橢圓中的定點和定值問題

張曉帆

在橢圓問題中，部分幾何量和參數無關，不會隨著參數大小的改變而改變，而定點和定值這兩個幾何量和參數無關，這就構成了橢圓中的定點和定值問題。

解決此類問題的關鍵在于引進參數表示直線方程、數量積、比例關系等，然后根據等式恒成立、等式變形、數式變換等尋找不受參數影響的量。解決橢圓定點定值問題不僅能培養學生科學探究和邏輯思維的能力以及科學的學習態度和堅持不懈的學科精神，也培養了學生勇于創新、求真求實的思想品質。本文給出橢圓中定點和定值問題的解題策略，希望對廣大師生有所幫助。

類型一：定點問題

策略：合理選擇參變量證明直線恒過定點問題

評注：本題要求證明直線恒過定點問題，為了利用好兩直線斜率之和為-1的條件，需設出B、C兩點的坐標，從而表示出兩條直線的斜率。而在設參數問題的選取上，常用的方案有兩種，設直線或者設點，本題中，兩者兼具，只有合理選擇參數，才能減少運算量，進而求出定點的坐標。

在本題第2小題的解題過程中，也有不少學生采用聯立消去x的方法進行求解，這種方法則涵蓋了斜率不存在的情況，同樣值得肯定。而在課堂上，我也投影展示了這兩種不同的方法，并對這兩種方法進行了及時的肯定。學生在進行方法選擇的同時也鍛煉了自身的科學探究和邏輯思維的能力。

反思與感悟

要解決橢圓中的定點問題，若題設條件中給出定點坐標，則應合理選擇參變量進行驗證;若題設并未給出定點坐標，則首先需要確定定點的坐標，常用的方法是利用從特殊到一般的數學思想方法，先通過符合題設條件的一些特殊情況確定定點的坐標，找到這個定點，明確解決問題的方向與目標，然后再進一步探究和推導，得出一般情況下的結論。

類型二：定值問題

策略：用點坐標作為參變量代入化簡計算定值

例1（普陀區2018.12高三模擬）

評注：本題探究兩條直線斜率的關系，選擇用橢圓上任意一點的坐標作為參變量，利用直線斜率的坐標公式，表示出兩條直線的斜率，從而表示出其乘積。同時結合點坐標滿足橢圓方程的條件，進而得出兩條直線斜率乘積為定值的結論。解題過程中，點坐標起到了良好的過渡作用。

本題關鍵在于選擇點坐標作為參變量，學生也通過本題的求解鍛煉了自身的科學探究和邏輯思維能力。

反思與感悟

定值問題的解決策略和定點問題相類似，策略是通過設參數或者取特殊情況來確定定值的大小，或者將此類問題所涉及的幾何式轉化成代數式抑或是三角問題，然后再進一步證明該式是恒定的。此外，定值問題和證明問題也很類似，在求證結果是定值之前，已經知道了該定值的結果。所以在進行一般推導時，應設出參數，再運用推理，而推導到最終結果時，勢必會消去參數，得到需要的定值。

編輯 謝尾合