指向核心素養的初中函數應用教學設計

潘金城　蔡雪梅

一、教材、學情與教法分析

在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確指出“用函數解決問題”的目標：能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析;能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍，并會求出函數值;能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系。由此可見，實現目標的關鍵能力是：將實際問題抽象轉化為數學問題，用函數的性質與圖象分析去解決問題，根據實際問題的特征檢驗數學結論，從而形成建模思想。

“用一次函數解決問題”是初中數學（蘇科版）首次運用函數知識解決實際問題的標志性內容，本節課包括兩課時，第一課時的內容為“用一次函數的表達式解決問題”，第二課時的內容為“用一次函數的圖象解決問題”。圍繞學生進入初中后“用圖象解決問題”的難點，筆者針對本課時，從教材、學情與教法進行如下分析。

1.教材分析

本節教材是一次函數圖象在實際問題中的應用，就本節素材而言經歷了“識圖—用圖—想圖”三個活動，這三個活動的功能各異，活動一重在識圖，在實際的情境中理解“上升快慢的實際意義”和探索“正確決策方法”，理解交點意思;活動二重在用圖，自主建構“一次函數”數學模型，借助圖象分析兩種運輸方案的優劣，發現交點意義，體驗圖象在解決實際問題時的應用;活動三重在想圖，讓學生感受不同走勢“折線段”的意蘊，感悟到數與形的內在聯系，更深刻理解模型思想。

2.學情分析

學生已經知道一次函數的概念與性質，也會能運用方程模型解決簡單的實際問題，但運用一次函數的知識解決實際問題尚屬首次，特別是同一坐標系內不同圖象之間的區別是學生理解的難點，可能存在三個方面的困惑：其一，不清楚“上升的快慢”與一次函數y=kx+b（k≠0）中的“k”之間的關系;其二，不清楚“圖象的交點坐標”與“函數表達式”之間的關系;其三，不清楚“折線的意義”與“實際問題”之間的對應關系。每個困惑都體現著“抽象”“建模”等數學基本思想。

3.教法分析

因為一次函數學習的目的是為了解決實際問題，所以本節課的教學重點是在實際問題中認識圖象和應用圖象，更好地感悟數與形的內在聯系;由于一次函數圖象的陡峭程度反映因變量與自變量之間在一定范圍內的變化情況，視覺上的關注要從點向線轉變，但又要回歸到線上的觀念點分析陡峭程度的實際意義，因此圖象的走勢所對應的實際意義是學生學習的難點。基于教學的重難點，本節課采用“問題情境—建立模型—求解驗證”的教學方法，初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。

基于以上分析，確定如下素養目標：

（1）能根據實際問題中變量之間的關系，確定一次函數的表達式，通過用一次函數表述數量變化及其關系的過程，體會模型思想。

（2）能用一次函數解決簡單實際問題，在此過程中，感悟數學具有抽象性、嚴謹性和應用的廣泛性，體會數學的價值。

（3）經歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的數學活動，初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。

二、教學案例簡要設計

1.自主嘗試，認識圖象

問題1：元旦將至，小明的爸爸準備租車外出旅游，從甲、乙兩家出租汽車公司收取的租車費y1（元）、y2（元）都是用車里程x（千米）的函數，它們的圖象如圖1.

（1）請寫出這兩個函數圖象的共同點與不同點.

（2）若用車里程為1000千米，選用哪家出租汽車公司？

（3）用車里程為多少時，乙公司的租車費用比甲公司少？

問題2：小明的爸爸騎車從家出發到某出租汽車公司洽談租車事宜，他離家的路程s（km）與出發的時間t（min）之間的關系如圖2所示，請回答問題。

（1）出租汽車公司離家______km;

（2）小明爸爸在出租汽車公司停留了______min;

（3）小明爸爸回家時的速度為______km/min;

（4）若小明在爸爸離家30min后出發勻速騎車迎接爸爸回家，當他出發35min時恰好遇到回家路上的爸爸，請在所給的坐標系中畫出小明這段時間離家路程與爸爸出發時間之間的函數圖象;

（5） 小明騎車的速度______爸爸前往租車公司時速度。（填“<”“>”或“=”）

【設計意圖】遵循簡單、根本、開放的原則設計了一道開放性的問題1，在實際情境下，通過“數”與“形”的對應關系理解點所表示的實際意義，感受線的陡峭程度所表示的實際意義。

2.建立模型，運用圖象

問題3：某蔬菜基地要把一批新鮮蔬菜運往外地，有兩種運輸方式可供選擇，主要參考數據如表1所示。

（1）請分別寫出汽車、火車運輸的總費用y1（元）、y2（元）與運輸路程x（千米）之間的函數關系;

（2）你認為用哪種運輸方式較好？

拓展：若另一輛汽車沿著高速公路把一批新鮮蔬菜運往外地，其參考數據如表2所示。

問題：當運輸里程數滿足什么條件時選擇在高速公路上的運輸方式？

【設計意圖】問題3（2）中，解決策略的選擇不唯一，讓不同理解水平的學生有不同的解法，但拓展題的解決更能體現圖象法的優越性，突出本節課教學的重難點。

3.構造情境，展想圖象

問題4：? 根據圖3中的函數圖象，說出x，y變化過程的實際意義，線段AB與x軸平行，點C在x軸上.（要求自己給出數據，自主設計問題情境）

【設計意圖】 看圖說話可培養學生的發散思維，編擬實際問題是對前面問題的逆向思考，也是數學建模素養培育的重要方式。

4.課堂小結，慧悟圖象（略）

三、案例設計的三個視角

在《素養何以在課堂中生長》一書中指出，提出問題、建立聯系和個性化表達是學生的關鍵能力，這與史寧中教授對數學教學的素養目標劃分是一致的，這三個關鍵能力的表述是素養目標的顯性表達，現從自然、開放、自主的三個視角來培養學生的關鍵能力。

1.自然性視角——素養生長的路徑

美國教育心理學博士伯尼斯。麥卡錫以提供教學指導為目的，借助四個象限提出完整的自然學習過程——學習循環圈，包括“為什么”“是什么”“應怎樣”和“該是否”四個象限（如圖4）。學習循環圈讓我們的教學設計更能從知識的結構規律關注知識從哪里來？到哪里去？怎么去？ 更能從學生的認知規律經歷“感知、理解、記憶和應用”的過程，讓知識生長可視化。

本章的內容結構包括：概念、圖象與性質、應用、圖象法解方程、不等式等;本節課的前一課是將實際問題轉化為一次函數，主要運用函數關系式，通過方程、不等式建立之間的聯系，由于函數具有“數與形”的二重性，兩者之間“形異實同”“辯證統一”“渾然一體”，“由數想形”，這是知識生長的基礎。其知識結構如圖5。

通過上圖，我們不難感受到用圖象法解決問題的策略不是從天而降的，它基于函數關系式、方程不等式等知識，函數圖象只不過是它更為直觀的表達形式， “形”與“數”的一一對應順應了學生認知，知識的來龍去脈更為清晰，“圖上作業法”的提出便順其自然。

2.開放性視角——素養發展的抓手

開放原意是釋放、思想開通、解放等。在數學教學中的開放是指教學的組織形式多樣，思維方式多元，設問方式多角度。在本節課的三個研學環節中，都體現著開放式教學。

“認識圖象”環節中，讓學生寫出兩個圖象的異同之處，體現了簡單、根本、開放的基本原則，視角不同獲得的結論也不一樣。如從圖象的形狀看，它們都是射線;從公共點的意義看，表示里程數為2000km時所租車費用相等;從走勢看，隨著里程數的增加租車費用也增加……不同點選擇的視角可以更多，如射線的端點不同，表示起租費不等;上升的速度不同，說明比例系數k不等;位置的高低不同，表示相同的里程數租車的費用不等……在“運用圖象”環節中也體現著開放的教學，方法的選擇不限于圖象法，兩種方法兩個視角，通過解法的開放，讓兩種方法相互聯系，交相輝映。在“展想圖象”這一環節，更是具有開放性，一圖多景，各美其美，美美與共，但表示同一種圖象。

設問開放，讓學生有話可講，讓學生的思維在與文本對話、與同伴和師生對話、與自我對話交流中動起來，對待學生的回答多予以鼓勵，用開放的設問、開放的表達、開放的展示和開放的胸懷讓學生產生思考，激活思維，感悟思想。

3.自主性視角——素養升華的基礎

自主學習是指個體在生活過程中通過獲得直接或間接經驗（知識）而產生的行為或思想上的相對持久的變化，學習是一個循序漸進、由淺入深、深入淺出的過程。

教的秘訣在于度，學的真諦在于悟。“悟得”是指通過思與覺，內化所學內容成為自己智慧的一部分，從而使自己的價值層面得到改變的過程。知識是外在于人的，是一種可以量化的“知道”，只有在悟的過程中，讓知識進入人的認知本體，悟有所得，才能稱為素養。“悟得”是一種意義理解，是一種規律性的認識，是一種智慧。

“悟得”的過程是深度的自主學習的過程，自主是合作的前提，是探究的基礎。在“認識圖象”環節中，展示交流后讓學生自主反思“意、數、形”之間的對應關系，自覺領悟“數形結合”的思想。在“運用圖象”環節中，從列式、畫圖、比較等活動引導學生自主建構“一次函數”數學模型，在拓展環節中更是讓學生獨立思考后體悟圖象法的優越性。在“展想圖象”環節中也不忘讓學生自主思考圖象的意義，整個過程就是學生從“習得”到“悟得”的過程。

由上分析，我認為“悟得”是素養提升的重要標志，是自主學習的高級表現。

四、案例中數學素養的分析

基于自然、開放、自主的三個視角設計指向核心素養的案例，是否能反映出不同層次的數學素養成分，達成數學素養目標？我們從兩個方面進行分析。

1.素養成分與素養目標的關聯分析

指向數學核心素養的教學不僅體現著數學素養的成分，而且與素養目標有著高度的關聯。就本節課而言，研學的每一環節都體現著數學核心素養，如表3所示。

2.素養水平與素養成分的關系分析

喻平教授將數學核心素養的水平劃分為知識理解、知識遷移和知識創新三個層次，所涉及的素養水平分析如表4（知識理解-1，知識遷移-2，知識創新-3）所示。

通過以上分析，我們不難發現，以自然、開放、自主的視角設計的教學能更多地指向數學核心素養的目標與內涵，能更好地體現不同水平的數學素養。因為自然而遵循規律，因為開放而體現層次，因為自主而保障效能，所以自然、開放、自主是基于教材、學情、教法的一個整體的表達，是教師聚焦素養進行教學設計的有效視角。

（本文系“江蘇省十三五規劃課題：基于核心素養的GBR課程建設”階段性成果。）

【參考文獻】

[1]喻平.基于核心素養的高中數學課程標準與學業評價[J].課程·教材·教法，2018（1）：80-85.

[2]潘金城.基于核心素養的“反比例函數圖象”教學[J].教育研究與評論，2017（9）：79-85.