航海DDM的表面內插方法比較與分析*

賈帥東 劉一帆 戴澤源

（1.海軍大連艦艇學院軍事海洋與測繪系 大連 116018）（2.海軍大連艦艇學院海洋測繪工程軍隊重點實驗室 大連 116018）（3.海軍參謀部指揮保障大隊 北京 100841）

1 引言

數字水深模型是海底地形地貌表達的基本內容和基礎框架。數字水深模型的質量高低，直接影響到海洋空間信息表達的準確性和艦船海上航行的安全性。

長期以來，國內外對DDM的研究，大多集中在數據內插方法的探討、數據結構的分析等方面。近年來，有許多學者開始關注DDM的精細化構建技術，并開始探索其在航海中的應用。然而，對于航海DDM構建中該使用何種內插方法，目前尚無公開文獻給出科學、合理的分析與結論。

因此，本文將在理清航海DDM構建基本流程的基礎上，分析當前航海DDM中常用的水深內插方法，通過定量分析各方法所建航海DDM的質量和運算效率，優選出當前更為適用于航海DDM的內插方法。

2 面向航海的數字水深建模

2.1 航海DDM構建的基本過程

圖1描述了數字水深建模的基本環節，主要包括水深源數據的獲取、水深模型結構的確定、水深模型點的選取（或內插）、水深模型表面的內插等。當構建航海DDM時，上述關鍵環節都會對最終模型的質量產生一定的影響。

圖1 數字水深建模過程

在這些環節中，水深源數據在建模前是已經確定的；水深模型點的選取，可采用人工選取和計算機自動選取的方式。水深模型的結構，主要包括不規則三角網、規則網格和等深線三種結構。作為與航海DDM聯系緊密的航海圖上的水深表達，通常強調采用原始水深數據，而網格和等深線結構模型需要通過內插獲得模型點（或線），三角網結構一般使用的是原始水深數據，因此，由當前航海圖水深所建立的模型通常采用的都是三角網結構。這也是目前人們在航海DDM中使用時間最長、應用最為普遍的模型結構。為此，考慮到當前人們對航海DDM的使用習慣，本文的研究將以三角網作為航海DDM的基本結構。

2.2 航海DDM的表面內插方法

對于DDM的表面內插方法，以往在海洋測繪領域往往關注較少，更多地只是注重水深模型點的質量，缺少對模型表面的認識。事實上，如圖1所示，在選取出水深模型點以后，還要利用這些模型點來內插推估模型表面任意一點的水深，這樣才完成了DDM的表面重建。

目前，DDM的表面內插方法主要包括淺點推估法、線性內插法、自然鄰近法、移動曲面法、加權平均法和克里金插值法等。

1）淺點推估法

出于對艦船航行安全的考慮，航海人員在實際使用由航海圖水深所建的模型時，一種較為常用的模型表面內插方法是淺點推估法。具體方法如圖2所示，首先利用水深模型點建立Delaunay三角網，然后根據待插點q的平面位置，確定其所在的三角形P1P2P3，然后使用該三角形三個頂點水深的最小值推估待插點q的水深值，即：

圖2 水深內插

2）線性內插法

線性內插法是三角網結構的數字水深模型中另一種普遍使用的模型表面內插方法。如圖2所示，與淺點推估方法相類似，線性內插法也是首先建立Delaunay三角網，根據待插點q的平面位置確定其所在的三角形P1P2P3。與淺點推估法不同的是，接下來線性內插法是根據三角形三個頂點的平面位置和深度值確定出一個平面，然后求出待插點水深值。如圖2所示，假設三角形P1P2P3所在平面可用以下函數的形式表達：

式（2）中，參數a1、a2、a3可以根據三個已知參考點如 P1(x1，y1，z1) ，P2(x2，y2，z2) ，P3(x3，y3，z3) 計算求得。這三個參數可以根據式（3）進行嚴密計算：

在求出參數 a1、a2、a3后，代入式（2），根據待插點的平面位置，即可計算出待插點的水深值。

3）自然鄰近法

Voronoi圖，作為Delaunay三角網的對偶圖，在地理信息系統的空間分析計算中有著廣泛的應用。自然鄰近法就是一種基于Voronoi圖的空間插值算法。其基本思想是對每個輸入的水深點基于它們假設的“影響面積”來創建權重，這些面積通過每個水深點周圍的Voronoi多邊形生成來確定。假設有n個離散水深點，它們對應的Voronoi多邊形分別為V1，V2，…，Vn，對于待內插的水深點為q，將q點插入原Voronoi圖后，產生的新的關于q點的Voronoi多邊形，記為Vx。該多邊形與原始鄰接Voronoi多邊形相交，相交部分即為確定權重的依據。設 q點的相鄰點集為 p1、p2，…，pn（i=1，2，…，n），pi所在的 Voronoi多邊形記為Vpi。將鄰接點 pi的Voronoi多邊形與多邊形Vx的相交區域面積記為Si，pi水深記為zi，則待插點q水深 zq為

4）移動曲面法

在數字水深模型表面內插方法中，還有一類方法是以待插點為圓心，確定出一個圓域（簡稱鄰域），并基于圓域內的水深模型點，采用某種數學模型推估出待插點的水深。移動曲面法就是其中的一種常用方法，基本思想是以待插點為中心，利用其鄰域內已知數據點的水深值，建立一個多項式的擬合曲面，然后根據這個曲面求取待插點的水深值。假設待插點q的平面位置為(xq，yq)，選取其鄰近范圍內的n個已知數據點（可稱其為參考點），來擬合一多項式曲面。一般采用如式（5）所示的二次曲面多項式。

式（5）中，x、y、z是參考點的坐標值，a1、a2、a3、a4、a5、a6為待定參數。

多項式的各參數可由n個選定的參考點用最小二乘法進行求解。求得多項式各參數后，則待插點q的水深zq為

式（6）中，待插點鄰域范圍常采用動態搜索圓半徑方法確定。一般情況下，當數據點個數大于8時，應用完整二次項，當數據點個數在6～7之間時，舍去xy項；當數據點個數在4～5之間時，舍去平方項，而僅有三個點時僅用線性項等。

5）加權平均法

由于移動曲面法通常需要采用最小二乘法進行求解，計算相對較為復雜，所以在目前的水深內插中，更為常用的是直接根據模型點的平面位置和水深來計算待插點水深的反距離平方加權平均法，簡稱加權平均法。反距離平方加權平均法在解算待插點q的水深時，其數學模型為

式（7）中，zq是待插點q的水深，zi是第i個模型點的水深值，n為參考點的個數，diq為第i個已知點到待插點q的平面距離。

6）克里金插值法

反距離平方加權法是根據模型點與待插點的平面位置關系來確定內插模型中的權重大小，另一種較為常用的權重確定方法是以變異函數理論為基礎的克里金插值法?？死锝鸩逯捣ㄊ墙⒃谧儺惡瘮道碚摲治龌A上，對有限區域內的區域化變量取值進行最優無偏估計的一種方法，將待插點的水深值zq看作鄰域內n個模型點水深值的線性組合，如式（8）所示。

式（8）中，zq是待插點q的水深，zi是第i個模型點的水深值，n為模型點的個數，λi是第i個模型點的權重。在最優無偏估計的前提下，可得權重λi的克里金方程組，如式（9）所示。

式（9）中，λi是第i個模型點的權重，μ是拉格朗日乘數，Cov(i，j)是點 i與 j的協方差，Cov(q，i)是點 q與i的協方差。其中，Cov(i，j)與Cov(q，i)可通過計算變異函數求得。

采用變異函數來表示克里金方程組：

變異函數的求取通常是首先計算實驗變異函數，然后選取某個理論變異函數模型，進而通過擬合理論變異函數模型來算出變異函數值。本文選取較為常用的參數設置：變異函數模型為球狀模型，搜索半徑為可變的，模型點個數為20。

3 試驗與分析

選取如圖3所示的典型海區，使用CPU主頻3.30GHz、內存4GB的計算機，進行比對試驗。

首先從原始水深數據集中適當選取一定數量的水深點作為檢查點 i（i=1，2，...，n），然后按照取淺舍深原則，選取淺點水深，分別采用淺點推估法、線性內插法、自然鄰近法、移動曲面法、加權平均法、克里金插值法來推估模型表面任意點的水深，構建起三角網DDM。最后，基于三角網DDM內插這些檢查點的水深值z′i，并與檢查點原始水深值zi作比較，采用文獻［14］所提方法計算所構模型的深度保證率及其合格率、表達度。同時，記錄每種內插方法的內插耗時。具體的試驗結果如表1所示。

圖3 試驗海區

從表1中可以看出：1）對于同一區域，在比例尺相同的前提下，淺點推估法所構模型的深度保證率及其合格率都要高于其他內插方法；2）對于同一區域，在比例尺相同的前提下，多數情況中采用線性內插法所建模型的表達度最高，克里金插值法、自然鄰近法、移動曲面法、加權平均法次之，淺點推估法所建模型的表達度最低，故確定線性內插法為后續論文研究模型在航行資源表達質量方面的比對基準；3）從建模效率來看，淺點推估法和線性內插法的內插耗時最短，效率最高，加權平均法次之，其余3種方法的內插耗時相對較長。

不失一般性，對該區域不同內插方法在比例尺1：10000下建立的水深模型進行三維顯示效果比對，如圖4所示。

表1 DDM保證率、表達度與內插耗時比對

圖4 比例尺1：10000下DDM三維效果比對

從圖4中可以看出，淺點推估法建立起的模型表面是不連續的，呈現出“階梯狀”（圖4（a）中■色部分表示兩相鄰三角形因邊界不連續出現的斷面），這種不連續的“階梯狀”表面與人們通常對連續海底地形表面的理解不相符，會給海上航行需要連續的決策分析帶來不便。淺點推估法所建立起的“階梯狀”模型表面是其在本質上所固有的，無法通過技術手段的改進來改變。除淺點推估法外的其他方法建立的模型表面是連續的，符合人們對海底地形表面的認識，更便于航海人員在海上進行連續的決策分析。在這些所建模型表面連續的內插方法中，線性內插法的建模效率優勢明顯，且在模型的保證率和表達度方面也具有一定的優勢，同時也是這些模型表面連續的內插方法中唯一可能與手工作業相結合的方法，因此本文認為選用線性內插法作為航海DDM的表面內插基礎算法，是相對合理的。

4 結語

通過分析、計算及試驗比對，得結論如下：

1）在航海DDM的表面內插方法中，最淺點法所建模型的保證率最高；

2）在航海DDM的表面內插方法中，線性內插法所建模型的表達度最高；

3）在航海DDM的表面內插方法中，最淺點法和線性內插法的運算效率最高；

4）最淺點法所建模型表面不連續，其余常用內插方法（線性內插法等）所建模型表面連續光滑。

綜上所述，線性內插法作為航海DDM表面內插的基本方法更為合理。當然，本文只是針對某一多波束測深海區，基于多波束水深數據，對航海DDM中常用內插方法進行了比對分析，并優選出來了相應的水深內插方法。對于不同的水深源數據以及更多海區的比對試驗，還有待于進一步地論證。