北師大版《認識二元一次方程（組）》教學案例分析

李洋

一、教學內容分析

方程是刻畫現實世界等量關系的有效數學模型，方程概念的本質是溝通已知量和未知量之間的關系，借助已知量，求出未知量。二元一次方程是屬于方程的一個類型，因此獲得其概念本質的過程要經歷一個從特殊到一般的抽象概括的過程，從而建立二元一次方程（組）的模型。北師大版教材中把《認識二元一次方程（組）》安排在八年級上的第一節。由于是起始課，所以要讓學生明白為什么要學習這個新的方程模型，在概念引入的時候可以采用實例引入和對比教學相結合的教學方法，有利于讓學生體會到學習本節課的必要性。

每一個科學概念都有其確定的內涵，概念的內涵就是指反映在概念中的對象的本質屬性。教材中通過豐富情景，讓學生不斷地建立二元一次方程和二元一次方程組，學生類比一元一次方程定義，逐步抽象出二元一次方程的概念。學生在抽象出這個概念的過程中，不僅有利于發展學生的抽象思維和推理意識，還建立了具有二元一次方程模型的意識。教學中除了要引導學生得出形式化定義，更要關注學生的建模過程。在每個具體情境中可向學生提出類似于“題目中的已知量，未知量是什么”“已知量和未知量之間的關系是什么”“未知量的個數有幾個”等這樣的問題。幫助學生認清楚題目中有兩個未知量，找到未知量和已知量之間的關系從而建立新的方程模型，這樣的一個建模過程既豐富了學生解決實際問題的一般性策略，也在不斷的建模和思考中揭示了所學新的概念的本質。

內涵和外延是概念的兩個方面，教學中不僅要關注概念的內涵還要注重概念的外延，外延是指一個概念所概括的思維對象的數量或范圍。在形式上所有二元一次方程都可化為ax+by=c（a、b≠0）的一般形式與ax+by+c=0（a、b≠0）的標準式，否則不為二元一次方程。我們所學的幾元幾次方程都是指整式方程，而整式方程都隸屬于有理方程，所以二元一次方程不是分式方程，更不是無理方程。這一點在向學生講解時，要適度把握二元一次方程概念外延的明晰，是建立在代數式的概念不斷完善的基礎上進行的。教學時我們可以在九年級學完相關內容后，對于學有余力的學生再進行相應的明確，界定外延。

二、教育價值分析

二元一次方程（組）一直是中考數學重點考查知識之一，對于它的學習可以培養學生觀察、分析、比較、類比等思維能力，教學中合理設置教學環節將有利于發展學生“數學抽象”“數學建模”的核心素養，并有利于發展符號意識和應用意識。讓學生經歷在不同的情景中，用二元一次方程（組）來刻畫問題的過程，體會二元一次方程（組）概念的本質，發展學生的推理能力和模型思想。

三、知識間的聯系

1.縱向聯系

小學階段：已經認識了方程的概念，并會用方程描述簡單的數量關系，會用等式的基本性質解簡易方程，進行求解。

初中階段：繼初步建立方程概念后，又陸續學習了一元一次方程、二元一次方程及二元一次方程組、三元一次方程組（選學）、分式方程、一元二次方程，這些方程的研究方法基本相同，在方程的解法上都采用“轉化”的數學思想。

高中階段：繼續學習高次、多元方程的解法，以及研究二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題。

2.橫向聯系

（1）初中階段與二元一次方程有關的知識有：代數式、一元一次方程、二元一次方程（組）、一次函數、分式方程、一元二次方程。在學習了一元一次方程之后，學生明晰了“元”和“次”的概念后，又繼而學習二元一次方程（組）。

（2）一次函數與二元一次方程密切相關，只不過是各自側重點不同。

“形”的角度：從一次函數圖象上理解二元一次方程和二元一次方程組的解，一條直線上所有點的坐標就是相應二元一次方程的解;兩條直線交點的坐標就是相應二元一次方程組的解，因此可以借助做出兩個一次函數的圖象，找到交點坐標，從而確定相應的二元一次方程組的解。

“數”的角度：一次函數表達式的確定基于兩個條件，通過待定系數法，具體求解時又要用到二元一次方程組。

（3）在中考命題中，在作為代數建模能力考查問題時，通常把二元一次方程組和一元一次不等相聯系一起考查。解決實際問題最優化時，二元一次方程又和一元一次不等式有著密切聯系。

（4）解二元一次方程組的本質是“消元”，把“二元”變為“一元”;解分式方程是通過去分母化為一元一次整式方程求解;解一元二次方程的方法是降次，分解成兩個一元一次方程求解，這幾個方程在解法上可以類比學習，有著內在聯系。

四、課標要求解讀

課標要求是能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型。

其中的核心名詞是“數量關系”，行為動詞是“列出”。“數量關系”也就是等量關系，可以依據題意，從事情的變化結果中找等量關系，或根據常用的計算公式找等量關系，或根據“不變量”找等量關系。“列出”可以分解為“寫出”。在教學中選擇貼近學生生活的實例，讓學生經歷在具體問題中探索數量關系，體會模型的思想。按照課程標準的要求，以及上述教材和學情的分析，制定本節課的教學目標如下：

（1）通過實例讓學生感受到學習二元一次方程的必要性和優越性，并能列出二元一次方程及二元一次方程組，并能說出方程組中兩個未知量所表示的意義相同。

（2）能寫出二元一次方程的解，并知道它的解有無數個以及二元一次方程組中每個方程的公共解才是二元一次方程組的解。

（3）培養學生在解決實際問題時，能從數學的角度發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，體會數學與生活的聯系.

教學重點：（1）能說出二元一次方程（組）的概念，以及二元一次方程的解及二元一次方程組的解的概念。

（2）會列出二元一次方程解決實際問題。

教學難點：（1）能說出二元一次方程的解及二元一次方程組的解的概念，和其相應的解的個數，表示形式的理解。

（2）會判斷一組數值是否為二元一次方程及二元一次方組的解。

五、經驗與學習困難分析

1.經驗和基礎

（1）通過七年級一元一次方程概念的學習，學生可以類比一元一次方程的“元”和“次”去發現和認識二元一次方程的概念。

（2）學生已經具有在實際情境中尋找等量關系的經驗，并會設一個未知數去列方程，初步感受模型思想，積累了用方程解決實際問題的經驗。

（3）學生已經會利用等式基本性質求出一元一次方程的解，并知道一元一次方程未知數的解只有一個。

（4）學生之前已學習了大量的數學概念，對數學概念的建立并不陌生，尤其是在學習一元一次方程時，已經經歷了從具體的情境中抽象出一元一次方程概念的過程，初步具有建模思想。

2.困惑和困難

（1）由于90%以上的學生在解決應用問題時，已經習慣了設一個未知數去列方程，而這節課需要設兩個未知數，找兩個等量關系列方程，這在方程模型認知上是一個沖突，在列方程的方法上需要有一個過渡。

（2）本節課所學習的二元一次方程的解有無數個，學生對解的個數的理解也要有一個新的認識。

（3）二元一次方組的解是同時滿足兩個方程的公共解，是一組兩個未知數的值，并用聯立號連接，這在解的理解、表示形式上對學生來說也是一個新的認識。

（4）學生對這種新的方程模型思想方法的理解，要更多地關注學生的建模過程，能否順利地找到已知量和未知量之間的關系，從而列出二元一次方程（組）。

六、設計教學策略

策略1：引入學習二元一次方程模型的必要性及優越性

具體設計：（1）出示雞兔同籠的經典問題：“有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？”

學生分別用假設法和一元一次方程解答，在學生回答的基礎上做如下梳理：用方程比算術更容易表示數量關系！

繼續出示問題：（2）小明買了1kg蘋果和2kg梨，共花了26元;小麗買了2kg蘋果和1kg梨，共花了28元，蘋果和梨的單價各為多少元？

受第一個問題解決方法的啟發，學生會設蘋果單價為x元，則梨的單價為元。教師引導這里梨的單價表示較為復雜，如果設蘋果單價為x元，則梨的單價為y元。讓學生進一步感受有些情況下只設一個未知數，表示另一個未知量時比較繁瑣，不好表示，學生得出設兩個未知數更容易表示題目中的數量關系，得出二元一次方程模型比一元一次方程模型更優越，讓學生感受到學習本節課的必要性。

策略2：講解二元一次方程和二元一次方程組的概念

具體設計：出示四個問題串：

（1）某班共有55名同學。

設該班有男生x人，女生y人，根據題意，數量關系可表示為：______________________。

（2）某班要派全部男生和部分女生組成30人的隊伍參加拔河比賽。

設該班有男生x人，女生z人，根據題意，數量關系可表示為：______________________。

（3）某班女生人數比男生人數的2倍少5人。

設該班有男生x人，女生y人，根據題意，數量關系可表示為：______________________。

（4）某班要派全部男生和部分女生組隊參加拔河比賽，其中的男生是女生的2倍。

設該班有男生x人，女生z人，根據題意，數量關系可表示為：______________________。

通過設置四個問題串，讓學生學會如何列二元一次方程，類比一元一次方程的概念，得出二元一次方程的概念。

在問題背景不變的情況下把四個問題兩兩組合，問題（1）（3）組合，問題（2）（4）組合，教師把剛才列出的四個二元一次方程分別兩兩組合聯立，并分析其形式上的特點，得出二元一次方程組的概念。

策略3：得出二元一次方程的解和二元一次方程組的解

具體設計：讓學生嘗試寫出剛才其中兩個二元一次方程x+y=55和2x-y=5的幾組解，并借助Excel表格展示出這兩個二元一次方程的解，學生直觀地理解二元一次方程的解的概念，同時感受到二元一次方程的解有無數個。設置“比一比看誰的眼力快”的教學環節，讓學生找到公共解后，再講解二元一次方程組的解，并使學生明確二元一次方程組的解只有一組。

策略4：在教學中要更多地關注建模過程，讓學生感受二元一次方程概念的本質

具體設計：從蘋果梨的問題一直到四個問題的過程中，就要不斷地向學生提出問題以下問題：（1）題目中的已知量，未知量是什么？（2）各個量之間的關系是什么？（3）題目中的等量關系有幾個等這樣的問題。對于較復雜的問題進行適當的分解，幫助學生尋找等量關系，不斷地建立方程模型。

編輯 溫雪蓮