基于衰減余弦字典和稀疏特征符號搜索算法的軸承微弱故障特征提取

周浩軒，劉義民，劉 韜

(昆明理工大學 機電工程學院，昆明 650504)

滾動軸承作為現代工業設備中裝備最多、應用最廣的核心零部件，其能否正常工作關乎設備的正常運轉，統計顯示，滾動軸承是引起設備故障的重要原因之一，約有30%的旋轉機械故障與滾動軸承的損壞相關聯。軸承的損傷故障主要是點蝕和剝落[1]，基于振動信號的分析從而提取其故障特征頻率是目前較為有效的方法，但早期故障信號由于故障尺寸較小，噪聲干擾極大，其故障特征成分十分微弱，導致故障特征難以凸顯，提取難度較大。獲取有效的早期軸承故障特征提取方法是目前研究的關鍵。傳統的時域參數分析方法如基于信號的平均值、和頻域分析方法如包絡譜分析[2-3]、倒譜分析[4]等，這些傳統的分析方法都易受到噪聲的干擾，對于強噪聲信號和早期軸承故障信號特征提取效果不好。而具有多分辨分析能力的小波分析[5-7]也會由于其基函數冗余度不夠、與故障成分匹配度低而不能有效、準確地表征強背景噪聲下的故障信號。相比基于稀疏表示的信號過完備稀疏表示方法具有更為靈活、抗噪聲能力更強的特點。稀疏表示中的匹配追蹤[8](MP)算法由于其獲得的往往是局部最優解，并不能得到信號的全局最優稀疏表示，對于求解信號的精確稀疏表示不是一個最好的方法?；诨粉橻9]優化方法的稀疏表示已經有許多學者做了較多的工作，其中圖像處理領域運用較為廣泛[10-14]。將稀疏表示理論運用于現代故障診斷領域特別是軸承故障信號是近年來的一種較為新穎的研究方向，可以運用稀疏表示算法中過完備原子的冗余性完整精確地表達待分解信號，以達到去噪、增加信號稀疏度的作用，文獻[15]以Laplace小波作為過完備原子庫基函數結合稀疏MP算法在含噪信號中提取出了故障頻率，文獻[16]通過匹配追蹤算法與快速獨立分析法相結合對軸承混合故障進行了故障信號的分離與提取。文獻[17]通過運用并聯基追蹤的方法對早期齒輪故障信號進行了特征提取。文獻[18]提出了基于復雜度譜和復雜度譜熵的稀疏MP算法來準確提取低信噪比下滾動軸承信號的故障特征的方法，取得了較好的效果。文獻[19]將小波包變換(WPT)與稀疏表示理論結合并應用于實際軸承箱故障模式識別。文獻[20]提出基于稀疏移不變編碼的基函數學習字典的稀疏表示方法，并應用于軸承與齒輪的故障分析中，取得了一定的效果。

以上方法在處理低信噪比故障軸承信號時存在過完備冗余原子庫與故障特征匹配度不高，基于稀疏匹配追蹤算法的信號去噪方法計算精度較低等問題。而傳統基追蹤算法也存在計算復雜度高、計算效率低等問題，導致對超低信噪比故障軸承信號的特征提取魯棒性不足。針對以上問題，本文提出基于與軸承故障信號特征高度匹配的衰減余弦原子(Attenuated Cosine Dictionary)與快速符號搜索基追蹤算法(Feature-Sign Search)相結合的稀疏表示特征提取算法(ACFS)，并通過分析仿真信號與實測軸承早期微弱故障信號進行了算法驗證，通過與原始信號包絡解調算法、基于小波包的常規基追蹤去噪算法(BPDN)相比較，顯示該方法可以在強噪聲干擾信號中快速、精確的提取出故障特征頻率。

1 基于過完備原子庫與基追蹤的優化算法

1.1 優化算法

在稀疏表示理論中，基本的算法包括貪婪算法中的匹配追蹤(Matching Pursuit,MP)、正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法,松弛優化算法中的基追蹤(Basis Pursuit,BP)、FOCUSS(Focal Underdetermined System Solver)算法等，其中基追蹤算法(Basis Pursuit)與匹配追蹤(Matching Pursuit)應用較為廣泛，基追蹤相比匹配追蹤算法具有所求解為全局最優解、計算精度高等特點，在微弱故障檢測中具有較好的優勢[21]。

稀疏表示的目的是將輸入向量近似表示為少數“基向量”的加權線性組合。該基向量可以捕捉輸入信號中與之匹配度高的成分，輸入信號X∈Rk可以通過基向量a與稀疏系數s表示

X=∑jajsj

(1)

同：

X=As

(2)

其中矩陣A={a1,a2,…,aj},系數s={s1,s2,…,sj}T，而信號X的稀疏表示即為求解以下問題

(3)

當信號中含有一定量噪聲時，其模型如下

y=x+σz

(4)

式中：y為含噪信號；x為真實純凈信號；z為噪聲，σ為噪聲方差。

在稀疏表示理論中，可以認為去噪重構后的誤差X-∑bjsj服從均值為0方差為σ的高斯分布，為選取出去噪最優稀疏系數sj，則最優稀疏系數分布可以通過下式進行約束[22]

P(sj)∝exp(λφ(sj))

(5)

式中：λ為正則化參數，控制著重構殘余部分；φ(.)為正則化方法，由于l0范數正則化方法為NP難問題，通常選取l1范數作為稀疏性度量函數。參數λ可以設為

(6)

參數p為過完備字典的原子數，σ為噪聲方差。在實際運用中需要對噪聲方差進行估計，由于軸承信號噪聲普遍較大，權衡算法效率，本文選用文獻[23]提出的基于小波域的噪聲方差估計方如式(7)，MAD是高頻子帶小波系數幅度的中值。

根據Donoho理論[24]，基于基追蹤優化方法的去噪理論可以轉化為求解下式

(8)

同，

(9)

步驟1 初始化稀疏系數sj=0及其對應的符號集合θj=0，其中θj∈{-1，0，1}，active set：{}。

步驟3 特征符號搜索

(10)

(11)

步驟4 檢查最優停止條件

條件① 非零系數的最優性條件

(12)

條件② 零系數的最優性條件

(13)

如果條件①不滿足則進入步驟3，否則檢查條件②。

如果條件②不滿足則進入步驟2，否則輸出系數s，算法結束。

1.2 過完備原子庫

稀疏表示理論中的另一個重要部分就是過完備原子庫，選擇、構造與待重構信號匹配度高的原子庫是稀疏表示的重點。常見的過完備原子字典有分析字典和學習字典兩大類，學習字典基于對原始信號的學習而構成，對于訓練信號噪聲較大的情況，學習字典容易將部分噪聲學習到過完備字典中，影響低信噪比信號的去噪效果，本文重點介紹分析字典同時構造與軸承信號高度匹配的分析字典。

分析字典包括Fourier字典、Gabor字典、Symlet字典、Dirac字典、余弦字典等，其中Symlet字典與沖擊信號的特征具有一定的匹配度，可以用作一般信噪比較高的軸承故障信號的去噪分析，對于較低信噪比軸承故障信號尤其是早期故障軸承信號，由于其原子特征匹配度不高，故不能有效的提取出故障頻率，該原子庫對于早期微弱軸承故障信號的表現將在后文結合普通BPDN方法對其進行分析比較。

分析軸承點蝕故障的動力學模型后，這里選擇構造與軸承故障信號匹配度高的基于單邊衰減余弦原子的過完備原子庫，其表達式為

(14)

式中：fn,ξ,t,τ分別為過完備原子庫的參數，fn,ξ為原子庫原子的形態參數，決定原子的形態特征，t,τ為原子庫原子的時移參數，決定原子在原子庫時間軸上的分布。由于沖擊在時域是暫時的，所以其在頻域范圍內具有寬帶特性，由此會激發系統的共振，所以設置fn為故障沖擊激發的系統共振頻率以更好反映沖擊特性。ξ為阻尼系數，t為原子基函數的時間變量，τ為原子的時移參數。

由于故障發生時共振頻率處攜帶的能量較大，反映在頻譜中高頻帶頻率幅值高，故可以通過尋找頻譜中的峰值頻率來作為fn的取值。分析軸承故障沖擊波形可以確定參數ξ，選取該參數需要保證原子基函數在自身長度內時域幅值衰減到0。參數τ設置為采樣率的倒數以保證過完備原子庫在整個信號長度上的冗余性，以上四個參數張成了基于衰減余弦波的過完備原子庫。將張成的與軸承故障高度匹配的過完備原子庫同基于基追蹤優化方法的特征符號搜索算法相結合，求出信號在過完備原子庫中的稀疏系數，得到其重構稀疏表達，從而達到去除噪聲的作用。

算法流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程圖Fig.1 Algorithm flow chart

將去噪重構后的信號進行Hilbert包絡分析便可得到被噪聲掩蓋的故障特征頻率，進而完成強噪聲中軸承故障特征的提取。

2 算法仿真分析

由于在軸承早期故障中，內圈發生故障的概率較大，現構造加入一定信噪比噪聲的軸承內圈仿真信號，以驗證算法可靠性。軸承內圈仿真信號表達式如下[25-26]

(15)

其中沖擊幅值A取2 m/s2，CA是幅值隨機常數(CA>A0),采樣頻率fs為25 600 Hz，系統共振頻率fn為4 000 Hz，內圈故障特征頻率fi(105 Hz)，s(t)是點蝕故障引起的沖擊，T是沖擊周期，fr為主軸轉頻，B是沖擊信號的衰減系數,n(t)是隨機噪聲?，F加入SNR為-5 dB的高斯白噪聲。原始信號與含噪信號如圖2(a)、(b)所示。

計算含噪信號頻譜得其頻率峰值為4 005 Hz，為了滿足原子庫各原子的完整性和單個原子長度范圍內幅值衰減為0的原則，根據單個沖擊持續時間長度確定基函數點數為244，阻尼比ξ為800。平衡原子庫的冗余性和計算效率，時移參數τ設置為采樣率的倒數。計算得到重構信號并對其進行Hilbert解調得到重構信號包絡譜如圖3(c)?？梢钥吹街貥嬓盘柣救コ嗽肼暤母蓴_，得到的包絡譜圖可以清晰的看到故障特征頻率105 Hz、轉頻邊帶及倍頻成分。

(a)無噪軸承內圈仿真信號

(b)SNR=-5 dB時域波形圖2 軸承內圈故障仿真信號Fig.2 Bearing inner ring fault simulation signal

將相同內圈仿真信號信噪比降低到-15 dB。根據同樣的方法計算得到重構信號、重構包絡，如圖4所示。

(a)仿真信號頻譜

(b)重構信號時域波形

(c)重構信號包絡譜圖3 SNR=-15 dB仿真信號頻譜與基于ACFS算法的計算結果Fig.3 Spectrum of SNR=-15 dB simulated signal and calculation result based on ACFS algorithm

(a)SNR=-15 dB時域波形

(b)重構信號時域波形

(c)重構信號包絡譜圖4 基于ACFS算法的SNR=-15 dB仿真信號計算結果Fig.4 SNR=-15 dB simulation signal calculation result based on ACFS algorithm

進一步降低仿真信號的信噪比到-18 dB，信號時域波形與原始包絡如圖5、6所示。作為對比，本文給出了稀疏表示特征提取算法中常用的基于Symlet小波包的BPDN方法特征提取結果，重構信號與包絡譜見圖7?；诒疚腁CFS算法特征提取的結果如圖8所示。

從圖8可以看到在極低信噪比輸入信號下，ACFS仍能提取出軸承內圈故障頻率(105 Hz)，此時原始包絡解調的方法已經無法提取出故障頻率，同樣地基于Symlet8小波包原子庫的BPDN方法也無法有效提取出故障特征頻率。

圖5 SNR=-18 dB仿真信號時域波形Fig.5 Time domain waveform of SNR=-18 dB analog signal

圖6 仿真信號原始包絡譜Fig.6 Original envelope spectrum

(a)重構信號

(b)BPDN方法重構信號包絡譜圖7 基于Symlet小波包BPDN方法的特征提取結果Fig.7 Feature extraction based on symlet wavelet packet BPDN method

(a)重構信號時域波形

(b)重構信號包絡譜圖8 基于ACFS算法的SNR=-18 dB仿真信號計算結果Fig.8 SNR=-18 dB simulation signal calculation result based on ACFS algorithm

三種方法的計算效率如表1所示。

表1 SNR=-18 dB仿真信號的三種特征提取方法計算效率

Tab.1 Time-consuming calculation of three feature extraction methods based on SNR=-18 dB simulation signal

原始包絡BPDNACFS0.007591s17s0.6018s

綜上，可以知道本文所提算法在計算準確度、計算效率兩方面對比普通包絡和BPDN方法都有較大優勢，其能夠在信噪比低至-18 dB的輸入信號中準確高效地提出軸承的故障頻率。說明了其在高背景噪聲下極強的適應能力。

3 軸承全壽命早期故障信號分析

仿真的軸承故障信號與實際軸承的失效結果有所不同，軸承的早期故障由于其故障點尺寸較小，沖擊信號并不明顯，噪聲源更為復雜等原因。運用普通特征提取方法提取其早期故障特征尤為困難，現基于本文所提出的ACFS算法對軸承早期故障特征提取進行驗證。

實驗數據通過軸承加速疲勞壽命實驗獲得，試驗臺使用杭州軸承試驗研究中心有限公司ABLT-1A軸承壽命試驗機，結構如圖9，實驗對象為NSK公司6205深溝球軸承，數據采集系統基于Labview軟件平臺開發。采樣率為51 200 Hz，轉速為3 000 r/min(轉頻fr=50 Hz)，從開始實驗到軸承失效一共持續了269小時，均方根RMS達到21/Vrms，軸承完全失效，拆解軸承發現內圈發生點蝕剝落。NSK6205深溝球軸承內外圈理論故障頻率為：外圈故障fo=179.25 Hz，內圈故障fi=270.25 Hz。計算得到全壽命數據RMS趨勢圖與早期故障區間放大圖如圖11、12所示。選取圖11中位置1的點所在信號數據。其時域波形如圖13所示，計算其原始包絡與基于Symlet小波包的BPDN結果如圖14、15所示。

圖9 ABLT-1A軸承壽命試驗機Fig.9 ABLT-1A bearing life tester

圖10 6205軸承內圈故障拆解圖Fig.10 6205-type bearing inner ring breakdown diagram

圖11 6205軸承全壽命周期的有效值RMS變化趨勢Fig.11 Trend of RMS change over 6205 bearing life cycle

圖12 6205軸承全壽命周期早期故障放大(部分)Fig.12 6205-type bearing life RMS trend chart (partial)

圖13 時間點1的早期故障信號時域波形Fig.13 Time-domain waveforms of early failure signals at point 1

圖14 時間點1的早期故障信號原始包絡譜Fig.14 Early failure signal original envelope at point 1

圖15 基于BPDN方法重構時域波形Fig.15 Reconstruction of the time-domain waveform based on the BPDN method

通過分析頻譜圖16(a)發現，3 000 Hz到4 000 Hz這一段共振帶能量較大，選取該共振帶峰值頻率3 717 Hz作為原子庫參數fn，阻尼比設置為1 540，原子庫原子基函數點數為286點。計算得到重構信號、重構包絡譜如圖16(b)、(c)。三種方法針對一秒信號計算效率如表2所示。

基于本文ACFS算法的重構信號包絡譜可以清晰的看到故障頻率fi=269 Hz，對比原始包絡與基于Symlet8小波包字典的基追蹤去噪效果，原始包絡故障頻率并不明顯，而小波包基追蹤已經不能提取出微弱的沖擊特征了，反而提取出了與轉頻相關的正弦波。分析這是由于基于Symlet小波的過完備原子庫與微弱故障特征匹配度不高，故在故障信號能量極低的情況下，更容易匹配到其他成分。進一步表明該方法對于實際軸承早期微弱故障信號提取并不適用。結合計算效率與結果準確性，可以認為ACFS算法實現了強背景噪聲下故障頻率的高效、準確地提取。

(a)時間點1的早期故障信號頻譜

(b)重構信號時域波形

(c)重構信號包絡譜圖16 時間點1的早期故障信號ACFS算法計算結果Fig.16 Result of ACFS algorithm calculation of early failure signal at point 1

表2 基于早期故障信號的三種特征提取方法計算效率

Tab.2 Time-consuming calculation of three feature extraction methods based on early failure signals

原始包絡BPDNACFS0.011032s876.6s8.1s

現對全壽命數據早期故障區間中更微弱的信號進行分析，選取圖12中點2位置所在信號數據進行分析。所張成原子庫的參數設置與上文相同，其早期故障時域波形和ACFS算法計算結果如圖17所示。

圖17 時間點2的早期故障時域波形Fig.17 Early fault time domain waveform at point 2

對比圖18與圖19(c)可以看到，對于微弱早期故障信號，ACFS算法依然可以提取到內圈故障頻率fi=269 Hz，此時故障特征能量已經極低，對原始信號進行包絡解調已無法提取內圈故障頻率fi。對比結果表明本算法對于強噪聲干擾的軸承早期微弱故障信號有著較強的魯棒性與較高冗余度。

圖18 時間點2的早期故障信號原始包絡譜Fig.18 Early fault signal original envelope spectrum at point 2

(a)重構信號時域波形

(b)重構信號包絡譜圖19 時間點2的早期故障信號ACFS算法計算結果Fig.19 Result of ACFS algorithm calculation of early failure signal at point 2

4 結 論

本文通過構造與軸承點蝕剝落故障信號高度匹配的過完備冗余原子庫，將稀疏表示特征符號搜索算法與之相結合并運用在強噪聲干擾下的軸承故障特征提取中。仿真和實驗分析表明，結合了基追蹤方法全局最優準則的特征符號搜索算法可以通過過完備原子庫高效地求得軸承故障信號最優稀疏表示系數，進而達到去除強噪聲的作用，對重構的稀疏信號進行包絡分析可以有效地提取強背景噪聲干擾下的早期軸承故障特征。