基于Shapley值的編隊(duì)內(nèi)各艦艇之間的相對(duì)價(jià)值分析*

王道重 韓建立 谷民亮 孫 媛 劉 星

（1.海軍航空大學(xué) 煙臺(tái) 264001）（2.92336部隊(duì) 三亞 572000）（3.91206部隊(duì) 青島 266108）

1 引言

20世紀(jì)70年代，美國海軍基于網(wǎng)絡(luò)中心戰(zhàn)（Network Centric Warfare）的思想提出協(xié)同交戰(zhàn)能力（Cooperative Engagement Capability，CEC）。CEC是利用計(jì)算機(jī)、通信和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，把海上艦艇編隊(duì)中各艦艇的目標(biāo)探測系統(tǒng)、指揮控制系統(tǒng)、武器系統(tǒng)以及預(yù)警機(jī)系統(tǒng)等連成一個(gè)有機(jī)的網(wǎng)絡(luò)，允許艦艇編隊(duì)在極短的延時(shí)內(nèi)共享各平臺(tái)上探測系統(tǒng)所獲得的所有數(shù)據(jù)，從而把整個(gè)艦艇編隊(duì)連成一個(gè)整體［1～3］。艦艇編隊(duì)協(xié)同防空反導(dǎo)作戰(zhàn)情況下，如果目標(biāo)直指編隊(duì)內(nèi)相對(duì)重要的水面艦艇，則目標(biāo)威脅程度就大，反之則小，所以在對(duì)來襲目標(biāo)進(jìn)行威脅評(píng)估［4～5］時(shí)，應(yīng)充分考慮編隊(duì)內(nèi)各艦艇之間的相對(duì)價(jià)值，在威脅評(píng)估時(shí)加入艦艇重要度這一指標(biāo)，可以使評(píng)估結(jié)果更加可靠，更加有利于后續(xù)的目標(biāo)分配［6～7］環(huán)節(jié)。

2 協(xié)同度分析

CEC系統(tǒng)是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)化作戰(zhàn)系統(tǒng)，其中的任何一個(gè)作戰(zhàn)平臺(tái)或探測平臺(tái)都是網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，稱之為協(xié)同工作單元（Cooperative Unit），各單元之間的相互影響程度稱之為協(xié)同度［8］。

設(shè)編隊(duì)中某艦艇i的自身協(xié)同效能為Wi及其協(xié)同度 Xi（單元i與其他n-1個(gè)單元的協(xié)同度），則該單元的協(xié)同效能為

其中Xi可表示為Xi=(X1，X2， ···，Xn)。

設(shè)方案集為{Ai} ，i=1，2，···，n ；作戰(zhàn)區(qū)域集{Bj}，j=1，2，···，m。可生成全程協(xié)同效能矩陣：

設(shè)艦艇編隊(duì)Z=(Y ，X ) ，其中Y代表各可選區(qū)域的單元集，在單元集里所有單元之間的關(guān)系都是相互影響的，用(xij，xji)∈X 表示單元I與單元J的協(xié)同度，其中xij表示單元I對(duì)單元J產(chǎn)生的貢獻(xiàn)值，xji表示單元J對(duì)單元I產(chǎn)生的貢獻(xiàn)值。如圖1，相互影響示意圖。

設(shè)單元I、J、K為可協(xié)同的三艘水面艦艇，其基本協(xié)同效能分別為Wi、Wi、Wi，單元I對(duì)單元J和單元K所產(chǎn)生的貢獻(xiàn)值分別為xij和xik；單元J對(duì)單元I和單元K所產(chǎn)生的貢獻(xiàn)值分別為xji和xjk；單元K對(duì)單元I和單元J所產(chǎn)生的貢獻(xiàn)值分別為xki和 xkj。當(dāng) xij＞0時(shí)，說明單元I對(duì)單元J有積極影響；當(dāng) xij=0時(shí)說明單元I對(duì)單元J沒有影響；當(dāng)xij＜0時(shí)，說明單元I對(duì)單元J有負(fù)面影響，xik，xji，xjk，xki，xkj同理。可求得單元 I對(duì)這三艘艦艇組成的編隊(duì)的效能增量為

如果ΔWi＞0，則單元I稱之為效能可行。

圖1 相互影響示意圖

由式（3）可以看出，效能增量與以下三個(gè)方面有關(guān)：

1）該單元的基本效能（這里用Wi表示）。如果該單元加入編隊(duì)，與其他單元協(xié)同作戰(zhàn)，Wi越大，則該單元對(duì)整個(gè)編隊(duì)的貢獻(xiàn)值就越大；

2）該單元對(duì)其他單元的貢獻(xiàn)值。貢獻(xiàn)值為正，說明該單元對(duì)其他單元有積極影響，反之有負(fù)面影響；

3）其他單元對(duì)該單元的貢獻(xiàn)值。貢獻(xiàn)值為正，說明其他單元對(duì)該單元有積極影響，反之有負(fù)面影響。

在整個(gè)艦艇編隊(duì)中，效能增量ΔWi＞0的單元越多，則該編隊(duì)的總體協(xié)同效能就越大。若水面艦艇i的效能增量ΔWi大于其他水面艦艇的效能增量，則說明艦艇i相對(duì)于其他艦艇來說，可以為整個(gè)艦艇編隊(duì)帶來更多的效益，艦艇i的價(jià)值就比其它水面艦艇大。所以可從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度出發(fā)，根據(jù)各單元為整個(gè)“聯(lián)盟”所帶來的收益，利用Shapley值進(jìn)行“利益分配”，各單元所應(yīng)得的收益，就是各單元之間相對(duì)價(jià)值的表現(xiàn)。

3 Shapley值模型

著名對(duì)策論專家Shapley［5］從有效性公理（efficiency axiom）、對(duì)稱性公理（sysmmetry axiom）、可加性公理（additivity axiom）出發(fā)，提出n人合作對(duì)策解的概念，即 Shapley值［9～12］。對(duì)于 n 人合作對(duì)策v，Shapley值主要根據(jù)各局中人給聯(lián)盟帶來收益的多少，把聯(lián)盟最大收益合理的分配給局中人。

視艦艇編隊(duì)協(xié)同作戰(zhàn)為n人合作（各個(gè)艦艇之間的合作）對(duì)策(U ，v )，簡記為v，其中，局中人（各艦艇）的集合為 U={1，2，…，n}，特征函數(shù)為 v。假設(shè)成員（艦艇）i本身具有一定的協(xié)同效能v(i)，在一次合作中，聯(lián)盟共產(chǎn)生v(U )的效能，如果從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度出發(fā)，成員i在最大收益v(U )中應(yīng)得到一份收入φi(v)，要想該合作能夠成功，必須滿足。合作U下，各成員所得收益的Shapley值為

其中s表示集合U中一個(gè)或多個(gè)成員組合的子集，Si表示集合U中包含成員i的所有子集，| s|表示s中的成員個(gè)數(shù)，v(s)表示s的收益，v(s i)表示s去掉成員i后所能產(chǎn)生的收益，w(| s |) 是加權(quán)因子，n表示集合U中的成員個(gè)數(shù)。

4 數(shù)值舉例

假設(shè)一個(gè)編隊(duì)體系U有3艘水面艦艇A、B、C，記為U={1，2，3}，其自身的協(xié)同效能分別為，艦艇A參與的所有協(xié)同方式的集合 S1={1，1∪2，1∪3，1∪2∪3}，艦艇A和艦艇B協(xié)同所產(chǎn)生的效能為3，艦艇A和艦艇C協(xié)同所產(chǎn)生的效能為5，艦艇B和艦艇C協(xié)同所產(chǎn)生的效能為6，三艘艦艇協(xié)同所產(chǎn)生的效能為10。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度出發(fā)，根據(jù)Shapley值的方法，A所應(yīng)得的分配φ1(v)的計(jì)算如表1所示。

根據(jù)表1可以得出，A所應(yīng)得的收益為φ1(v)=1/3+1/3+1/2+4/3=2.5，同理B和C所應(yīng)得的收益分別為。不難發(fā)現(xiàn)=2.5+4.5+3=10，符合假設(shè)。所以，艦艇A的權(quán)重為I1=2.5/10=25%，同理，艦艇B和C的權(quán)重分別為I2=30%，I3=45%，即艦艇A、B、C之間的相對(duì)價(jià)值為25:30:45=5:6:9。

表1 A應(yīng)得分配計(jì)算

5 結(jié)語

1）艦艇編隊(duì)協(xié)同作戰(zhàn)可視為n人合作博弈，各艦艇對(duì)整個(gè)編隊(duì)都會(huì)產(chǎn)生一定的貢獻(xiàn)（效能增量）。某艦艇產(chǎn)生的效能增量ΔWi＞0，則該艦艇效能可行。效能增量ΔWi＞0的艦艇越多，則該艦艇編隊(duì)的總體作戰(zhàn)效能就越大。

2）從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度出發(fā)，利用Shapley值的方法，對(duì)整個(gè)編隊(duì)的總體效能進(jìn)行“利益”分配，“成員”對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的貢獻(xiàn)值越大，則其所應(yīng)得的分配就越多。其實(shí)各艦艇按照Shapley值的分配方法，所得的分配就是各艦艇之間相對(duì)價(jià)值的表現(xiàn)。

3）如果來襲目標(biāo)直指我方相對(duì)重要的水面艦艇，則目標(biāo)威脅就大，反之則小。所以，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行威脅評(píng)估時(shí)，需要充分考慮我方各艦艇之間的相對(duì)價(jià)值，得出的威脅評(píng)估結(jié)果會(huì)更加可信。利用Shapley值的方法計(jì)算出我方各艦艇之間的相對(duì)價(jià)值，可以應(yīng)用于目標(biāo)的威脅評(píng)估。