數學教學中幾何直觀的運用探析

劉 杰

（遼寧省大連市瓦房店市文蘭小學，遼寧 瓦房店 116300）

隨著《義務教育數學課程標準（2011 版）》提出培養和發展學生幾何直觀能力，幾何直觀已經成為數學教育中一個關注的問題。幾何直觀主要指兩點，一是幾何，這里指圖形；二是直觀，不僅指看到，更重要的是利用圖形進行數學思考與想象。對數學教材進行梳理，可以看出幾何直觀有著廣泛的應用。教師有必要深入領會幾何直觀的內涵及其作用，思考在教學中如何運用幾何直觀來開展教學。本文從以下幾方面對幾何直觀在數學教學中的運用進行論述。

一、借助幾何直觀，把握數學問題本質

數學是對客觀現象抽象概括而逐步形成的，是研究數量關系和空間形式的科學，數學的知識是抽象的，學習數學最需要抽象思維和推理能力。學生的抽象思維能力還在逐漸形成和成長之中，在學習時離不開具體事物的支撐，需要更多地借助形象思維，借助幾何直觀理解感悟數學問題的本質。因此，在義務教育階段，許多重要的數學內容、概念在編寫時都注意了這些知識的“雙重屬性”，既有“數的屬性特征”，也有“形的屬性特征”，只有從兩方面認識它們，才能很好地理解它們，掌握它們的本質意義。借助“幾何直觀”來研究數學這一方法充分體現在“數與代數”這一領域中，幾何圖形直觀反映了各種數之間的聯系，學生從幾何圖形中讀懂數學信息，并整理信息，提出數學問題并加以解決，以幾何圖形思數，以幾何圖形載數，數形對照，數形聯系，數形互釋，圖文并茂，加深理解，使抽象的數學知識變得形象、親切，不再是冰冷的符號。例如，在教學“小數意義”這一內容時，教師就可借助圖形直觀——方格紙，有效幫助學生構建知識，理解小數與十進分數的關系。

教師先讓學生根據已有知識來描述陰影部分的大小，讓學生知道不夠“1”的這兩個陰影部分除了用分數表示外，還可以用小數0.1、0.01 來表示，直觀地認識小數的計數單位0.1、0.01……的由來。接著讓學生觀察每個圖中陰影部分的大小變化，借助小長方形、小正方形直觀體會出1 與0.1、0.1 與0.01 之間的十進關系，進而抽象出小數單位間的關系。借助圖形直觀，有效建立了小數部分、整數部分的聯系，讓具體的形與抽象的數相輔相成。計數單位以這種直觀形式在學生頭腦中建立了表象，為后面小數的大小比較、小數的計算打下了基礎，培養了學生良好的數感。

二、借助幾何直觀，提供思維方法

幾何直觀通常沒有嚴格的邏輯推理，往往能把握對象的全貌和本質。借助幾何直觀，可以把復雜的數學問題變得簡明、形象。因此，研究數學問題時，可把問題的數量關系同空間形式結合起來，化數為形，使抽象的數學問題直觀化、生動化，變抽象思維為形象思維，為問題解決提供思維方法。例如，北師版六上“數學與生活”中有這樣一個問題：8 名同學進行兵乓球比賽，如果每兩名同學之間進行一場比賽，一共要比多少場？在小學階段，這樣的題目一般做法是用列表法開始研究，用歸納的方法探索規律，再依據規律解答。學生要發現8 個人之間的比賽場次為“1+2+3+……+6+7”這個規律并不容易。波利亞說：抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見，摸得著。因此，教師可引導學生在圖形中找到它的模型。如果把參賽人抽象為“點”，“兩人比賽一場”抽象為“兩點之間連接一條線段”，那么借助圖形的直觀就可以簡明地解決問題。（見右圖）對于8 個點中的任意一個點，它與其他的7 個點共可以連7 條線段，因此，8 個人共可以連8×7 條線段，因為兩點之間只有一條線段，所以共可以連8×7÷2 條線段。當然，也可以讓學生總結出n個同學參加比賽的場次為n(n-1)÷2。因此，這幅圖較好地解釋了為什么這類問題如握手問題、打電話問題、數線段問題可以用n(n-1)÷2 來解決。

借助圖形直觀研究問題，通常先把研究的“對象”抽象為“圖形”，再把研究“對象之間的關系”轉化為“圖形之間的關系”，然后借助圖形直觀進行思考分析解決。例如，課堂上教師創設了一個教學情境：甲身高120 厘米，比乙矮20 厘米，丙比乙矮15 厘米，甲和丙誰高？高多少厘米？課堂上學生出現了兩種解法：（1）分別求出乙、丙的身高，乙：120+20=140 厘米，丙：140-15=125 厘米，125-120=5 厘米，得出丙高，高5 厘米。（2）20＞15，20-15=5 厘米，得出丙高，高5 厘米。在解決問題時大部分學生使用的是方法1，很多學生不理解第二種解法。能讀懂別人的算法，也是很好的學習途徑，此時教師就引導學生畫線段圖。（見右圖）學生通過三個人身高的對比，清楚地看出甲、丙兩同學身高的關系。這一教學過程凸顯了畫線段圖解決問題的價值：借助線段圖將抽象的數量關系直觀化，變“看不見”為“看得見”，化抽象為形象，化模糊為清晰，看圖想事、看圖說理，學生在“畫圖、看圖、用圖”中解決了問題。

畫線段圖實質上是一個半抽象的過程，畫線段圖的過程就是把“語言描述”的數學問題轉化為“圖形描述”的數學問題。把圖畫準了，題意就理解了，方法就出來了，有時候答案就顯而易見了。因此，教師在教學中要注重學生畫線段圖的能力，以此來提高學生幾何直觀能力。

三、借助幾何直觀，啟發動態思維

幾何變換或圖形的運動是幾何，也是整個數學中很重要的數學內容，它既是學習的對象，也是認識數學的思想和方法。讓圖形動起來，在運動和變換的思維中既加深了對圖形本質的認識，又提升了幾何直觀能力。例如，已知正方形的邊長為4 厘米，求陰影部分的面積。（見下圖）許多學生看到這個題目都束手無策，因為這是一個不規則的圖形。教師引導學生把陰影部分一分為二，再旋轉其中的一部分，看看有什么發現。此時學生清楚地看出陰影部分的面積是半圓面積與一個等腰直角三角形面積的差。

上述過程將靜態過程變為動態過程，將圖形的形成過程清楚地展示出來，將解決問題的過程變得直觀，把看似無法解決的問題簡單化、明朗化，讓學生有“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。這種動態直觀容易生成形象思維，使學生獲得深刻的情感體驗和良好的學習經驗。

綜上所述，幾何直觀是學習數學的常用思考問題的方法。因此，教師應讓學生養成用圖形符號語言的直觀方法來分析問題、解決問題的習慣，提升解決問題的能力，培養學生的數學素養。