一種基于頻率響應函數的剛體慣性參數改進識別方法

何宇翔，王 彤，張麗君

(1.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016;2.中車唐山機車車輛有限公司，唐山 063000)

剛體慣性參數包括質量、質心、轉動慣量、慣性積，其識別方法主要包括落體法、三線擺法、基于三維數字模型的數值計算法及基于頻響函數的振動試驗模態分析法等[1-2]。

落體法主要用于測量小部件的慣性參數，且識別精度較差[3]，三線擺法具有較高的精度，但它的缺點是實驗設備復雜，安全性差[4]；三維數字模型法通過建立準確的三維模型計算剛體慣性參數，但對于復雜結構，建立準確的三維模型的難度不言而喻[5-6]。基于頻響函數和振動試驗模態分析的剛體慣性參數辨識方法具有簡單、快速和精度高等優點，可很大程度上避免上述問題的發生。振動試驗模態分析方法主要包括模態模型法(Modal Method,MM)、質量線法(Inertia Restrain Method,IRM)和直接物理參數識別法(Direct Physical Parameter Identification Method,DPPIM)。

模態模型法(MM)基于剛體模態對剛體質量矩陣具有正交性[7]，達到求解慣性參數的目的。剛體模態振型通過頻率響應函數獲得，將其質量歸一化后，結合響應點坐標轉換矩陣求得剛體質量矩陣。常用的方法是Conti-Bretl法[8](C-B法)和Toivola-Nuutila法[9](T-N法)。C-B法要求求出所有6階剛體模態之后，建立剛體振型矩陣，T-N法只需要4階剛體振型，通過解方程組求得所有慣性參數。為了得到理想的剛體振型，必須人為地添加理想的彈簧約束。然而在實際測試中，理想的邊界條件幾乎無法做到。此外，實際實驗中很難準確地獲得4階理想的剛體振型[10]。一次識別所有參數的精度很難保證。

DPPIM法基于頻率響應函數，可一次性得到剛體全部10個慣性參數。研究顯示該法受噪聲和彈性模態影響很大[11]，且最終的求解結果是6×6階矩陣，使用最小二乘法可能會放大誤差[12]。質量線法(IRM)它將質量作為已知的參數，利用質心與轉動慣量相互獨立的性質，分步求解剩余的9個參數。質量線法矩陣計算規模較小，最終得到的是一個3×1的質心坐標向量和一個6×1的慣性張量向量，是一些商業化軟件采用的方法。仿真和實驗結果表明，IRM在較大噪聲輸入時仍具有較高識別精度。然而，在實際應用中，質量參數往往未知，且對大型結構稱重也很難實現。

由于DPPIM法和IRM法單獨使用都具有一定的局限性，本文提出了一種將兩種方法組合使用的改進型慣性參數識別方法，即先利用直接參數識別法識別質量，再使用質量線法識別剩余9個參數。

1 慣性參數識別原理

1.1 直接參數識別法(DPPIM)

剛體的質量矩陣可以表示為

(1)

剛體振動方程

(2)

剛度和阻尼很小時，相關的兩項可以忽略不計，振動方程變為

(3)

在坐標系中，第i(i=1,2,…n,其中n為激勵點總個數)個激勵點的坐標是(xi,yi,zi)，該處的激勵力fi在原點O處產生的激振力是

(4)

(5)

由式(5)可知，含有n個激勵點和m個響應點組合而成的加速度響應矩陣如式(6)所示

(6)

(7)

由式(4)，n個激勵點在坐標原點產生的激振力為

FO,6×n=[FO1…FOn]=

(8)

由式(3)，由n個激勵點和m個響應點作用下的剛體振動方程為

(9)

將式(7)和式(8)代入式(9)，得

(10)

式(10)兩端同時右乘f-1，得

(11)

H是由實驗測得的激勵點和響應點之間的加速度頻響函數，式(11)使用最小二乘法來計算矩陣M，因此激振力坐標轉換矩陣W的秩不能小于6，即激勵點總個數n≥6。

由最小二乘方法，可以得剛體的質量矩陣M

M=W(RTR)T(RTHHTR)-1(RTR)

(12)

1.2 質量線法(IRM)

IRM將質量作為已知參數，求出質心、轉動慣量和慣性積。由式(9)獲得的IRM法計算公式

(13)

由于質心與轉動慣量和慣性積相互獨立，因此可分步識別。由式(14)識別質心

(14)

由式(15)識別轉動慣量和慣性積

(15)

對由式(15)求得的轉動慣量和慣性積應用平行軸定理，將其轉化到對質心所在坐標軸的轉動慣量和慣性積，再組成慣性張量矩陣，如式(16)所示，求解其特征值與特征向量即可得到主轉動慣量和3個慣性主軸關于固定坐標系坐標軸夾角的方向余弦。

(16)

2 直接參數識別法和質量線法的對比仿真

分別應用直接參數識別法、質量線法和模態模型法對一個平板進行仿真試驗。平板的幾何模型如圖1所示。

圖1 幾何模型Fig.1 Geometry model

如果慣性主軸太靠近坐標軸，很小絕對誤差將導致較大的相對誤差。因此，將平板是沿(2,2,2)的方向移動。板的慣性參數的參考值如表1所示，第一階彈性模態振型如圖2所示。

表1 各參數的參考值(m=9.48 kg)Tab.1 Reference value of each parameter(m=9.48 kg)

圖2 第一階彈性模態振型Fig.2 The first elastic mode

2.1 響應點位于頂角處

在剛體頂角節點 1、10、91、100上設置三方向響應點，響應點坐標變換矩陣條件數為19.6。激勵點為節點1X+，10Y+，41Y+，91Z+，60Z+，100Z+。激勵點坐標轉換矩陣條件數為24.7。彈簧分布位于頂角上節點1，10，41，50的Z方向，每個彈簧的剛度是20 kN/m。

圖3 響應點在頂角處的頻響函數Fig.3 Frequency response functions of corner measurement points

仿真結果表明，質量數值受彈性模態影響很大，并且隨著所選頻帶越來越趨近于彈性模態，質量參數的誤差就越大。圖2給出了板的第一階彈性模態振型，在該階模態處Z方向振動幅值最大，Y方向和X方向幅值很小，而對于使用質量線原理識別慣性參數而言，要設法避免彈性模態影響，那么對于振動幅值較小的X和Y方向的數據，正是所期望的。從識別結果中發現，對于同一頻率而言，X方向對應的質量數值精度最高，在Y方向結果次之，Z方向結果完全錯誤。

圖4 使用DPPIM法識別不同方向上的質量數值Fig.4 Using the DPPIM method to identify the quality values in different directions

分別使用直接參數識別法直接計算10個參數，和將X方向質量值代入質量線法，繼續計算其余9參數。兩組結果的誤差隨選擇頻帶的變化如圖5所示。

圖5 DPPIM法和IRM法識別剩余9個參數的誤差Fig.5 Identification error of the remaining 9 parameters by DPPIM method and IRM method

由圖5可以看出，直接參數識別法的識別精度遠遠低于質量線法，含有彈性模態影響時，有時甚至完全錯誤。

2.2 響應點布置在彈性模態的節點處

圖6表示響應點在彈性模態節點上頻響函數，圖7表示使用DPPIM法識別在不同方向上的質量數值。

圖6 響應點在彈性模態節點上頻響函數Fig.6 Frequency response functions of nodal points of the first mode

圖7 使用DPPIM法識別在不同方向上的質量數值Fig.7 Mass values identified from diffreent directions by DPPIM method

圖8 DPPIM法和IRM法識別剩余9參數的誤差Fig.8 Identification error of the remaining 9 parameters by DPPIM method and IRM method

圖8為將響應點布置在彈性模態節點處的識別誤差與所選頻帶的關系。可以看出，將響應點布置在彈性模態的節點上可有效減小頻率響應函數彈性模態的幅值，從而減小彈性模態的影響，識別精度顯著提高。

2.3 噪聲對精度的影響

在頻響函數中添加40%噪聲(20%白噪聲和20%有色噪聲)，頻響函數幅值如圖9所示。重復計算50次，誤差平均值、誤差方差、誤差最大值和最小值如表2和表3所示。

圖9 40%噪聲的頻響函數Fig.9 Frequency response functions with 40% noise

表2 DPPIM法各參數最大誤差(50次)
Tab.2The maximum error of each parameter inDPPIM method(50 times)

參數質量質心轉動慣量慣性積誤差平均0.4%8.2%9.8%17%誤差方差12109121369誤差最大值7.8%44%44%84%誤差最小值-6.6%-11%-7.1%-18%

表3 IRM法各參數最大誤差(50次)Tab.3 The maximum error of each parameter in IRM method(50 times)

仿真結果表明：與直接參數識別法相比，質量線法具有更高的可靠性，在較大噪聲輸入的情況下，直接參數識別法精度迅速下降，而質量線法依然保持了很高的精度。

3 實驗驗證

以某型列車轉向架構架為實驗對象，在環境噪聲影響較大的工廠廠區內驗證本文的結論。構架結構如圖10所示。

由于感興趣的頻響函數頻率很低，因此需要選擇較軟的力錘錘頭[13]。實驗所選力錘型號為PCB 086C20，實測靈敏度為0.118 mV/N，三軸加速度傳感器型號為PCB U356A08，數據采集設備為OROS-OR35，模態分析軟件為N-Modal。進行本改進方法測試之前需要先測試出彈性模態頻率與振型，然后降低采樣頻率，使分析頻率僅稍高于第一階彈性模態頻率，并提高頻率分辨率，以進行本改進方法實驗。測點分布、第一階彈性振型和測試自由度布置分別如圖11～圖13所示。

圖10 構架全貌Fig.10 The frame of a bogie

圖11 測試彈性模態所布置的測點Fig.11 Measurement points in the elastic modal test

圖12 第一階彈性模態振型Fig.12 First elastic mode

圖13 測試幾何模型及測試自由度Fig.13 The geometry model and the test degree of freedoms

測點分布原則是反映剛體的幾何輪廓，均勻分布，且測點要避開對稱軸或轉動節線，激振力方向不能全部平行，也不能通過質心，否則坐標轉換矩陣條件數會變大，最小二乘法的結果將變得不穩定[14-15]。實驗中，采樣頻率是128 Hz，頻率分辨率為0.062 5 Hz，共800條譜線，八次錘擊平均。部分相干函數和頻響函數幅值如圖14所示。

圖14 部分測點的相干函數和頻響函數Fig.14 The coherence and frequency response functions of some measurement points

選擇一段譜線相對平直頻帶，使用直接參數識別法，求出X方向對應質量(X方向彈性模態幅值最小)在1 077～1 145 kg內波動，由稱重法得到結構質量為1 097 kg，誤差為-2%～4%，將識別得到的質量數值(1 077 kg和1 145 kg)代入質量線法中繼續計算，得到剩余全部參數，如表4和表5所示。

表4 改進方法慣性參數識別結果(m=1 077 kg)Tab.4 Inertia parameter identification results of the improved method(m=1 077 kg)

表5 改進方法慣性參數識別結果(m=1 145 kg)Tab.5 Inertia parameter identification results of the improved method(m=1 045 kg)

慣性主軸的方向是幾乎平行于坐標軸，與實際結構的對稱性一致。與廠家給出的慣性參數參考值(表6)相比，質量誤差不超過±5%，主轉動慣量誤差不超過10%，質心誤差不超過±1%，符合工程實踐要求。

表6 廠家提供的慣性參數參考值(m=1 097 kg)Tab.6 Reference value of inertial parameters provided by the manufacturer(m=1 097 kg)

4 結 論

結合仿真結果和實際實驗情況，提出一種先通過直接參數識別法識別質量，再使用質量線法識別其他參數的改進方法。其具有精度高，可操作性強，不依賴其他條件或操作的優點，通過仿真和實際實驗驗證了本改進方法的適用性，具有一定的工程實踐意義。