淺談中考數學動態問題

李 峰

(山東省禹城市倫鎮中學 251200)

教學目標1.讓學生理解動態問題中動點的變化過程，有拐點的或者動點速度發生變化的情況，認清變化過程的不同階段.

2.找到動態問題中的不變的量，以靜制動，把動態問題轉化成靜態問題來解決.

3.通過對動態問題的學習，進一步理解分類討論，數形結合，化歸轉化的數學思想.

學考要求：中考常見題型，在中考中占重要位置.近幾年中考幾乎每年都考，動點問題有點動，線動，面動，難度依次增大，題目以選擇填空居多，屬中檔題，解答題有時跟相似相結合屬中高檔題.

動(變化量)：一般來說動點的時間，路程在運動過程中是不斷變化的；

靜(不變量)：一般來說動點的速度，方向(折點，折線，分段)在運動過程中是不發生變化的.

關鍵：找臨界點 臨界位置，把運動過程分解.

宗旨：先定性結合選項排除，再定量依據關系式解答.

技巧：一般來說單個動點或單變量變化時圖象是直線，雙動點或者雙變量變化時是曲線，增大的“”可以稱之為上凸，增加得越來越慢，“”可以稱之為下凸，增加得越來越快；減小的“”減小得越來越慢，“”減小得越來越快.

1.(四川資陽)如圖1，AD、BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點P從點O出發，沿O→C→D→O的路線勻速運動，設∠APB=y(單位：度)，那么y與點P運動的時間x(單位：秒)的關系圖是( ).

解析點P從點O出發，沿O→C→D→O運動過程中經過點C和點D時P的運動方向發生變化，圖形應該是有兩個折點，O→C時∠APB逐漸變小，對應圖象逐漸降低；C→D時∠APB是弧AB所對圓周角不變，對應圖象平行x軸；D→O時∠APB逐漸增大，對應圖象逐漸升高.結合選項應該選B.

本題只要找到折點理解∠APB的變化情況，結合選項即可得到答案.

2.如圖2，在邊長為2的正方形ABCD中剪去一個邊長為1的小正方形CEFG，動點P從點A出發，沿A→D→E→F→G→B的路線繞多邊形的邊勻速運動到點B時停止(不含點A和點B)，則△ABP的面積S隨著時間t變化的函數圖象大致是( ).

3.如圖3，點P從點A出發，沿線段AB運動至點B后，立即按原路返回，點P在運動過程中速度不變，則以點B為圓心，線段BP長為半徑的圓的面積S與點P的運動時間t的函數圖象大致為( ).

解析P從A→B過程中BP逐漸變短，S=πBP2面積變小，P從B→A過程中BP增大，面積S變大.面積S的圖象具有軸對稱性，B、D選項符合.又注意到P運動到AB中點時，圓的面積是圓最大面積的四分之一.觀察選項B、D中的圖象，只有B的圖象符合.故選B.

4.如圖4，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分別是AB、AD、CB上的點，AM=CE=1，AN=3，點P從點M出發，以每秒1個單位長度的速度沿折線MB﹣BE向點E運動，同時點Q從點N出發，以相同的速度沿折線ND﹣DC﹣CE向點E運動，當其中一個點到達后，另一個點也停止運動．設△APQ的面積為S，運動時間為t秒，則S與t函數關系的大致圖象為( ).

解析本題是雙動點問題.可以先定性分析過D作DF⊥AB,易得AF=3,BF=CD=2.P從M運動到E需要7秒，Q從N運動到E需要5秒,所以時間t≤5.點Q有D,C兩個折點，運動到D需要2秒，到C需要4秒，P有一個折點，運動到B需要4秒，圖象應該在2秒，4秒，5秒的時候發生變化.2秒以前△APQ的底和高都增大，面積變化得快，圖象應該是下凸，結合選項答案在C,D中.t=2時Q運動到D，AP=3,S=6；t=5時，如圖5，S=1/2×PE×AB=5<6.選擇D.

詳細解答：略.(參考2016濟南中考)

5.如圖6，在等腰△ABC中，直線l垂直底邊BC，現將直線l沿線段BC從B點勻速平移至C點，直線l與△ABC的邊相交于E、F兩點．設線段EF的長度為y，平移時間為t，則下圖中能較好反映y與t的函數關系的圖象是( ).

解析本題是線的移動問題.EF隨著時間變化先增大后減小，A是折點，A點時最大.結合選項選B.

練習1.如圖7，點P從△ABC的頂點B出發，沿B→C→A勻速運動到點A，圖8是點P運動時，線段BP的長度y隨時間x變化的關系圖象，其中M為曲線部分的最低點，則△ABC的面積是( )

A．A→B→E→GB．A→E→D→C

C．A→E→B→FD．A→B→D→C