Buck變換器數字控制器模擬化設計與離散化設計的性能比較

陳宇航，周詩穎，楊文鐵，張 平

Buck變換器數字控制器模擬化設計與離散化設計的性能比較

陳宇航1，周詩穎2，楊文鐵3，張 平2

（1. 海裝駐葫蘆島地區軍事代表室，遼寧葫蘆島 125004; 2. 武漢第二船舶設計研究所，武漢 430205；3. 海軍工程大學，武漢 430033）

模擬化和直接離散化設計是數字控制器的兩種經典設計方法。本文以Buck變換器為例，分別采用這兩種設計方法對數字控制器進行設計，并對控制器的性能進行了對比分析。研究表明：數字控制器模擬化設計方法依賴采樣周期，且離散化過程存在誤差；直接離散化方法設計的數字控制器性能優于模擬化方法設計的控制器。最后，在MATLAB/Simulink中對上述分析結果進行了仿真驗證。

數字控制器 Buck變換器 模擬化設計 直接離散化設計

0 引言

近年來，數字信號處理芯片隨著性價比的不斷提高而越來越多地被應用于電力電子裝置上[1-3]。數字控制技術能顯著降低控制系統的硬件設計，減少分立元件數量，改善系統可靠性，減低系統硬件成本；同時數字控制中不存在元器件的溫漂和參數漂移等問題，調試成功后就能長期穩定運行[4, 5]。

但是，數字控制存在采樣保持和量化過程，其系統與傳統的連續系統有所區別，數字控制器的設計也有所不同。目前，數字控制器設計方法主要有兩種，即模擬化設計方法和直接離散化設計方法，模擬化設計方法是先在連續域中設計控制器，然后用某種離散化方法對控制器進行離散化，直接離散化設計方法則是在離散域中直接建立被控對象的離散化模型，然后在離散域中直接設計控制器。因此，有必要研究這兩種數字控制器設計方法及其性能差異。

為此，本文以船舶電源系統中常用的Buck變換器為設計實例，分別對其數字控制器進行了模擬化設計和直接離散化設計，并對兩種設計方法進行了性能比較。最后，在MATLAB/Simulink中搭建了電路模型，對上述設計和分析結果進行了驗證。

1 Buck變換器數學模型

Buck變換器[5]的電路圖如圖1所示。主電路由全控型開關管V、續流二極管、輸出濾波器構成。其電路參數如表1所示?？紤]調制器的調制波電壓峰值V=5 V。

表1 Buck電路參數

圖1 Buck變換器拓撲結構

通過交流小信號分析法[5-6]，可以得到Buck變換器的控制信號至電路輸出的原始環路傳遞函數為：

代入具體數值可得：

圖2 Buck變換器原始環路開環傳遞函數波特圖

進而，可以繪制出原始環路開環傳遞函數的波特圖，如圖2所示。

根據式(2)和圖2，可知Buck變換器的原始環路開環傳遞函數存在重極點且無零點，幅頻特性的轉折頻率為f1, p2=1/(2π0.50.5)=181.7 Hz。在低頻段，G()的增益為26.1 dB，并在181.7 Hz處會有轉折發生，其斜率為?40 dB/dec，原始環路增益傳遞函數G()在830 Hz穿越0 dB線，相位裕度僅為7.18°。系統穩定裕度較小，必須設計補償網絡對系統進行校正，以確保系統穩定。

2 數字控制器的模擬化設計

數字控制器的模擬化設計步驟通常為：

1）在連續域中設計模擬控制器G()；

2）選擇采樣周期T;

3）選擇合適的離散方法將模擬控制器離散得到G()；

4）驗證系統的性能，若不滿足性能要求，重新修改設計；

在本設計中，控制器將采用超前滯后矯正。為了保證控制器的快速性和不引入高頻分量，工程上通常將補償后的傳遞函數G()G()的穿越頻率f設計為開關頻率f的1/5~1/10。因此，本文取穿越頻率為：

如果加入控制器后系統的環路增益函數幅頻特性曲線以?20 dB/dec斜率穿越0 dB線，那么系統將具有較好的相位裕度。為了得到?20 dB/dec的斜率，控制器在穿越頻率點必須提供+20 dB/dec的斜率。控制器G()利用兩個零點來抵消原系統重極點影響，將兩個零點頻率設計為原始環路函數G()的兩個相近極點頻率的1/2，即：

如式(2)所示，G()沒有零點。因此，為了改善系統的高頻衰減能力，則可以將G()的兩個極點設定為f3=f4=2f=40 kHz，以減小輸出高頻開關紋波。進而，可以得到控制器傳遞函數為：

可以看出，加入控制器后，系統傳遞函數在4092 Hz處穿越0 dB線，相位裕度為82.8°，滿足工程上的設計要求（即相位裕度>45°）。校正后系統的幅頻特性得到改善，低頻段有足夠增益，高頻衰減能力強，中頻段也有足夠相位裕度。

接下來，將對上述控制器進行離散化，并對常用的兩種離散化方法進行對比分析。

圖3 加入控制器后系統的傳遞函數波特圖

若采用Tustin變換法[7]，將G()離散后的控制器G1()可以表示為：

若采用零極點匹配法[7]，將G()離散后的控制器G2()可以表示為：

為了對比上述兩種離散化方法的性能差異，在MATLAB中分別對在連續域中設計的控制器、Tustin離散化后的控制器G1()、零極點匹配法離散化后的控制器G2()進行單位階躍響應仿真，其結果如圖4所示。

圖4 連續域及兩種離散化方法下系統的單位階躍響應

可以看出：

1）采用連續域設計的控制器后，階躍響應的超調量很小，調節時間僅為0.003 s，系統響應快速；

2）當連續域的控制器離散化后，系統調節時間差別很小，但是存在很大的超調量。其中，采用Tustin方法離散化后，超調量達65%；采用零極點匹配法離散化后，超調量達62%，遠不滿足工程上的設計要求；

模擬化設計的控制器再離散化受采樣周期的影響較大，無法較為精確得到所預期的控制性能，為了確保系統控制的性能，避免離散化誤差，需要進行直接離散化控制器設計。

3 數字控制器的直接離散化設計

數字控制器的直接離散化設計步驟通常為：

1）根據給定的系統性能指標，在平面上畫出系統極點期望的允許區域；

2）求離散域中系統的開環傳遞函數G()；

3）僅為比例控制時，畫出根軌跡；

4）設計離散域中的控制器G()，使閉環極點位于期望的區域；

5）驗證系統的性能，若不滿足性能要求，重新修改設計。

原始環路函數G()采用ZOH離散后，得到的廣域脈沖傳遞函數為：

僅加入比例控制器時，假設比例增益為7，其根軌跡如圖5所示。

可以看出，系統的零點為?0.9896，有一對復數極點0.967±0.054j。零點和極點都非常接近單位圓，其根軌跡絕大部分位于單位圓之外，系統接近于臨界穩定狀態。需要根據根軌跡設計控制器，使閉環極點位于期望的區域，確保系統的穩定性。

這里給出系統控制性能指標：調節時間t<0.02s，上升時間t<0.001s，超調<15%，系統采樣時間T=0.00005s。那么，有如下關系式：

進而，可得期望中的根軌跡區域為對數螺旋線ξ≥0.517、同心圓R≤0.99和射線q≥6.06三者所圍成的區域。

控制器的設計采用零極點對消法，將校正前系統的一對復數極點抵消，并在實軸上配置2個新的實數極點，為了使系統的穩態誤差為0，校正后應增加系統的型別，即配置一個積分環節來改善低頻特性，進而可將校正控制器的極點定為1，即增加一個1/(-1)項。然后，增加一個=0極點使得校正后的系統的根軌跡穿過期望的區域。由于原始環路中極點的虛部遠小于實部，因此若將控制器的零點設計為0.967，則可抵消對象中極點的影響。最后，可以得到直接離散化設計的數字控制器為：

式中，為比例增益。

圖6給出了加入控制器后傳遞函數的根軌跡。

圖6 加入控制器后傳遞函數的根軌跡

可以看出，當比例增益取值為=7.89時，可以將閉環極點配置于期望的位置。由此可以得到直接離散化的控制器為：

圖7給出了采用直接離散化設計方法時，系統的單位階躍響應。

可以看出，當采用直接離散化方法來設計數字控制器時，系統的調節時間約為0.004 s，超調量約為10%，滿足設計要求。并且與圖4對比可知，其控制性能遠優于模擬化設計的數字控制器。此外，可以看到，從設計的方法上來說，直接離散化設計方法更為靈活，不受采樣時間對離散化的影響。

4 電路模型仿真

為了驗證前述分析結果的正確性，在MATLAB/Simulink中搭建以圖1所示Buck變換器的實際電路仿真模型，如圖8所示。其中，輸出電流I的控制指令給定為8A。

圖8 電路仿真模型圖

圖9可以看出，采用直接離散化設計方法時，系統的輸出電流調節時間約為0.005 s，并且幾乎沒有超調，電流紋波很小，滿足設計要求。然而，模擬化設計后用Tustin離散化時，輸出電流調節時間為0.012 s，超調量達10%；當采用零極點匹配法離散化后，輸出電流調節時間為0.012 s，超調量達7.5%。由此可見，直接離散化設計的控制器性能優于模擬化設計的數字控制器。

5 結論

本文以Buck變換器為例，分別對其進行了模擬化和直接離散化的控制器設計，模擬化設計是在連續域中設計模擬控制器，然后將其離散得到等效的數字控制器。這種方法存在較大的離散化誤差，受采樣周期影響較大，控制效果較差。直接離散化設計采用了根軌跡校正的方法，將閉環極點直接配置在期望的區域內，不受采樣周期的影響，其性能優于模擬化設計的數字控制器。本文對這兩種設計方法分別進行了MATLAB/Simulink仿真對比，驗證了理論分析的有效性。

圖9 不同數字控制器設計方法下的仿真波形圖

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Performance Comparison Between Analog Design and Discretization Design for Digital Controller of Buck Converter

Chen Yuhang1, Zhou Shiying2, Yang Wentie3, Zhang Ping2

(1. Naval Representative Office of Huludao, Huludao 125004, Liaoning, China; 2. Wuhan Second Ship Design and Research Institute, Wuhan 430205, China; 3. Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

TM46

A

1003-4862（2019）11-0038-05

2019-09-04

陳宇航（1991-），男，工程師。研究方向：艦艇電力系統。E-mail: chen_yh316@126.com