看似浪費時間，但更能促進數學思考，形成解決問題經驗，達到舉一反三的效用。

2.熟悉問題反復出錯。

有的學生對于做過的練習反復出錯，尤其在復習迎考階段，當大量練習襲來時。教師可能也很難理解，明明前兩天剛做過的題目，為什么又不會？當時教學生時已經具體到每步該算什么，下次只要按照以上步驟重算一遍就行了。偏偏就有不少同學對于結構相同的問題反復出錯。由此說明，試圖通過對算法一遍遍強調，甚至要求學生記憶，而不是扎實經歷易錯問題的對比剖析，不深入理解每一步操作算法背后的所以然，無益于真正解決問題。

3.學習缺少情感投入。

“接近和挖掘事物的本質以及之間的因果聯系，這一過程本身就是興趣的主要來源?！保ㄌK霍姆林斯基語）要讓學生真正學好數學，培養學生對于數學的興趣，使數學對學生具有吸引力才是根本之道。那如何使學生產生對數學持久而穩定的興趣？唯有經歷過程、付出思考、理解操作算法背后的實質性聯系，才能收獲成功的喜悅。久而久之，學生會產生對數學的自我效能感（對學習數學充滿信心）。學生自然會喜歡數學，愛思考數學。

二、解決措施

“關注過程”不能窄化為公開課中體現先進教學理念的手段，要發揮“關注過程”的價值，需要在數學學習的方方面面切實關注。

1．說過程，暴露必要的思維。

“說過程”就是把解決問題的程序講出來，用語言把思維程序固定下來，使思維更富有條理、更加有序?！罢f過程”的本質是讓學生知其所以然。對那些思維遲緩的學生，教師可以用“說過程”作為撬動他們主動思維的支點，讓他們自己真正動起來。“說過程”的實質是在說思考的程序，做過的題已經有了現成的程序，只要把它們從運算中提煉出來即可。

“說過程”要注意程序的完整性和程序之間的邏輯性，對于不完整或錯誤的思維過程要及時指出。而這也是“說過程”的目的之一，暴露學生有問題的思維過程。“說過程”要盡量照顧到班級的每一位學生，采用不同的形式給予學生鍛煉的機會，比如，自說、同桌說、小組說、全班說等。“說過程”還應滲透在數學學習的方方面面，不僅在新授課重視學生經歷過程說過程，在練習課、復習課、個別輔導、作業訂正等不同形式的學習活動中都要重視學生表達解決問題的思維過程?？傊?，對于學生靜態的答案、算式都要保持警惕，正確的結果不等于學生已經實實在在經歷了分析問題、解決問題的全過程，認真地將過程、思路用清晰、精練的語言說出來的價值要遠遠大于呈現出某個正確的結果。

2.勤追問，填補思維的斷層。

根據皮亞杰認知發展階段理論，小學階段的學生總體處于“具體運算階段”，能借助具體內容進行一定的分析推理，但邏輯推理水平并不高。推理過程不清晰、不明確、不嚴密，直覺成分較多。整個思維程序中會出現很多的斷層，而對于這些斷層式的障礙點，學生常常是繞過去，有時學生甚至沒意識到障礙點的存在，只覺得自己的想法是自然、正確的，殊不知錯誤正在醞釀。追問是監控、調節學生過程性知識，有針對性地啟發、引導學生思維走向清晰、深入的有效手段。填補思維斷層，完善學生過程性知識需要教師經常追問。

《解決問題的策略——替換》教學片斷：

對比題：（1）720毫升果汁倒入9個小杯中，每個小杯能裝多少毫升果汁？

（2）720毫升果汁倒入3個大杯中，每個大杯能裝多少毫升果汁？

例題：把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯中，正好都倒滿。已知小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

先解決對比題，然后找出例題中的數量關系。

提問：跟剛才兩道問題比，例題的數量關系變得更復雜，請你們想個辦法把數量關系變得簡單。

生：可以假設全是小杯，把那個大杯替換成小杯。

追問：為什么要假設全是小杯？

生：因為全是小杯的話，題目就變成對比題中的第一題，數量關系更簡單。

追問：那大杯為什么能換成小杯？

生：因為大杯容量是小杯的3倍，所以大杯里的果汁可以用3個小杯全部裝下，一滴也不少。

追問：“一滴也不少”說得很好，也就是說我們在替換時要注意什么？

生：果汁的總量不能變。

“可以假設全是小杯，把大杯替換成小杯”。雖然學生的回答直戳要點，正好是教師需要的答案，但教師切不可就此打住，錯失啟發學生思維走向清晰、深入機會。事實情況是，雖然學生給出了以上回答，但對內隱的過程性知識（為什么要替換？替換要注意什么？）并非全然清楚。而通過教師恰當、準確的追問，不斷追本溯源，可使學生過程性知識不斷完善。

3.改習題，體現缺失的過程。

練習是鞏固、提高學生學業水平的重要方式，但平時的習題大部分側重結果性知識的鞏固、提高，變相削弱了過程性知識的重要性。轉換觀念，過程性知識為何不能被編制成習題而作為鞏固學生內部過程性知識的手段。

過程性習題考察的是結果性知識背后的“理”，為什么是？表示什么意思？怎么得出的？也考察思考程序背后的目的，為什么這么做？你是怎么想到的？其實數學教材中就有這類關注學生過程性知識的問題，比如教材中卡通人物玉米的問題。其實還可以進一步追問：“你為什么要這么比？”即明晰學生思考程序背后的目的。像這樣的問題教材中還有很多，用好用實這些問題是幫助學生積累過程性知識的有效手段。同時，教師也可以編制側重過程性知識的習題，如下圖。有關多邊形的面積，一般考查學生面積公式的運用。實際上，這一單元里面包含很多過程性知識，比如轉化的目的、面積公式推導的過程等，圖中這道習題考查的就是轉化的目的。當然，也可以在面積公式方面做文章，比如，已知梯形的面積公式是“（上底+下底）×高÷2”，那“（上底+下底）×高”算得是（ ）。只有關注梯形面積公式推導過程，才會知道“（上底+下底）×高”是“用兩個一模一樣梯形拼成的平行四邊形的面積”。

“關注過程”實質上是讓學生經歷思考、理解、感悟數學學習、問題解決的過程。但這里也并非“重過程輕結果”，過程與結果相互依存、不可偏廢。沒有過程的結果是沒有體驗、沒有深刻理解的結果；不追求結果的過程是缺乏價值和意義的過程。